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6.2 平面向量的运算
【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A.
作法 作，连接AC.
结论 向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O.
作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定 对于零向量与任一向量，我们规定.
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点3 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
一．平面向量的加法（共8小题）
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，，，
如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD，
则，所以．
故选：A．
2．在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，
则
．
故选：D．
3．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，
则．
故选：B．
4．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据平面向量的加法运算及数乘运算可知，
．
故选：B．
5．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【解答】解：设船实际航行的速度为，
则（m﹣3，3m），
又，所以，
解得m＝3（负值舍去）．
故选：A．
6．设M是 ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，
，
∴．
故选：D．
7．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，．
故选：B．
8．如图，正六边形ABCDEF中，化简　　 ．
【答案】
【解答】解：∵正六边形ABCDEF，∴；，
∴．
故答案是
二．平面向量的减法（共5小题）
9．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
10．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，具体不知．
故选：B．
11．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解答】解：向量，，则，
所以．
故选：B．
12．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　（3，1）　 ．
【答案】（3，1）．
【解答】解：，，
则β相对于α的位移为．
故答案为：（3，1）．
13．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　﹣5+i ．
【答案】﹣5+i．
【解答】解：复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，则，
．则向量对应的复数为﹣5+i．
故答案为：﹣5+i．
三．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共6小题）
14．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，画出几何图形如图所示：
；
∵G为△ABC的重心，M满足；
∴，；
∴．
故选：B．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若，则λ﹣μ的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：
由AB＝3，BC＝4，四边形ABCD为矩形，
建立如图所示坐标系，则有：B（0，0），C（4，0），A（0，3），D（4，3），
因为E为AD上一点，可设E（x，3），
所以，
因为BE⊥AC，所以，即4x﹣9＝0，解得：，所以，
由得：
，解得：，所以λ﹣μ＝1．
故选：D．
16．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
（多选）17．在平行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端点），，，，，则（　　）
A．Q落在CD上
B．S落在AC上
C．R落在△ABC内
D．△ACP的面积等于△ACQ的面积
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，因为点P是边BC上一点（不含端点），所以a＝1，0＜b＜1，所以，所以点Q落在CD上，故A选项正确；
对于选项B，，其中，所以点S落在边AC上，故B选项正确；
对于选项C，，当b→1时，显然R会落在△ACD内，故C选项错误；
对于选项D，因为，，所以，，
又因为，所以S△APC＝SAQC，故D选项正确．
故选：ABD．
（多选）18．给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB+BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
【答案】AD
【解答】解：∵线段AC＝AB+BC，
∴点B在线段AC上，
∴，故选项A正确，
在△ABC中，，但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B错误，
向量与反向共线时，则AC≠AB+BC，故选项C错误，
向量与反向共线，||，故选项D正确．
故选：AD．
19．如图，在等腰梯形ABCD中，2AD＝2DC＝2CB＝AB＝2a，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．
（1）用，表示；
（2）求线段AM的长．
【答案】（1）2；
（2）a．
【解答】解：（1）由题意知，等腰梯形ABCD中，AD＝DE＝AE＝a，所以，
又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以．
（2）因为B，M，F三点共线，所以，
又因为D，M，E三点共线，所以，解得，
所以．
所以 a2a a cosa2a2，
所以||a，即AM的长为a．
四．平面向量的加减混合运算（共6小题）
20．化简，所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
21．在△ABC中，D为BC中点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为△ABC中，D是BC的中点，
根据三角形中线的性质可得：，
所以．
故选：A．
22．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，
则．
故选：B．
23．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
24．在△ABC中，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于选项A：由相反向量的定义可知，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：，故选项D正确．
故选：C．
25．已知向量．
（1）求的坐标表示；
（2）若与共线，求实数t．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知可知 （﹣3，2）+2（2，1）﹣3（3，﹣1）＝（﹣8，7）．…（5分）
（2）（﹣2t﹣3，﹣t+2）不可能为．
因为 与共线，故存在唯一的实数λ，使得．…（8分）
即有，故，…（11分）
故实数t．…（12分）
五．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
26．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：连接AB，如下图所示：
因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，，
所以，
＝4×2+2×1＝10，
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．
故选：C．
（多选）27．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若，则t2﹣8＝0，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得t＝0，故B正确；
对于C，，
则，
当t＝﹣3时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得t＞0，
由得，
所以t的取值范围为，故D错误．
故选：ABC．
（多选）28．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若，，且，
则4cosθ＝﹣3sinθ，可得tanθ，故A项正确；
对于B，（cosθ+3，sinθ﹣4），
可得（）2＝（cosθ+3）2+（sinθ﹣4）2
＝26+6cosθ﹣8sinθ＝26﹣10sin（θ﹣φ），其中tanφ，φ∈（0，）．
当θ﹣φ2kπ（k∈Z）时，（）2的最大值为36，
所以的最大值为6，故B项正确；
对于C，若，则，
结合sin2θ+cos2θ＝1，解得，故C项错误；
对于D，若，则，
所以，，可得||，故D项正确．
故选：ABD．
29．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
∵，，，
∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，
∴y1y2＝1，
∴|y1+y2|，
当且仅当y1＝±1时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
30．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，而 ||||cos，2，
∴cos，，，∈[[0，π]，∴，
∴||2，
||2，2||＝4，
∵向量满足|22|＝||，∴|22|，
如图所示，
若，，2（），，
则，，
∴||＝|2（）|＝2，∴C在以E为圆心，2为半径的圆上，
若，则，
由图象可得当且仅当E，C，D三点共线且ED⊥OD时，||最小，即（λ∈R）取最小值，
此时，，
又，，∴λ＝3．
故答案为：3．
六．平面向量的数乘与线性运算（共6小题）
31．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于D，由AC＝2，AB＝4，
得，则，
即，整理可得，
又因为BC＝3，所以2，
连接BI，则BI为∠ABD的角平分线，则，即，
得，
又，且向量、不共线，
所以x，y，所以．
故选：C．
32．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，D是AC的中点，则，
∴，
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴，故x2+y2的最小值为．
故选：A．
33．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵E、G、F三点共线，
∴设，
∵，F为BC的中点，
∴，，
则，
又，
∴，解得．
故选：B．
34．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
则．
故选：B．
（多选）35．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【解答】解：边长为6的等边△ABC中，，
，A正确；
因为点P在以AB为直径的半圆上，所以PA⊥PB，所以，B正确；
，C错误；
过点D作DH⊥AB交AB于点H，过点C作CO⊥AB交AB于点O，易得O为AB的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选：ABD．
36．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，．
（1）用，表示；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用，表示．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据条件，
；
（2），如图，连接AG，MG；
G为三角形MNP的重心，则：；
∴
．
七．平面向量数量积的含义与物理意义（共5小题）
37．已知向量，满足 10，且（﹣3，4），则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（，） D．（，）
【答案】C
【解答】解：因为 10，且（﹣3，4），
所以在上的投影向量||cos，（ ）10（，）．
故选：C．
38．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则cos∠AOB＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意可知，，
则，
解得，
所以cos∠AOB．
故答案为：．
39．已知力（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（﹣2，3），则力对物体所做的功是　1（J）　 ．
【答案】1（J）．
【解答】解：由题意可得，，
所以力F对物体做的功W（2，3） （﹣4，3）＝﹣8+9＝1（J）．
故答案为：1（J）．
40．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意知，，即，
所以．
故答案为：．
41．向量在向量方向上的数量投影为 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：向量（3，5），（1，1），
∴1×3+1×5＝8，||，
所以在方向上的数量投影为||cosθ4．
故答案为：4．
八．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题）
42．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是线段CD上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解答】解：设 AB 的中点为 M，
则
，
所以，
当 P 为 CD 中点时， 取得最小值为 ．
故选：B．
43．已知如图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），A，B，C为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：
9个点的坐标为（0，0），（0，1），（0，2），（1，2），（1，1），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），
若点A在原点，任取两点作为向量坐标，发现（2，1） （2，2）＝6或（2，2） （1，2）＝6取得最大值，
故的最大值为6，
经检验可知，当A，C，B取其他坐标时，的值均不会超过6．
故选：C．
44．已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　）
①函数|f（x）|的周期为π
②函数f（x）的一个对称中心为
③函数f（x）的单调递减区间为
④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：因为，且f（x），
所以
，
所以f（x）的周期为，所以函数|f（x）|的周期为，故①错误；
，所以函数f（x）的一个对称中心为，故②正确；
令，解得，
所以函数f（x）的单调递减区间为，故③错误；
，
由g（x）在区间上是单调函数，所以，
又，所以为g（x）的一条对称轴，为g（x）的一个对称中心，
所以，
又，
所以k＝1或2，当k＝1时，，
当k＝2时，，所以ω的值为2或，故④正确．
故选：B．
45．已知△ABC为单位圆O的内接等边三角形，D为AB边的中点，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为△ABC为单位圆O的内接等边三角形，
所以由正三角形性质可知，O为等边三角形ABC的重心，
则∠AOB＝120°，所以∠AOD＝60°，，
所以 ．
故答案为：．
九．平面向量的投影向量（共5小题）
46．已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：由（0，t），（1，﹣4），
可得在方向上的投影向量为，
解得t＝﹣2．
故选：A．
47．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】因为，，
则，
所以在上的投影向量为：
．
故选：C．
48．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
49．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由向量与的夹角为，
得，①
由在方向上的投影向量为，
得，则，
即，②
联立①②，可得，所以．
故选：A．
50．已知某发射管内1个原子核裂变成α，β两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，．
（1）写出此时粒子β相对于α的位移；
（2）计算在上的投影向量．
【答案】（1）（﹣4，4）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，粒子β相对于α的位移；
（2）因为||，||10，4×8+4×6＝﹣8，
所以在上的投影向量为 （，）．
十．数量积表示两个平面向量的夹角（共5小题）
51．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：由，
可得，
又，
所以，解得，
所以，
又，
所以与的夹角为120°．
故选：C．
52．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，
由向量加法的三角形法则可得，
的最小值为图中点A到射线OB的距离，
故．
故选：B．
53．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解答】解：设向量与向量的夹角为α，
由题意得，||＝||＝1，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
即，
所以||1，
则cosα1，
因为0°≤α≤180°，
所以α＝60°．
故选：B．
54．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos，余弦距离为1﹣cos（A，B）．已知点，B（0，﹣1），则A，B两点的余弦距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，，，
则，
则A，B两点的余弦距离为．
故选：C．
55．已知点A（2，3），B（4，﹣1），C（﹣2，1），求：
（1）的值；
（2）∠ACB的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
【答案】（1）20；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）依题意，得，
，
；
（2）因为，
又∠ACB∈[0，π]，所以；
（3）点A到直线BC的距离为
．
十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
56．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：已知向量，若与垂直，
故，故m．
故选：B．
57．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解答】解：因为，所以，即，
又因为，所以，
又，所以，
所以，所以，所以．
故选：D．
58．设向量（x+1，x），（x，2），则（　　）
A．“x＝﹣3”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“x＝0”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解答】解：对A，当时，则，
所以x （x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，即必要性不成立，故A错误；
对B，当时，则2（x+1）＝x2，解得，即必要性不成立，故B错误；
对C，当x＝0时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对D，当时，不满足2（x+1）＝x2，所以不成立，即充分性不立，故D错误．
故选：C．
59．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：若与垂直，
则，即，
所以．
故选：A．
60．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．
【答案】（1）5；（2）2．
【解答】解：（1）∵，，
∴，则；
（2）∵，，
∴，又，且，
∴3（4﹣k）﹣（2+2k）＝0，解得k＝2．6.2 平面向量的运算
【知识点1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A.
作法 作，连接AC.
结论 向量叫做与的和，记作，即.
图形
向量
加法
的平
行四
边形
法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O.
作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即.
图形
规定 对于零向量与任一向量，我们规定.
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设为实数，那么①；②；③.
特别地，我们有，.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【知识点2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设，
化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点3 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.
(4)向量的投影
如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①.
②.
③当与同向时，；当与反向时，.
特别地，或.
④，当且仅当向量共线，即时，等号成立.
⑤.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量和实数，有
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边
等号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
一．平面向量的加法（共8小题）
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设，，则向量（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，，则向量（　　）
A． B． C． D．
4．（　　）
A． B． C． D．
5．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A处出发，向对岸航行，若船的速度（m，3m）（m＞0），水流速度（﹣3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　）
A．3 B． C． D．12
6．设M是 ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则（　　）
A． B． C． D．
7．在如图所示的方格纸中，（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形ABCDEF中，化简　 　 ．
二．平面向量的减法（共5小题）
9．化简（　　）
A． B． C． D．
10．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知向量（1，5），（0，3），则||＝（　　）
A． B． C．3 D．5
12．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为，，则该时刻β相对于α的位移的坐标为　 　 ．
13．在复平面内，复数3+2i，﹣2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　 　 ．
三．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共6小题）
14．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足，则（　　）
A． B．
C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若，则λ﹣μ的值为（　　）
A． B． C． D．1
16．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）17．在平行四边形ABCD中，P是边BC上一点（不含端点），，，，，则（　　）
A．Q落在CD上
B．S落在AC上
C．R落在△ABC内
D．△ACP的面积等于△ACQ的面积
（多选）18．给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB+BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
19．如图，在等腰梯形ABCD中，2AD＝2DC＝2CB＝AB＝2a，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．
（1）用，表示；
（2）求线段AM的长．
四．平面向量的加减混合运算（共6小题）
20．化简，所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
21．在△ABC中，D为BC中点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
22．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（　　）
A． B． C． D．
23．（　　）
A． B． C． D．
24．在△ABC中，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
25．已知向量．
（1）求的坐标表示；
（2）若与共线，求实数t．
五．两个平面向量的和或差的模的最值（共5小题）
26．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
（多选）27．已知，则（　　）
A．若，则
B．若，则t＝0
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞）
（多选）28．已知向量，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．的最大值为6
C．若，则
D．若，则
29．若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 　 　 ．
30．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时λ＝　 　 ．
六．平面向量的数乘与线性运算（共6小题）
31．在△ABC中，若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，则有称之为三角形的内角平分线定理，现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且，则实数x+y＝（　　）
A．1 B． C． D．2
32．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且，则x2+y2的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
33．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
34．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）35．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
36．如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，．
（1）用，表示；
（2）若点G是三角形MNP的重心，用，表示．
七．平面向量数量积的含义与物理意义（共5小题）
37．已知向量，满足 10，且（﹣3，4），则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（，） D．（，）
38．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则cos∠AOB＝ 　 　 ．
39．已知力（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（﹣2，3），则力对物体所做的功是　 　 ．
40．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则　 　 ．
41．向量在向量方向上的数量投影为 　 　 ．
八．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题）
42．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是线段CD上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．0
43．已知如图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），A，B，C为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
44．已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　）
①函数|f（x）|的周期为π
②函数f（x）的一个对称中心为
③函数f（x）的单调递减区间为
④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或
A．1 B．2 C．3 D．4
45．已知△ABC为单位圆O的内接等边三角形，D为AB边的中点，则　 　 ．
九．平面向量的投影向量（共5小题）
46．已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
47．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
48．已知向量与的夹角为，且||||，则2在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
49．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C． D．
50．已知某发射管内1个原子核裂变成α，β两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，．
（1）写出此时粒子β相对于α的位移；
（2）计算在上的投影向量．
十．数量积表示两个平面向量的夹角（共5小题）
51．已知向量，满足，且，，则与的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
52．已知向量满足：，若，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
53．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
54．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，定义余弦相似度为cos（A，B）＝cos，余弦距离为1﹣cos（A，B）．已知点，B（0，﹣1），则A，B两点的余弦距离为（　　）
A． B． C． D．
55．已知点A（2，3），B（4，﹣1），C（﹣2，1），求：
（1）的值；
（2）∠ACB的大小；
（3）点A到直线BC的距离．
十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
56．已知向量，若与垂直，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B． C． D．1
57．已知向量，满足||＝2，⊥（2），且（1，1），则||＝（　　）
A． B．2 C． D．3
58．设向量（x+1，x），（x，2），则（　　）
A．“x＝﹣3”是“”的必要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“x＝0”是“”的充分条件
D．“”是“”的充分条件
59．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．1
60．向量（4，2），（﹣1，2）．
（1）求向量的模长；
（2）若向量（3，﹣1），且（k）⊥，求实数k的值．

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