资源简介

7.3 复数的三角表示
▉【知识点1 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，)
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
▉【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
▉一．复数的代数形式与三角形式互化（共23小题）
1．复数的三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
2．复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（　　）
A． B． C． D．
3．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
4．复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．i
5．若θ∈（，π），则复数（1+i）（cosθ﹣isinθ）的三角形式是（　　）
A．[cos（θ）+isin（θ）]
B．[cos（2π﹣θ）+isin（2π﹣θ）]
C．[cos（θ）+isin（θ）]
D．[cos（θ）+isin（θ）]
6．复数zi的三角形式是（　　）
A． B．
C． D．
7．的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．复数（sin10°+icos10°）（sin10°+icos10°）的三角形式是（　　）
A．sin30°+icos30° B．cos160°+isin160°
C．cos30°+isin30° D．sin160°+icos160°
9．复数z＝﹣3（cosisin）（i是虚数单位）的三角形式是（　　）
A．3[cos（）+isin（）]
B．3（cosisin）
C．3（cos）+isin）
D．3（cosisin）
10．复数的三角形式是（　　）
A． B．
C． D．
11．复数cos60°+isin30°的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin30°
B．cos60°+isin60°
C．（cos45°+isin45°）
D．cos45°+isin45°
12．已知复数z的模为2，虚部为﹣1，则z的三角形式是（　　）
A．2（cosisin）
B．2（cosisin）
C．2（cosisin）或2（cosisin）
D．2[（cos（）+isin（）]或2（cosisin）
（多选）13．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．z3＝1
D．z2﹣z+1＝0
14．在复平面上，设点A、B对应的复数分别为，z2＝cosθ+i sinθ（其中i为虚数单位），当θ由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积为 　 　 ．
15．将复数化为三角形式：　 　 ．
16．复数的三角形式是 　 　 ．
17．欧拉公式eix＝cos（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当x时，，根据欧拉公式，若将e2021π i所表示的复数记为z，则将复数表示成三角形式为 　 　 ．
18．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则z的实部为 　 　 ．
19．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数z满足（eiπ+i） z＝i，则z的虚部是 　 　 ，实部是 　 　 ．
20．欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，将复数表示成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式 　 　 ；若zn＝1，则z＝zk（k＝0，1，2，…，n﹣1），这里（k＝0，1，2，…，n﹣1），称zk为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x1+1），复数，则（z﹣2）（z2﹣2）（z3﹣2）（z4﹣2）的值是 　 　 ．
21．如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定0 θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数三角形式的乘法公式：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知，求zw+zw3的三角形式；
（2）已知θ0为定值，0 θ0 π，将复数1+cosθ0+isinθ0化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1，z2， ，z20，求复数所对应不同点的个数．
22．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
23．欧拉公式：eix＝cosx+isinx（e是自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式．
（I）根据欧拉公式将化成复数的代数形式；
（Ⅱ）设函数f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx，0≤x，求f（x）的值域．
▉二．复数的辐角和辐角主值（共18小题）
24．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
25．复数的辐角主值是（　　）
A． B． C． D．
26．设，，则argz2＝（　　）
A． B． C． D．
27．任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么（　　）
A． B． C． D．
28．已知复数，则argz＝（　　）
A． B． C． D．
29．任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以写成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中r，（0≤θ＜2π）该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数zi，则z的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
30．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
31．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
32．已知复数的模为2，辐角为，则 　 　 ．
33．设复数2﹣i和3﹣i的辐角主值分别为α，β，则α+β＝　 　
34．若复数（i为虚数单位），则argz＝　 　 ．
35．已知复数，则复数的辐角　 　 ．
36．已知复数z满足|z|，argz＝arctan2．若z是实系数一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个根，则b+c＝　 　 ．
37．复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　 　 ．
38．我们知道复数有三角形式，z＝r（cosθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
已知圆O半径为1，圆O的内接正方形ABCD的四个顶点均在圆O上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的复数为z1，B点所对应的复数为z2，C点所对应的复数为z3，D点所对应的复数为z4．
（1）若，求出z2，z3；
（2）如图，若P（2，0），以PA为边作等边△PAQ，且Q在AP上方．
（ⅰ）求线段OQ长度的最小值；
（ⅱ）若（x，y∈R），求x+y的取值范围．
39．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2＝﹣1．当b＝0时，z为实数；当b≠0且a＝0时，z为纯虚数．其中，叫做复数z的模．
设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R
如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
（1）设复数z1＝r1（cosα+isinα），z2＝r2（cosβ+isinβ），求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数z3＝1﹣cosθ+isinθ，z4＝1+cosθ+isinθ，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A、B、C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
40．已知．
（1）当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
（2）若θ∈（π，2π），求argz（用θ表示）．注：argz是辐角主值．
41．设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y＝tan（θ﹣argz）（0＜θ）的最大值以及对应的θ值．
▉三．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（共19小题）
42．设复数z1，z2对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则z2＝（　　）
A． B． C． D．
43．复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
44．将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A．2i B． C．i D．
45．设z（i是虚数单位），则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝（　　）
A．6z B．6z2 C．6 D．﹣6z
46．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（　　）
A．2 B． C．3i D．3
（多选）47．任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．当r＝1，时，复数z3为纯虚数
B．当r＝2，时，z3＝8
C．当r＝1，时，
D．
（多选）48．欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（　　）
A．eπi＝1
B．为纯虚数
C．
D．复数e2i对应的点位于第三象限
（多选）49．已知复数z＝cosθ+isinθ，则（　　）
A． B．|z|＝1 C．z2＝1 D．
（多选）50．已知复数，其在复平面内对应点A，下列说法中正确的是（　　）
A．复数z1的三角形式为
B．在复平面内将点A绕坐标原点O逆时针旋转后到达点B，点B所对应的复数
C．在复平面内将点A绕坐标原点O顺时针旋转后到达点C，点C所对应的复数为z3，则z1 z3＝0
D．
（多选）51．将1i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是﹣2i，则θ的值可以是（　　）
A． B． C． D．
52．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x＝（a，b），对应复数z＝a+bi，向量x逆时针旋转一个角度θ，得到复数z'＝（a+bi）（cosθ+isinθ）＝acosθ﹣bsinθ+i（asinθ+bcosθ），于是对应向量x'＝（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）．这就是向量的旋转公式．已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A（1，4），B（3，2），根据此公式，求得点C的坐标是 　 　 ．（任写一个即可）
53．计算：　 　 ．
54．如果向量对应复数﹣2i，绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 　 　 ．
55．任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，，，，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，且z2≠0，若令z1＝z2＝ ＝zn＝z，则能导出复数乘方公式：zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
请用以上知识解决以下问题：
（1）试将写成三角形式；
（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求的值；
（3）设z＝a+bi，a，b∈R，当|z|＝1时，求|z2+z+1|的最大值和最小值．
56．在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．
如：将向量绕坐标原点O逆时针方向旋转θ得到向量，由|OA|＝r，以为终边的角为α，则点A（rcosα，rsinα），进而求得点A′（rcos（α+θ），rsin（α+θ））．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：
（1）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，1），将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至A′．求点A′的坐标；
（2）设向量（a，b），把向量按顺时针方向旋转θ角得到向量，求向量对应的复数．
57．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：
（1）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，2），将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至A'．求点A'的坐标；
（2）设向量，把向量按顺时针方向旋转θ角得到向量，求向量对应的复数；
（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两个定点，将点B绕点A按逆时针旋转θ角得到点C，判断点C是否能够落在直线y＝x上，若能，试用a，m，n表示相应θ的值，若不能，说明理由．
58．已知复数z在复平面上对应的点在第二象限，且满足．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）设z，z2，z3在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
59．画出复数z＝（﹣1+i）（sin30°+icos30°）所对应的向量．
60．已知A为△ABC的内角，O为坐标原点，复数z＝cosA+isinA（i为虚数单位），且满足|z﹣1|＝1．
（1）求1﹣z+z2；
（2）复数z对应的向量绕O逆时针旋转得到，对应的复数为z′，求z z′．7.3 复数的三角表示
▉【知识点1 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且
三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
▉【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即.
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
▉一．复数的代数形式与三角形式互化（共23小题）
1．复数的三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵cos，sin，
∴，，故A，C错误；
∵cos，sin，
∴，，故B正确，D错误．
故选：B．
2．复数z＝1+cosα+isinα（π＜α＜2π），则|z|为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由复数z＝1+cosα+isinα，
得|z|
|2|，
∵π＜α＜2π，∴cos0，则|z|＝﹣2cos．
故选：B．
3．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
【答案】D
【解答】解：令，
则r＝|z|＝1，所以，
因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，
的三角形式是cos120°+isin120°．
故选：D．
4．复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【解答】解：2（i）i，
所以该复数的虚部1．
故选：B．
5．若θ∈（，π），则复数（1+i）（cosθ﹣isinθ）的三角形式是（　　）
A．[cos（θ）+isin（θ）]
B．[cos（2π﹣θ）+isin（2π﹣θ）]
C．[cos（θ）+isin（θ）]
D．[cos（θ）+isin（θ）]
【答案】A
【解答】解：因为1+i，
cosθ﹣isinθ＝cos（2π﹣θ）+isin（2π﹣θ），
所以（1+i）（cosθ﹣isinθ）
[cos（）+isin（）]
[cos（）+isin（）]．
故选：A．
6．复数zi的三角形式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：zi＝2（）＝2（cos），
故选：C．
7．的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
8．复数（sin10°+icos10°）（sin10°+icos10°）的三角形式是（　　）
A．sin30°+icos30° B．cos160°+isin160°
C．cos30°+isin30° D．sin160°+icos160°
【答案】B
【解答】解：（sin10°+icos10°）（sin10°+icos10°）＝sin210°﹣cos210°+2sin10°cos10°i＝﹣cos20°+sin20°i＝cos160°+isin160°．
故选：B．
9．复数z＝﹣3（cosisin）（i是虚数单位）的三角形式是（　　）
A．3[cos（）+isin（）]
B．3（cosisin）
C．3（cos）+isin）
D．3（cosisin）
【答案】C
【解答】解：由复数的三角形式：Z＝r（cosθ+isinθ）得，
，
故选：C．
10．复数的三角形式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
，
∴，
故选：A．
11．复数cos60°+isin30°的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin30°
B．cos60°+isin60°
C．（cos45°+isin45°）
D．cos45°+isin45°
【答案】C
【解答】解：cos60°+isin30°i（i）（cos45°+isin45°），
故选：C．
12．已知复数z的模为2，虚部为﹣1，则z的三角形式是（　　）
A．2（cosisin）
B．2（cosisin）
C．2（cosisin）或2（cosisin）
D．2[（cos（）+isin（）]或2（cosisin）
【答案】D
【解答】解：由题意设z＝a﹣i（a∈R），由|z|，解得a．
∴z，
当z时，z2（cosisin）；
当z时，z＝2（）＝2[（cos（）+isin（）]．
∴z的三角形式是2[（cos（）+isin（）]或2（cosisin）．
故选：D．
（多选）13．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）
A．
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．z3＝1
D．z2﹣z+1＝0
【答案】AD
【解答】解：，，
，故A正确；
在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第四象限，故B错误；
，故C错误；
0，故D正确．
故选：AD．
14．在复平面上，设点A、B对应的复数分别为，z2＝cosθ+i sinθ（其中i为虚数单位），当θ由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得A（，1），B（cosθ，sinθ），
因为cos2θ+sin2θ＝1，所以点B在以原点O为圆心，半径为1的圆上．
时对应B1（，），θ时对应B2（，）．
B1B2，
则S弓形＝S扇形﹣S三角形，
又B1B2：，即2x+2y，
A（）到直线的距离为，
则△AB1B2的面积S．
则向量所扫过的图形区域的面积为．
故答案为：．
15．将复数化为三角形式：　　 ．
【答案】．
【解答】解：复数中，，
设θ为复数的辐角主值，θ∈[0，2π），
又，
所以．
故答案为：．
16．复数的三角形式是 　cosisin　 ．
【答案】cosisin．
【解答】解：复数cosisin．
故答案为：cosisin．
17．欧拉公式eix＝cos（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当x时，，根据欧拉公式，若将e2021π i所表示的复数记为z，则将复数表示成三角形式为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为e2021πi＝cos2021π+isin2021π＝﹣1，
所以．
故答案为：．
18．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则z的实部为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，得，
则z的实部为．
故答案为：．
19．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数z满足（eiπ+i） z＝i，则z的虚部是 　　 ，实部是 　　 ．
【答案】； ．
【解答】解：由eiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，得（eiπ+i） z＝（﹣1+i） z＝i，
则．
∴z的虚部是，实部是．
故答案为：；．
20．欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，将复数表示成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式 　　 ；若zn＝1，则z＝zk（k＝0，1，2，…，n﹣1），这里（k＝0，1，2，…，n﹣1），称zk为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x1+1），复数，则（z﹣2）（z2﹣2）（z3﹣2）（z4﹣2）的值是 　31　 ．
【答案】，31．
【解答】解：eeiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，所以，由题意可得z5＝1，
所以z5﹣1＝（z﹣1）（z4+z3+z2+z1+1）＝0，又因为z≠1，所以z4+z3+z2+z1+1＝0，
则（z﹣2）（z2﹣2）（z3﹣2）（z4﹣2）
＝[（z﹣2）（z4﹣2）][（z2﹣2）（z3﹣2）]
＝（z5+4﹣2z﹣2z4）（z5+4﹣2z2﹣2z3）
＝（5﹣2z﹣2z4）（5﹣2z2﹣2z3）
＝25﹣10z2﹣10z3﹣10z+4z3+4z4﹣10z4+4z+4z2
＝25﹣6（z4+z3+z4+z1）
＝31﹣6（z4+z3+z2+z1+1）
＝31．
故答案为：，31．
21．如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定0 θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数三角形式的乘法公式：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知，求zw+zw3的三角形式；
（2）已知θ0为定值，0 θ0 π，将复数1+cosθ0+isinθ0化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1，z2， ，z20，求复数所对应不同点的个数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）5．
【解答】解：（1）
；
（2）；
（3）正二十边形每边所对的中心角为，设z1＝cosθ+isinθ（θ为常数），
则，
所以
，
由周期性可知，共有5个不同的值，
故复数所对应不同点的个数为5．
22．已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．
（1）若，求复数z+i的辐角主值；
（2）若z≠±i，复数ω满足为实数．则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由．
（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数的辐角主值为φ．求φ的取值范围．
【答案】（1）；
（2）以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1），理由见解析；
（3）．
【解答】解：（1）cosisin，
所以z+i的辐角主值为；
（2）由题意设z＝a+bi（a，b∈R），a≠0，则a2+b2＝1，
为纯虚数，
又因为为实数，
所以为纯虚数或0，设ω＝x+yi（x，y∈R），
所以为纯虚数或0，
即x2+y2＝1，且ω≠i．
所以ω是以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1）；
（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，
设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，
，
令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，
设，即，
解得k范围为，
若Im（z）≥0，则φ的范围是，
若Im（z）＜0，则φ的范围是．
所以φ的范围是．
23．欧拉公式：eix＝cosx+isinx（e是自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式．
（I）根据欧拉公式将化成复数的代数形式；
（Ⅱ）设函数f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx，0≤x，求f（x）的值域．
【答案】（I）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（I）；
（Ⅱ）f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx＝（cos2x+isin2x）+（cos2x﹣isin2x）+2sin2x
，
∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，∈[，]，
当，即时，；
当，即时，f（x）min＝﹣2；
∴f（x）的值域为．
▉二．复数的辐角和辐角主值（共18小题）
24．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
则复数z的辐角主值为．
故选：C．
25．复数的辐角主值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：复数，
所以复数的辐角主值是．
故选：D．
26．设，，则argz2＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，
则z2（﹣1）2cosisin，
即argz2，
故选：B．
27．任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得|﹣1i|2，
则﹣1i＝2（）＝2（cos），
所以arg（﹣1i）．
故选：B．
28．已知复数，则argz＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以．
故选：C．
29．任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以写成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中r，（0≤θ＜2π）该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数zi，则z的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：复数zi＝cosisin，
∴复数zi的辐角主值为．
故选：A．
30．复数的辐角主值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴复数z的辐角为2kπ，k∈Z，
∴复数z的辐角主值为．
故选：A．
31．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解答】解：复数z满足条件argz∈（π，π），
设z＝r（cosθ+isinθ），
则（cos（﹣2θ）+isin2θ）（cos2θ+isin2θ），
argz∈（π，π），
即θ∈（π，π），可得2θ∈（，2π）．
则对应复平面上的点位于第四象限．
故选：D．
32．已知复数的模为2，辐角为，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知可得，
所以，
可得，
故答案为：．
33．设复数2﹣i和3﹣i的辐角主值分别为α，β，则α+β＝　　
【答案】．
【解答】解：∵复数2﹣i和3﹣i对应的点分别为（2，﹣1），（3，﹣1），
∴α＜2π，β＜2π；
∴α+β＜4π；
∵tanα，tanβ，
∴tan（α+β）1，
∴α+β，
故答案为：．
34．若复数（i为虚数单位），则argz＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：复数2（i）＝2（cosi），
则argz，
故答案为：．
35．已知复数，则复数的辐角　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意结合复数的除法运算法则可得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
36．已知复数z满足|z|，argz＝arctan2．若z是实系数一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个根，则b+c＝　9　 ．
【答案】9．
【解答】解：设z＝x+yi（x∈R，y∈R），因为argz＝arctan2，
所以，且复数z在第一象限，
又复数z满足，所以z＝1+2i，
因为z是实系数一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个根，
则有3（1+2i）2+b（1+2i）+c＝0，也即（12+2b）i+b+c﹣9＝0，
所以，则b+c＝9．
故答案为：9．
37．复数的三角形式（用辐角主值表示）为 　cosisin　 ．
【答案】cosisin．
【解答】解：cos（）+isin（）＝cosisin．
故答案为：cosisin．
38．我们知道复数有三角形式，z＝r（cosθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
已知圆O半径为1，圆O的内接正方形ABCD的四个顶点均在圆O上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的复数为z1，B点所对应的复数为z2，C点所对应的复数为z3，D点所对应的复数为z4．
（1）若，求出z2，z3；
（2）如图，若P（2，0），以PA为边作等边△PAQ，且Q在AP上方．
（ⅰ）求线段OQ长度的最小值；
（ⅱ）若（x，y∈R），求x+y的取值范围．
【答案】（1）z2，z3；
（2）（ⅰ）1；
（ⅱ）[，]．
【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）（ⅰ）设z1＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π），所表示的复数为z5，所表示的复数为z6，
则z5＝cosθ﹣2+isinθ，，
故，
得
，其中，
当1时，线段OQ长度取最小值为1；
（ⅱ）设z1＝cosθ+isinθ，则z4＝sinθ﹣icosθ，即D点坐标为（sinθ，﹣cosθ），
此时，，，
由（x，y∈R），
得：，
即，解得，
∴，
故，其中，
可得．
39．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2＝﹣1．当b＝0时，z为实数；当b≠0且a＝0时，z为纯虚数．其中，叫做复数z的模．
设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R
如图，点Z（a，b），复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
（1）设复数z1＝r1（cosα+isinα），z2＝r2（cosβ+isinβ），求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数z3＝1﹣cosθ+isinθ，z4＝1+cosθ+isinθ，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A、B、C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
【答案】（1）
（2）argz3+argz4．
（3）证明见解答．
【解答】解：（1）z1 z2＝r1（cosα+isinα） r2（ cosβ+isinβ）＝r1r2[coscxcosβ﹣sinαsinβ+i（sinαcosβ+coscxsinβ）]
＝r1r2[cos（α+β）+isin（α+β）]，
＝r1[cosαcosβ+sinαsinβ+i（sinαcosβ﹣cosαsinβ）]
．
（2）设tanz3＝α，tang4＝β，z3的模为r3，z4的模为r4，α，β∈[0，2π），
对于z3＝1﹣cosθ+isinθ，有，θ∈（π，2 π），
对于z4＝1+cosθ+isinθ，有，θ∈（π，2π），
所以，，α，，
所以tanα+tanβ．
，所以无意义，
即α+β的角的终边在y轴上，又α+β∈（3π，4π），
所以，argz3+argz4．
（3）证明：如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点A作BC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
则，所以c（cosA+isinA）+a[cos（﹣C）+isin（﹣C）]＝b，
即ccosA+icsinA+acosC﹣iasinC＝b，即（ccosA+acosC）+i（csinA﹣asinC）＝b，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，ccosA+acosC＝b，
同理，，
bcosC+ccosB＝a，所以，
a＝bcosC+ccosB，b＝acosC+ccosA，c＝acosB+bcosA．
40．已知．
（1）当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
（2）若θ∈（π，2π），求argz（用θ表示）．注：argz是辐角主值．
【答案】（1）|z|取最大值．
（2）当时，．
当时，．
【解答】解：（1），
所以，当时，即时，|z|取最大值．
（2）设argz＝α，则由于，
所以，．
因为θ∈（π，2π），所以z的实部：，z的虚部：．
当时，，z所对应的点位于第一象限（或x轴正半轴）．
由于，所以，．
当时，，z所对应的点位于第四象限．
由于，所以．
41．设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y＝tan（θ﹣argz）（0＜θ）的最大值以及对应的θ值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由得tanθ＞0，
由z＝3cosθ+isinθ得tan（argz），
故y＝tan（θ﹣argz），
∵，
∴，
当且仅当（）时，即tanθ时，上式取等号，
所以当θ时，函数y取得最大值．
▉三．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（共19小题）
42．设复数z1，z2对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则z2＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意知，2（i）＝2（cosisin），
所以z＝2（cosisin）[cos（）+isin（）]＝2（cos0+isin0）＝2，
由z＝z2（cosisin）＝2，
所以z22（cossin）＝﹣1i．
故选：B．
43．复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向对应的复数为（　　）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【解答】解：z＝1﹣i（cos（）+isin（）），
将复数z的对应向量按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为
（cos（）+isin（）），
故选：A．
44．将复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（　　）
A．2i B． C．i D．
【答案】B
【解答】解：∵向量对应的复数为1+i，
把向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，
则对应的复数是（1+i）（cosisin）＝（1+i）（）
．
故选：B．
45．设z（i是虚数单位），则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝（　　）
A．6z B．6z2 C．6 D．﹣6z
【答案】C
【解答】解：∵zcos，
z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6＝cos2cos2sini+3cosπ
+3sinπi+4cos4sini+5cos5sini+6cos2π+6sin2πi
＝6（）＝6
故选：C．
46．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（　　）
A．2 B． C．3i D．3
【答案】B
【解答】解：∵由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，
∴旋转后的向量为．
故选：B．
（多选）47．任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．当r＝1，时，复数z3为纯虚数
B．当r＝2，时，z3＝8
C．当r＝1，时，
D．
【答案】BCD
【解答】解：对于A，z3＝cosπ+isinπ＝﹣1，z3为实数，故A错误；
对于B，，z3＝8（cos2π+isin2π）＝8，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，z＝r（cosθ+isinθ），则，故D正确．
故选：BCD．
（多选）48．欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（　　）
A．eπi＝1
B．为纯虚数
C．
D．复数e2i对应的点位于第三象限
【答案】BC
【解答】解：对于A：eπi＝cosπ+isinπ＝﹣1，故A错误；
对于B：，所以为纯虚数，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：e2i＝cos2+isin2，则复数e2i在复平面内对应的点为（cos2，sin2），
因为，所以cos2＜0，sin2＞0，所以点（cos2，sin2）位于第二象限，
即复数e2i对应的点位于第二象限，故D错误．
故选：BC．
（多选）49．已知复数z＝cosθ+isinθ，则（　　）
A． B．|z|＝1 C．z2＝1 D．
【答案】ABD
【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，z2＝（cosθ+isinθ）2＝（cos2θ﹣sin2θ）+（2sinθcosθ）i＝cos2θ+（sin2θ）i，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）50．已知复数，其在复平面内对应点A，下列说法中正确的是（　　）
A．复数z1的三角形式为
B．在复平面内将点A绕坐标原点O逆时针旋转后到达点B，点B所对应的复数
C．在复平面内将点A绕坐标原点O顺时针旋转后到达点C，点C所对应的复数为z3，则z1 z3＝0
D．
【答案】BD
【解答】解：复数，其在复平面内对应点A，
对于A，因为，故A错误；
对于B，设A点对应的向量为，则绕坐标原点O逆时针旋转后得到对应的复数为，
则点B对应的复数，故B正确；
对于C，设C点对应的向量为，则绕坐标原点O顺时针旋转后得到对应的复数为，
则点C对应的复数，故C错误；
对于D，由B，C可知，
，，
则，故D正确．
故选：BD．
（多选）51．将1i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是﹣2i，则θ的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解答】解：由题意，可得（1i）（cosθ+isinθ）＝﹣2i，
∴cosθ+isinθi，
则θ的值可以是，．
故选：CD．
52．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x＝（a，b），对应复数z＝a+bi，向量x逆时针旋转一个角度θ，得到复数z'＝（a+bi）（cosθ+isinθ）＝acosθ﹣bsinθ+i（asinθ+bcosθ），于是对应向量x'＝（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）．这就是向量的旋转公式．已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A（1，4），B（3，2），根据此公式，求得点C的坐标是 　（2，3）（答案不唯一）．　 ．（任写一个即可）
【答案】（2，3）（答案不唯一）．
【解答】解：∵A（1，4），B（3，2），
∴，要得到一个等边三角形，可把逆时针旋转，得到，
则（2cos2sin，2sin2cos）＝（1，），
设C（x，y），则，
由（x﹣1，y﹣4）＝（1，），可得，
解得．
∴点C的坐标是（2，3）．
故答案为：（2，3）（答案不唯一）．
53．计算：　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：i，
则i6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
54．如果向量对应复数﹣2i，绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 　i ．
【答案】i，
【解答】解：∵向量与复数﹣2i对应，绕原点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，
∴对应的复数是为（﹣2i） [cos（）+isin（）]
＝（﹣3i）（i）i，
故答案为：i．
55．任意一个复数z的代数形式都可写成三角形式，即z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），其中i为虚数单位，，，，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，且z2≠0，若令z1＝z2＝ ＝zn＝z，则能导出复数乘方公式：zn＝rn（cosnθ+isinnθ）．
请用以上知识解决以下问题：
（1）试将写成三角形式；
（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求的值；
（3）设z＝a+bi，a，b∈R，当|z|＝1时，求|z2+z+1|的最大值和最小值．
【答案】（1）2（cosisin）；
（2）±i；
（3）最大值和最小值分别为3，0．
【解答】解：（1）运用复数的三角形式得；
（2）如图，
设复数z1对应向量为，
设复数z2对应向量为，
则在△OZ1Z2，运用余弦定理，，
所以，
由题意；
（3）因为|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，
则|z2+z+1|＝|z2+z+z |＝|z（z1）|
＝|z||z1|＝|2cosθ+1|，
因为﹣1≤cosθ≤1，可得﹣1≤2cosθ+1≤3，
所以|z2+z+1|max＝3，|z2+z+1|min＝0．
56．在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．
如：将向量绕坐标原点O逆时针方向旋转θ得到向量，由|OA|＝r，以为终边的角为α，则点A（rcosα，rsinα），进而求得点A′（rcos（α+θ），rsin（α+θ））．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：
（1）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，1），将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至A′．求点A′的坐标；
（2）设向量（a，b），把向量按顺时针方向旋转θ角得到向量，求向量对应的复数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，1）（cosα+sinα），cosα，sinα，
将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至A′，则A′的坐标为（cos（），sin（）），
∵cos（）＝cosαcossinαsin，
sin（））＝sinαcoscosαsin，
∴点A′的坐标为（）；
（2）设向量对应的复数为z＝x+yi（x，y∈R），
则a+bi＝（x+yi）（cosθ+isinθ），
∴x+yi（a+bi）（cosθ﹣isinθ）
＝（acosθ+bsinθ）+（bcosθ﹣asinθ）i．
57．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：
（1）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，2），将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至A'．求点A'的坐标；
（2）设向量，把向量按顺时针方向旋转θ角得到向量，求向量对应的复数；
（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两个定点，将点B绕点A按逆时针旋转θ角得到点C，判断点C是否能够落在直线y＝x上，若能，试用a，m，n表示相应θ的值，若不能，说明理由．
【答案】（1）；
（2）acosθ+bsinθ+（bcosθ﹣asinθ）i；
（3）能，答案见解析
【解答】解：（1）设以为终边的角为α，，
则，，
所以；
（2）把向量的起点平移到原点O，得到向量，绕坐标原点O逆时针方向旋转得到向量，，
设以为终边的角为β，则以为终边的角为β﹣θ，
记，则，
且x1＝r1cos（β﹣θ）＝r1cosβcosθ+r1sinβsinθ＝acosθ+bsinθ，y1＝r1sin（β﹣θ）＝r1sinβcosθ﹣r1cosβsinθ＝bcosθ﹣asinθ
所以向量对应的复数为acosθ+bsinθ+（bcosθ﹣asinθ）i；
（3）欲求C点坐标，只需要求位置向量坐标，显然．
因为向量，
由（2）知只要把acosθ+bsinθ+（bcosθ﹣asinθ）i中的θ换成﹣θ即可，∴，，
即C点坐标（a+（m﹣a）cosθ﹣（n﹣a）sinθ，a+（n﹣a）cosθ+（m﹣a）sinθ），
若“点C落在直线y＝x上” “a+（m﹣a）cosθ﹣（n﹣a）sinθ＝a+（n﹣a）cosθ+（m﹣a）sinθ” “（m﹣n）cosθ＝（m+n﹣2a）sinθ”，
①当时，点A、B重合，不合题意，
②当时，要使点C能落在直线y＝x上，此时需sinθ＝0即θ＝kπ（k∈Z），
③当时，要使点C能落在直线y＝x上，此时需cosθ＝0即，
④当时，要使点C能落在直线y＝x上，由，
此时需，
注：情形 ②可以并入情形④，
综上所述：当时，；当m+n≠2a时，．
58．已知复数z在复平面上对应的点在第二象限，且满足．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）设z，z2，z3在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）设z＝a+bi（a＜0，b＞0），则，
故．
∴a2﹣b2＝a，2ab＝﹣b．
又a＜0，b＞0，解得，，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，
，z3＝1．
z，z2，z3在复平面上对应点A，B，C，如图所示：
则AB，C到AB的距离d，
故．
59．画出复数z＝（﹣1+i）（sin30°+icos30°）所对应的向量．
【答案】作出的向量见解答中图象．
【解答】解：由题设可得：z＝（﹣1+i）（cos60°+isin60°），
令（﹣1，1），把向量绕点O按逆时针方向旋转60°，即可得到所要求向量，如下图所示：
60．已知A为△ABC的内角，O为坐标原点，复数z＝cosA+isinA（i为虚数单位），且满足|z﹣1|＝1．
（1）求1﹣z+z2；
（2）复数z对应的向量绕O逆时针旋转得到，对应的复数为z′，求z z′．
【答案】（1）0．
（2）﹣1．
【解答】解：（1）z＝cosA+isinA，，
因为|z﹣1|＝1，所以，
所以，
又因为角A为△ABC的一个内角，
所以，，
所以．
所以．
（2）法1：因为，
由复数的几何意义，求复数z对应的向量逆时针旋转得到，
则对应的复数为，
则．．
法2：．
由复数三角形式的几何意义．
则．

展开更多......

收起↑