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7.2 复数的四则运算
▉【知识点1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：.
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复
数的差对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：；
③分配律：.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，
，.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.
故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
▉【知识点2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根
，；
当 =0时，方程有两个相等的实根；
当 <0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
▉一．复数的加、减运算及其几何意义（共13小题）
1．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：|z﹣2﹣2i|＝2表示复平面内复数z对应的点在以点（2，2）为圆心，2为半径的圆上，
所以|z|最大值为．
故选：D．
2．已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：因为ai（1+2i）＝b+3i＝﹣2a+ai，复数a，b∈R，所以，解得，
则a+b＝﹣3．
故选：B．
3．已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（　　）
A．9﹣3i B．9+3i C．9﹣7i D．9+7i
【答案】A
【解答】解：由z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，可得z1+z2＝6﹣5i+3+2i＝9﹣3i．
故选：A．
4．若（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a﹣b＝（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi，
则3+2i＝a+bi，
故a＝3，b＝2，
所以a﹣b＝1．
故选：B．
5．若z1＝13﹣3i，z2＝4+i，则z1﹣z2＝（　　）
A．9﹣4i B．9﹣2i C．﹣9+4i D．﹣9+2i
【答案】A
【解答】解：若z1＝13﹣3i，z2＝4+i，则z1﹣z2＝9﹣4i．
故选：A．
6．已知复数z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，则z1﹣z2等于（　　）
A．8i B．6 C．6+8i D．6﹣8i
【答案】A
【解答】解：∵复数z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，
∴z1﹣z2＝（3+4i）﹣（3﹣4i）
＝8i．
故选：A．
7．（3+4i）+（1﹣2i）＝（　　）
A．4+2i B．4﹣2i C．1+4i D．1+5i
【答案】A
【解答】解：（3+4i）+（1﹣2i）＝（3+1）+（4﹣2）i＝4+2i．
故选：A．
8．若复数z满足|z﹣2i|＝1，则|z|的最小值是 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：根据复数的几何意义，|z﹣2i|＝1表示复数z对应的点在以（0，2）为圆心，半径为1的圆上，
|z|表示z对应的点到原点（0，0）的距离，原点（0，0）到圆心（0，2）的距离为2，圆的半径为1，
因此，|z|的最小值为原点到圆心的距离减去半径，即2﹣1＝1．
故答案为：1．
9．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设复数z1＝a+bi，a，b∈R，由已知条件得a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，
整理得3a﹣bi＝3﹣i，于是3a＝3，﹣b＝﹣1，即a＝1，b＝1，z1＝1+i，
由|z2﹣z1|＝1，可知复平面内表示复数z2的对应点在以表示复数z1的对应点（1，1）为圆心，1为半径的圆上，
|z2﹣2i|表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点（0，2）的距离，
距离的最大值是．
故答案为：．
10．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），根据题意可知，，
所以，，
根据对称性，不妨取z1＝1，z2＝﹣i，
则|z﹣z1|，|z﹣z2|，|z+z2|的几何意义为复平面中到点A（1，0），B（0，﹣1），C（0，1）的距离，
∴，
如图，将△ACP顺时针旋转90°得到△ADE，D（2，1），
则AP⊥AE，AP＝AE，所以，
又△ACP △ADE，所以PC＝ED，
所以．
故答案为：．
11．已知z＝1﹣2i，且，其中a，b为实数，则a＝ 　1　 ，b＝ 　﹣2　 ．
【答案】1；﹣2．
【解答】解：因为z＝1﹣2i，，
所以1﹣2i+a（1+2i）+b＝0，
所以1+a+b﹣（2﹣2a）i＝0，又a，b为实数，
所以，解得．
故答案为：1；﹣2．
12．计算：
（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i；
（2）（1+2i）（2﹣3i）；
（3）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i＝2﹣2﹣4i+4i＝0．
（2）（1+2i）（2﹣3i）＝2+4i﹣3i﹣6i2＝8+i．
（3）．
13．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．
（1）求，及，；
（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，
∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i，
∴，．
∵，
∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i，
∴，；
（2）由题意，，
∵，，
∴，，．
∴．
▉二．复数的乘法及乘方运算（共17小题）
14．已知复数z满足，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1+3i
【答案】C
【解答】解：因为，
所以z＝（2﹣i）（1﹣i）＝2﹣2i﹣i+i2＝2﹣3i﹣1＝1﹣3i．
故选：C．
15．已知复数z＝i（1+i），则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【答案】B
【解答】解：复数z＝i（1+i）＝﹣1+i，其虚部为1．
故选：B．
16．在复平面内，若i是虚数单位，复数Z与关于虚轴对称，则Z＝（　　）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【答案】C
【解答】解：，
复数Z与关于虚轴对称，则Z＝﹣1+i．
故选：C．
17．已知z＝2﹣i，则z2＝（　　）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i
【答案】A
【解答】解：z2＝（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i．
故选：A．
18．已知z＝1﹣2i，则（　　）
A．﹣4+2i B．4+2i C．2+4i D．﹣2+4i
【答案】B
【解答】解：z＝1﹣2i，
则．
故选：B．
19．若复数z满足z 1，则|z﹣2i|的取值范围为（　　）
A． B． C．[1，2] D．[1，3]
【答案】D
【解答】解：∵z 1，∴，
其几何意义是复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
而|z﹣2i|表示圆上点到点（0，2）的距离，可得|z﹣2i|∈[1，3]．
故选：D．
20．已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
【答案】B
【解答】解：（2+3i）（4﹣i）＝8﹣2i+12i+3＝11+10i．
故选：B．
21．下列关于复数的命题错误的是（　　）
A．复数i2025的虚部是1
B．的共轭复数的模为2
C．方程x2+2x+3i＝0的两根之和不等于﹣2
D．满足方程z（1+i）＝1﹣i的z＝﹣i
【答案】C
【解答】解：复数i2025＝i2024 i＝（i4）506 i＝i，虚部是1，故A正确；
由共轭复数的定义可知，所求模为，故B正确；
方程x2+2x+3i＝0的两根之和为，故C错误；
z（1+i）＝1﹣i，则，故D正确．
故选：C．
22．复数z＝（1﹣5i）i在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：因为z＝（1﹣5i）i＝5+i，
所以z在复平面内所对应的点的坐标为（5，1），位于第一象限．
故选：A．
23．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），若复数z1 z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
【答案】C
【解答】解：z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），
∵z1 z2＝（2+i）（a﹣i）＝2a+1+（a﹣2）i为纯虚数，
∴2a+1＝0且a﹣2≠0，解得．
故选：C．
24．已知a，b∈R，若（a+bi）（2﹣5i）＝3﹣i2025，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由（a+bi）（2﹣5i）＝（2a+5b）+（2b﹣5a）＝3﹣i2025＝3﹣（i4）506i＝3﹣i，
得，即．
故选：A．
25．若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
【答案】B
【解答】解：∵z1＝（2﹣i）（b+i）＝（2b+1）+（2﹣b）i∈R，复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，
∴2﹣b＝0，解得b＝2，
∴z＝（2﹣i）i＝1+2i，则复数z的虚部为2．
故选：B．
26．计算：的结果是（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．1﹣i D．1+i
【答案】D
【解答】解：由题意，．
故选：D．
27．i1342﹣i51＝（　　）
A．1+i B．0 C．2i D．﹣1+i
【答案】D
【解答】解：i1342﹣i51＝i335×4+2﹣i12×4+3
＝（i4）335 i2﹣（i4）12 i3＝i2﹣i3＝﹣1+i．
故选：D．
（多选）28．若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是（　　）
A．若z（i﹣1）＝i2025﹣1，则Z在第二象限
B．若z为纯虚数，则Z在虚轴上
C．若|z|≤3，则点Z的集合所构成的图形的面积为6π
D．若|z|＝1，则为实数
【答案】BD
【解答】解：z（i﹣1）＝i2025﹣1＝i﹣1，故，Z点在实轴上，故A错误；
若z为纯虚数，则Z在虚轴上，故B正确；
|z|≤3，则点Z的集合所构成的图形是半径为3的圆，面积为9π，故C错误；
设z＝a+bi，
若|z|＝1，
则，即a2+b2＝1，
则，故D正确．
故选：BD．
29．已知复数z＝i2024+（1﹣i）2，若z z1＝4﹣3i，则 　2﹣i ．
【答案】2﹣i．
【解答】解：z＝i2024+（1﹣i）2，
＝1+1﹣2i+i2
＝1﹣2i，
∵z z1＝4﹣3i，
∴z12+i，
则2﹣i．
故答案为：2﹣i．
30．已知复平面内与复数，，z3＝cos37°+isin37°，z4＝sin45°﹣icos45°对应的四点分别为Z1，Z2，Z3，Z4．
（1）求证：Z1，Z2，Z3，Z4四点共圆；
（2）若还有三点Z5，Z6，Z7与Z1，Z2，Z3，Z4共圆，其对应的复数为z5，z6，z7，若；求：△Z5Z6Z7的面积．
【答案】（1）证明见解析．
（2）或．
【解答】解：（1）证明：复平面内与复数，，
z3＝cos37°+isin37°，z4＝sin45°﹣icos45°对应的四点分别为Z1，Z2，Z3，Z4，
，复数z1对应的点为Z1（1，0），
对应的向量为，其中，
∵i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4＝0，
∴，
复数z2对应的点为Z2（0，﹣1），对应的向量为，其中，
复数z3＝cos37°+isin37°对应的点为Z3（cos37°，sin37°），
对应的向量为，其中，
z4＝sin45°﹣icos45°对应的点为Z4（sin45°，﹣cos45°），
对应的向量为，其中，
∵，
∴Z1，Z2，Z3，Z4四点在以原点为圆心，1为半径的圆上；
（2）三点Z5，Z6，Z7与Z1，Z2，Z3，Z4共圆，其对应的复数为z5，z6，z7，
，
根据已知|z5|＝|z6|＝|z7|＝1，又
又由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，
知，
，
∵向量的夹角范围为[0°，180°]，∴∠Z5OZ6 ＝120°，∠Z5OZ7 ＝60°，
如图，当 与 反向共线时，满足∠Z5OZ6＝120°，∠Z5OZ7＝60°，
此时△Z5Z6Z7的面积，
如图，当 在∠Z5OZ6 的内部时，
△Z5Z6Z7的面积，
∴△Z5Z6Z7 的面积 或 ．
▉三．复数的除法运算（共15小题）
31．已知，则|z+i|＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，将分子分母同时乘以分母的共轭复数得，
，所以，
故．
故选：D．
32．若复数z满足，则z＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
【解答】解：，
则，
故．
故选：A．
33．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：（1﹣i）2z＝3+2i，
则，故．
故选：A．
34．复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
【答案】C
【解答】解：因为，又i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，
所以，
所以z＝i，z的虚部为1．
故选：C．
35．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点的坐标是（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【答案】A
【解答】解：复数z满足，
故复数z对应的点的坐标是（1，﹣1）．
故选：A．
36．（　　）
A．1﹣2i B． C．1+2i D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
37．若（a，x，y∈R），且xy＞1，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C． D．（2，+∞）
【答案】A
【解答】解：由题意可知，2+2ai＝（x+yi）（1+i）＝x﹣y+（x+y）i，
所以，解得x＝a+1，y＝a﹣1．因为xy＞1，所以a2﹣1＞1，
解得或．
故选：A．
38．复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式．
故选：A．
39．复数，则z＝（　　）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【答案】A
【解答】解：复数，可得z＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝﹣1+3i．
故选：A．
（多选）40．已知复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，则下列说法正确的是（　　）
A．z1+z2＝2+5i B．z1﹣z2＝2+3i
C．z1 z2＝1﹣i D．
【答案】AD
【解答】解：对于选项A，因为复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，
所以z1+z2＝3+4i﹣1+i＝2+5i，故A正确；
对于选项B，因为复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，
所以z1﹣z2＝3+4i﹣（﹣1+i）＝4+3i，故B错误；
对于选项C，因为复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，
所以z1 z2＝（3+4i）（﹣1+i）＝﹣7﹣i，故C错误；
对于选项D，因为复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，
所以，故D正确．
故选：AD．
（多选）41．已知复数z满足zi＝（1﹣2i）2，则（　　）
A．z的虚部为﹣3
B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C．|z|＝5
D．z2+8z+7＝0
【答案】BC
【解答】解：由zi＝（1﹣2i）2，得z4+3i，
∴z的虚部为3，故A错误；
z在复平面内对应的点的坐标为（﹣4，3），位于第二象限，故B正确；
|z|5，故C正确；
z2+8z+7＝（﹣4+3i）2+8（﹣4+3i）+7＝﹣18，故D错误．
故选：BC．
42．复数（其中i为虚数单位）的虚部是 　　 ．
【答案】
【解答】解：复数i，
故虚部为：．
故答案为：．
43．已知复数z满足z（1+i）＝7﹣9i，则z＝ 　﹣1﹣8i ．
【答案】﹣1﹣8i
【解答】解：1﹣8i．
故答案为：﹣1﹣8i．
44．复数 　﹣i ．
【答案】﹣i．
【解答】解：由，得（﹣i）﹣23＝﹣i．
故答案为：﹣i．
45．已知复数，i为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
【答案】（1）；
（2）m＝﹣4，n＝5．
【解答】解：（1）因为复数，
所以；
（2）因为复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，
所以（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，
可得4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，即（3+2m+n）﹣（m+4）i＝0，
所以，解得m＝﹣4，n＝5．
▉四．复数的混合运算（共15小题）
46．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
所以z1i．
故选：A．
47．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
【答案】C
【解答】解：由i为虚数单位，x，y∈R，（x﹣i）i＝y﹣2i，化简得xi+1＝y﹣2i，
故x＝﹣2，y＝1．
故选：C．
48．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由得2﹣mi＝i（1+ni），即2﹣mi＝﹣n+i，
所以m＝﹣1，n＝﹣2，所以．
故选：A．
49．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若，则复数z在复平面内对应的点Z位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：由z＝a+bi（a，b∈R），，
得（1﹣i）（a+bi）＝a﹣bi﹣2+ai，
∴a+b+（b﹣a）i＝a﹣2+（a﹣b）i，
可得a+b＝a﹣2且b﹣a＝a﹣b，解得a＝b＝﹣2，
∴z＝﹣2﹣2i，其在复平面内对应的点的坐标为Z（﹣2，﹣2），在第三象限．
故选：C．
（多选）50．若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（　　）
A．若|z1|＝1，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1z2∈R，|z2|≠0，则
D．若，则z1＝z2或z1＝﹣z2
【答案】BCD
【解答】解：A选项，设z1＝a+bi，a，b∈R，由|z1|＝1，
得，故A选项正确；
B选项，当时，满足，但z1≠z2，故B选项错误；
C选项，当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，满足z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R，
但，故C选项错误；
D选项，当z1＝1，z2＝i时，满足，但z1≠±z2，故D选项错误．
故选：BCD．
（多选）51．已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
【答案】ABD
【解答】解：对于AB，设z1＝a+bi（a，b∈R），
则，
，故A正确；
，故B正确；
对于C，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故C错误；
对于D，|z2||z1|＝|z2z1|，故D正确．
故选：ABD．
（多选）52．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为
B．|z﹣1|＝1
C．在复平面内对应的点位于第三象限
D．z﹣z2＝1
【答案】ABD
【解答】解：，，所以，
的虚部为，A正确；
，所以，B正确；
在复平面内，对应的点为，位于第一象限，C错误；
，
则，D正确．
故选：ABD．
（多选）53．已知复数z满足（z+2）i＝1+i，其中i为虚数单位，则（　　）
A．复数z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．复数z是方程x2+2x+2＝0的解
D．z8＝16
【答案】ACD
【解答】解：由（z+2）i＝1+i可得，，
对于A，复数z的虚部为﹣1，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，将z＝﹣1﹣i代入方程可得（﹣1﹣i）2+2（﹣1﹣i）+2＝1+2i+i2﹣2﹣2i+2＝0，
所以复数z是方程x2+2x+2＝0的解，故C正确；
对于D，因为z＝﹣1﹣i，所以z2＝2i，则z4＝﹣4，
所以z8＝16，故D正确．
故选：ACD．
（多选）54．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为
C．
D．z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解答】解：由可得，
对于A，，故A错误，
对于B，z的虚部为，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，z在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确．
故选：BCD．
（多选）55．已知复数z0，z满足（z0﹣2）i＝1+i，|z|＝1，则（　　）
A．z0＝3+i
B．
C．在复平面内z0对应的向量为（3，﹣1）
D．|z﹣z0|的最小值为
【答案】BCD
【解答】解：∵（z0﹣2）i＝1+i，
∴，故A错误；
，
，故B正确；
复平面内z0对应的向量为（3，﹣1），故C正确；
设复数z在复平面上的对应点为P，
∵|z|＝1，∴点P的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，
又复数z0在复平面上对应点Z0的坐标为（3，﹣1），
|z﹣z0|的几何意义为点Z0，P的距离，
∴|z﹣z0|的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
56．若，则1+z+z2+…+z2019＝ 　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：∵i，
∴1+z+z2+…+z2019＝1+i+i2+…+i2019＝（1+i+i2+i3）+（i4+i5+i6+i7）+ +（i2016+i2017+i2018+i2019）＝0．
故答案为：0．
57．计算： 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：．
故答案为：1．
58．复分析中的几何变换不仅是研究解析函数性质的核心工具，更深刻揭示了复平面上的几何对称性与不变性．此类变换能够将复杂的曲线映射成其他简单几何图形，同时保持对称性、角度关系等关键性质．这种“共形性”在电磁学、流体力学等领域有着广泛应用．在复平面上，几何变换可通过复数运算实现．
定义1：任意给定a，b∈C，a≠0，称T（z）＝az+b是（对复数z的）线性变换；
定义2：称是（对非零复数z的）乘法逆变换；
定义3：给定z0∈C和非零实数R，如果z1，z2∈C满足，那么称z1和z2在复平面上关于集合{z∈C||z﹣z0|＝R}对称．
（1）设线性变换T（z）＝（1+i）z+1，U＝{z∈C|Re（（1﹣i）z）+1＝0}，请说明复数集U在复平面对应的图像的几何形状，并求g（z）＝|T（z）|，z∈U的最小值；
（2）设f（z）为乘法逆变换，请说明复数集V1＝{ω∈C|ω＝f（z），Re（（1﹣i）z）＝1，z∈C}在复平面对应的图像的几何形状，并求d＝|ω1﹣ω2|，ω1∈V1，ω2∈V2的最小值，其中；
（3）给定z0∈C，|z0|≠1，若z1，z2∈C在复平面上关于集合W1＝{z∈C||z﹣z0|＝1}对称，是否存在ω0∈C和R∈R，使得f（z1）和f（z2）在复平面上关于集合Wz＝{z∈C||z﹣ω0|＝R}对称，其中f（z）为乘法逆变换．
【答案】（1）斜率为﹣1的直线，最小值为1；
（2）圆，最小值为；
（3）存在，．
【解答】解：（1）设z＝x+yi，（x，y∈R），
则（1﹣i）z＝（1﹣i）（x+yi）＝（x+y）+（﹣x+y）i，
根据条件Re[（1﹣i）z]+1＝0，即x+y+1＝0，对应斜率为﹣1的直线．
I（z）＝（1+i）z+1，设z∈U，即y＝﹣x﹣1．
代入得：T（z）＝（1+i）[x﹣（x+1）i]+1＝2x+2﹣i
因此，g（z）＝|T（z）|.当x＝﹣1时，取得最小值1．
（2）令，则由Re（（1﹣i）z）＝1得Re（）＝1，
即（Re（（1+i）ω）﹣|ω|2＝0，
因此|ω|2﹣Re（（1+i）ω）＝0．
设ω＝x+yi，x，y∈R，则上式等价于（x）2+（y）2，
说明复数集V1在复平面对应的几何形状为圆，圆心为，半径为；
任取ω∈V2，设ω＝u+vi，u，v∈R，则（u﹣3）2+（v+1）2＝3，
即复数集V2在复平面对应的几何形状为圆，圆心为O2（3，﹣1），半径为．两圆相离，
因此；
（3）若|z﹣z0|＝1，令，则，
即，
由此可知，
等价于|ω|20，
变形可得，
因此．
复数集W1在乘法逆变换的映射下在复平面的图像是以为圆心，为半径的圆．
下证满足题意．
此时证明f（z1）和f（z2）在复平面上关于集合W2＝{z∈C||z﹣ω0|＝R}对称等价于证明，
等价于．
注意到|z0|≠1，因此上式又等价于
即．
由条件和定义可知，此时z1，z2∈C在复平面上关于集合W1＝{z∈C||z﹣z0|＝1}
对称，故上式显然成立．
因此结论对成立．
59．（1）求的值；
（2）若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根是，其中a，b∈R，i是虚数单位，求的值．
【答案】（1）1﹣i；
（2）．
【解答】解：（1）．
（2）由关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根是，
可得 ，
因为a，b∈R，所以，解得，
所以．
60．已知：实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根α＝﹣1i，另一根为β．
（1）求：实数p，q的值；
（2）求：α2+β2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根α＝﹣1i，
∴方程必有另一根为β＝﹣1i，
∴由韦达定理可得α+β＝﹣2＝﹣p，αβ＝4＝q，
∴p＝2，q＝4；
（2）α2+β2＝（﹣1i）2+（﹣1i）2
＝﹣2﹣2i﹣2+2i＝﹣47.2 复数的四则运算
▉【知识点1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：.
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复
数的差对应的向量是，即向量.
如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意∈C，有
①交换律：；
②结合律：；
③分配律：.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，
，.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.
故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
▉【知识点2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当 >0时，方程有两个不相等的实根
，；
当 =0时，方程有两个相等的实根；
当 <0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
▉一．复数的加、减运算及其几何意义（共13小题）
1．已知复数z满足|z﹣2﹣2i|＝2，则|z|最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数a，b∈R，ai（1+2i）＝b+3i，则a+b＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．已知复数z1＝6﹣5i，z2＝3+2i，其中i为虚数单位，则z1+z2＝（　　）
A．9﹣3i B．9+3i C．9﹣7i D．9+7i
4．若（1﹣i）+（2+3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a﹣b＝（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣3
5．若z1＝13﹣3i，z2＝4+i，则z1﹣z2＝（　　）
A．9﹣4i B．9﹣2i C．﹣9+4i D．﹣9+2i
6．已知复数z1＝3+4i，z2＝3﹣4i，则z1﹣z2等于（　　）
A．8i B．6 C．6+8i D．6﹣8i
7．（3+4i）+（1﹣2i）＝（　　）
A．4+2i B．4﹣2i C．1+4i D．1+5i
8．若复数z满足|z﹣2i|＝1，则|z|的最小值是 　 　 ．
9．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　 　 ．
10．已知复数z1，z2满足z1＝iz2且，则对于任意的复数z，的最小值为　 　 ．
11．已知z＝1﹣2i，且，其中a，b为实数，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ．
12．计算：
（1）（2﹣i）﹣（2+3i）+4i；
（2）（1+2i）（2﹣3i）；
（3）．
13．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．
（1）求，及，；
（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．
▉二．复数的乘法及乘方运算（共17小题）
14．已知复数z满足，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1+3i
15．已知复数z＝i（1+i），则z的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
16．在复平面内，若i是虚数单位，复数Z与关于虚轴对称，则Z＝（　　）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
17．已知z＝2﹣i，则z2＝（　　）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i
18．已知z＝1﹣2i，则（　　）
A．﹣4+2i B．4+2i C．2+4i D．﹣2+4i
19．若复数z满足z 1，则|z﹣2i|的取值范围为（　　）
A． B． C．[1，2] D．[1，3]
20．已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
21．下列关于复数的命题错误的是（　　）
A．复数i2025的虚部是1
B．的共轭复数的模为2
C．方程x2+2x+3i＝0的两根之和不等于﹣2
D．满足方程z（1+i）＝1﹣i的z＝﹣i
22．复数z＝（1﹣5i）i在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），若复数z1 z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．﹣1
24．已知a，b∈R，若（a+bi）（2﹣5i）＝3﹣i2025，则a＝（　　）
A． B． C． D．
25．若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
26．计算：的结果是（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．1﹣i D．1+i
27．i1342﹣i51＝（　　）
A．1+i B．0 C．2i D．﹣1+i
（多选）28．若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是（　　）
A．若z（i﹣1）＝i2025﹣1，则Z在第二象限
B．若z为纯虚数，则Z在虚轴上
C．若|z|≤3，则点Z的集合所构成的图形的面积为6π
D．若|z|＝1，则为实数
29．已知复数z＝i2024+（1﹣i）2，若z z1＝4﹣3i，则 　 　 ．
30．已知复平面内与复数，，z3＝cos37°+isin37°，z4＝sin45°﹣icos45°对应的四点分别为Z1，Z2，Z3，Z4．
（1）求证：Z1，Z2，Z3，Z4四点共圆；
（2）若还有三点Z5，Z6，Z7与Z1，Z2，Z3，Z4共圆，其对应的复数为z5，z6，z7，若；求：△Z5Z6Z7的面积．
▉三．复数的除法运算（共15小题）
31．已知，则|z+i|＝（　　）
A．1 B． C． D．
32．若复数z满足，则z＝（　　）
A． B． C．﹣1+i D．﹣1﹣i
33．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则（　　）
A． B． C． D．
34．复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
35．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点的坐标是（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
36．（　　）
A．1﹣2i B． C．1+2i D．
37．若（a，x，y∈R），且xy＞1，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C． D．（2，+∞）
38．复数（　　）
A． B． C． D．
39．复数，则z＝（　　）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
（多选）40．已知复数z1＝3+4i，z2＝﹣1+i，则下列说法正确的是（　　）
A．z1+z2＝2+5i B．z1﹣z2＝2+3i
C．z1 z2＝1﹣i D．
（多选）41．已知复数z满足zi＝（1﹣2i）2，则（　　）
A．z的虚部为﹣3
B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C．|z|＝5
D．z2+8z+7＝0
42．复数（其中i为虚数单位）的虚部是 　 　 ．
43．已知复数z满足z（1+i）＝7﹣9i，则z＝ 　 　 ．
44．复数 　 　 ．
45．已知复数，i为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
▉四．复数的混合运算（共15小题）
46．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
47．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
48．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
49．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若，则复数z在复平面内对应的点Z位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）50．若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（　　）
A．若|z1|＝1，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1z2∈R，|z2|≠0，则
D．若，则z1＝z2或z1＝﹣z2
（多选）51．已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
（多选）52．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为
B．|z﹣1|＝1
C．在复平面内对应的点位于第三象限
D．z﹣z2＝1
（多选）53．已知复数z满足（z+2）i＝1+i，其中i为虚数单位，则（　　）
A．复数z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．复数z是方程x2+2x+2＝0的解
D．z8＝16
（多选）54．已知i为虚数单位，复数，则（　　）
A．
B．z的虚部为
C．
D．z在复平面内对应的点在第一象限
（多选）55．已知复数z0，z满足（z0﹣2）i＝1+i，|z|＝1，则（　　）
A．z0＝3+i
B．
C．在复平面内z0对应的向量为（3，﹣1）
D．|z﹣z0|的最小值为
56．若，则1+z+z2+…+z2019＝ 　 　 ．
57．计算： 　 　 ．
58．复分析中的几何变换不仅是研究解析函数性质的核心工具，更深刻揭示了复平面上的几何对称性与不变性．此类变换能够将复杂的曲线映射成其他简单几何图形，同时保持对称性、角度关系等关键性质．这种“共形性”在电磁学、流体力学等领域有着广泛应用．在复平面上，几何变换可通过复数运算实现．
定义1：任意给定a，b∈C，a≠0，称T（z）＝az+b是（对复数z的）线性变换；
定义2：称是（对非零复数z的）乘法逆变换；
定义3：给定z0∈C和非零实数R，如果z1，z2∈C满足，那么称z1和z2在复平面上关于集合{z∈C||z﹣z0|＝R}对称．
（1）设线性变换T（z）＝（1+i）z+1，U＝{z∈C|Re（（1﹣i）z）+1＝0}，请说明复数集U在复平面对应的图像的几何形状，并求g（z）＝|T（z）|，z∈U的最小值；
（2）设f（z）为乘法逆变换，请说明复数集V1＝{ω∈C|ω＝f（z），Re（（1﹣i）z）＝1，z∈C}在复平面对应的图像的几何形状，并求d＝|ω1﹣ω2|，ω1∈V1，ω2∈V2的最小值，其中；
（3）给定z0∈C，|z0|≠1，若z1，z2∈C在复平面上关于集合W1＝{z∈C||z﹣z0|＝1}对称，是否存在ω0∈C和R∈R，使得f（z1）和f（z2）在复平面上关于集合Wz＝{z∈C||z﹣ω0|＝R}对称，其中f（z）为乘法逆变换．
59．（1）求的值；
（2）若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根是，其中a，b∈R，i是虚数单位，求的值．
60．已知：实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根α＝﹣1i，另一根为β．
（1）求：实数p，q的值；
（2）求：α2+β2的值．

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