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9.1 随机抽样
▉考点01 简单随机抽样
1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 从总体中抽取的那部分个体.
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本量 样本中包含的个体数.
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形.
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
名称 定义
总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
(2)求和符号∑的性质
①；
②，其中k为常数.
▉考点02 分层随机抽样
1．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
2．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数.
又==，
所以.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
▉一．简单随机抽样及其适用条件（共8小题）
1．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2， ，xn，且数据x1，x2， ，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2， ，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2， ，n）都为0
B．若数据x1，x2， ，xn，的平均数为3，则yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的平均数为6
C．若数据x1，x2， ，xn，的方差为s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的方差为12
D．若数据x1，x2， ，xn，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据不大于90
【答案】C
【解答】解：对于A，数据x1，x2， ，xn的方差s2＝0时，说明所有的数据x1，x2， ，xn都相等，但不一定为0，故选项A错误；
对于B，数据x1，x2， ，xn，的平均数为，数据yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的平均数为2×3+1＝7，故选项B错误；
对于C，数据x1，x2， ，xn的方差为s2＝3，数据yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的方差为22×3＝12，故选项C正确；
对于D，数据x1，x2， ，xn，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于90，故选项D错误，
故选：C．
2．下列情况适合用抽样调查的是（　　）
A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查某班学生的身高情况
D．学校招聘，对应聘人员进行面试
【答案】B
【解答】解：ACD，样本容量较少，适合用普查，
B，该调查具有损坏性，适合用抽样调查．
故选：B．
3．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为简单随机抽样中每一个个体被抽到的概率均相等，
所以某一个特定个体被抽到的概率为．
故选：A．
4．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（　　）
A．某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽取8人调查吸烟情况
B．从20台电视机中抽取5台进行质量检查
C．中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众
D．某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况
【答案】B
【解答】解：对于A：分层特征明显，适合用分层随机抽样，故A错误，
对于B：总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便，故B正确；
对于C：总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦，故C错误；
对于D：分层特征明显，适合用分层随机抽样，故D错误．
故选：B．
5．某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（　　）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人被抽到的机会不相等
C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的
D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少
【答案】C
【解答】解：由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人对每个人的机会也是均等的，
所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的．
故选：C．
6．下列说法：
①若线性回归方程为3x﹣5，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；
③线性回归直线方程bx必过点（，）；
④抽签法属于简单随机抽样；
其中错误的说法是（　　）
A．①③ B．②③④ C．① D．①②④
【答案】C
【解答】解：对于①，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均减少3个单位，∴①错误；
对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴②正确；
对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确；
对于④，抽签法属于简单随机抽样；④正确．
综上，错误的命题是①．
故选：C．
7．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为（　　）
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样检查过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①简单随机抽样要求样本的总体个数有项，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以①正确．
②由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作，所以②正确．
③在抽样过程中，为了保证抽取的公平性，样本数据是一种不放回的抽样，所以③正确．
④在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，所以④正确．
故选：D．
8．关于简单随机抽样，有下列说法：
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
其中正确的有　①②④　 （请把你认为正确的所有序号都写上）．
【答案】①②④
【解答】解：①简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确；
②简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，正确；
③不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样统称简单随机抽样，所以错误；
④简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确．
故答案为：①②④．
▉二．抽签法简单随机抽样及其步骤（共2小题）
9．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次被抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（　　）
A．a，b B．a，b
C．a，b D．a，b
【答案】D
【解答】解：∵总体中共有10个个体，
∴五班第一次被抽到的概率是，第二次被抽到的概率为，
即a b．
故选：D．
10．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【解答】解：对于A，D，选项中的总体的个体数较大，不适合抽签法，故AD错误；
对于C，甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合抽签法，故C错误；
对于B，总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了，故B正确．
故选：B．
▉三．随机数法简单随机抽样及其步骤（共8小题）
11．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　）
A．80 B．160 C．200 D．280
【答案】C
【解答】解：由题意可知，，
解得n＝200．
故选：C．
12．下列说法错误的是（　　）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
【答案】D
【解答】解：对于A，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，故A正确，
对于B，抽签法和随机数法是两种常见的简单随机抽样方法，故B正确，
对于C，简单随机抽样种每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样，故C正确，
对于D，被抽取的200名学生是样本，不是样本量，故D错误．
故选：D．
13．利用计算机产生[0，1]之间的均匀随机数a1＝rand，经过下列的哪种变换能得到[﹣2，3]之间的均匀随机数（　　）
A．a＝a1 5﹣2 B．a＝a1 2﹣3 C．a＝a1 3﹣2 D．a＝a1 2﹣5
【答案】A
【解答】解：∵计算机产生[0，1]之间的均匀随机数a1＝rand，
∴经过a＝a1 5﹣2能得到[﹣2，3]之间的均匀随机数，
故选：A．
14．下列关于随机抽样的说法不正确的是（　　）
A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样
B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等
C．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为
D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样
【答案】C
【解答】解：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样这样抽取的样本叫做简单随机样本，简单随机抽样是从个数较少的总体中逐个抽取个体，故A正确；系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等，故B正确；有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为，故C不正确；当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样，故D正确；
故选：C．
15．从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取样本，则编号应为（　　）
A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
B．﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4
C．10，20，30，40，50，60，70，80，90，100
D．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
【答案】D
【解答】解：∵用随机数法抽样时，编号的位数应相同，并且不能有负数．
∴选项A，B，C均不符合要求，D符合要求．
故选：D．
16．将区间[0，1]内的随机数转化为[﹣2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为（　　）
A．a＝a1*8 B．a＝a1*8+2 C．a＝a1*8﹣2 D．a＝a1*6
【答案】C
【解答】解：根据一次函数的单调性，
A、当a∈[0，1]时，a＝a1*8∈[0，8]，故A不对；
B、当a∈[0，1]时，a＝a1*8+2∈[2，10]，故B不对；
C、当a∈[0，1]时，a＝a1*8﹣2∈[﹣2，6]，故C对；
D、当a∈[0，1]时，a＝a1*6∈[0，6]，故D不对，
故选：C．
17．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有　④⑥　 ．
①2000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
【答案】④⑥
【解答】解：①2000名运动员的年龄是总体，故①错误；
②每个运动员的年龄是个体，故②错误；
③所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，故③错误；
④从2000名运动员的年龄中抽取20名运动员的年龄进行统计分析，样本容量为20，故④正确；
⑤随机数法常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机法产生的样本代表性差的可能性很大，故⑤错误；
⑥采用简单随机抽样时，每个运动员被抽到的机会相等，故⑥正确．
故答案为：④⑥．
18．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 　331，572，455，068，047　 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
【答案】331，572，455，068，047
【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，
第二个数是572，
第三个数是455，
第四个数是068，
第五个数是877它大于799故舍去，
第五个数是047．
故答案为：331、572、455、068、047
▉四．求随机数法抽样的样本（共8小题）
19．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）
A．09 B．05 C．65 D．71
【答案】A
【解答】解：从随机数表第1行的第7个数字开始向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有37，14，05，11，09，
所以得到的第5个样本编号是09．
故选：A．
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
故选：B．
21．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07 C．32 D．43
【答案】B
【解答】解：因为从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，
重复的只要一次，超过50的不要，
故选出的个体编号依次为：08，12，14，07，……，
所以选出来的第4个个体的编号为07．
故选：B．
22．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．总体是50000 B．个体是每一户居民
C．样本是500户居民 D．样本容量是500
【答案】D
【解答】解：欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，
可知，总体是“全市50000户居民的用电量”，个体是“每一户居民的用电量”，样本是“500户居民的用电量”，样本容量是500，
故ABC错误；D正确．
故选：D．
23．某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700个零件进行抽样，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，下图是利用软件生成的随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3位数，只要读取的号码落在编号范围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70个样本的编号，注意样本号码不能重复．若从表中第2行第6列的数2开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6个样本编号是（　　）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．007 B．328 C．253 D．623
【答案】D
【解答】解：若从表中第2行第6列的数2开始向右读取数据，取到的样本编号依次为：253，313，457，007，328，623，…，
所以得到的第6个样本编号是623．
故选：D．
24．从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（　　）
A．个体 B．总体 C．样本 D．样本量
【答案】B
【解答】解：这5万名高中生的身高的全体是指总体．
故选：B．
25．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为001，002，…，449，450，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 　447　 ．
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
【答案】447．
【解答】解：由题意可知，抽到的编号依次为：175，068，331，047，447，176，…，
所以第5个被抽到的同学的编号为447．
故答案为：447．
26．劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 　662 276 656 502　 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
【答案】662 276 656 502．
【解答】解：因为从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，
可知，第一个数是662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502．
故答案是：662；276；656；502．
▉五．分层随机抽样及其适用条件（共10小题）
27．从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系可能是（　　）
A．p1＝p2＜p3 B．p1＝p2＝p3 C．p1＝p3＜p2 D．p2＝p3＜p1
【答案】B
【解答】解：因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为，
所以p1＝p2＝p3．
故选：B．
28．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
【答案】A
【解答】解：根据分层抽样原理知，，，
所以抽取男生40人，女生32人．
故选：A．
29．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大
B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大
D．每位学生被抽到的概率相等
【答案】D
【解答】解：由题意知，抽样比例为，
所以33人中，高一要抽11人，高二要10人，高三要12人，
故高一每位学生被抽到的概率为，
高二每位学生被抽到的概率为，
高三每位学生被抽到的概率为，
在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，
故每位学生被抽到的概率相等．
故选：D．
30．现要完成下列三项抽样调查：
①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；
②高二年级有1500名学生，为调查学生的学习情况抽取一个容量为15的样本；
③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平．
调查较为合理的抽样方法是（　　）
A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
【答案】D
【解答】解：在①中，从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查，总体单元数较少，用简单随机抽样法；
在②中，高二年级有1500名学生，为调查学生的学习情况抽取一个容量为15的样本，总体单元数较多，用系统抽样法；
在③中，从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查，
由于总本中各阶层消费水平差异较大，应该用分层抽样法．
故选：D．
31．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（　　）
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
【答案】B
【解答】解：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；
第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选：B．
32．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 　1800　 人．
【答案】1800．
【解答】解：由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，
所以抽取的比例为
设该校共有n名学生，可得，
解得n＝1800人，即该校共有1800名学生．
故答案为：1800．
33．已知某企业有男职工1800人，女职工1200人，为了解该企业职工的业余爱好，采用抽样调查的方式抽取150人进行问卷调查，最适当的抽样方法是　分层抽样　 ；其中女职工被抽取的人数为 　60　 ．
【答案】分层抽样，60．
【解答】解：最适当的抽样方法是分层抽样，
其中，女职工被抽取的人数为 ，
故答案为：分层抽样，60．
34．某校高中三个年级共有学生2000人，且高一、高二、高三学生人数之比为5：3：2．现要从全体高中学生中抽取一个容量为20的样本，则应采用　分层抽样　 的方法抽取样本，并且该样本在高二年级抽取的人数为　6　 ．
【答案】分层抽样；6
【解答】解：当总体是由具有明显差异的几部分构成时，应采用分层抽样的方法抽取样本．
由于高一、高二、高三学生人数之比为5：3：2，故高一、高二、高三学生的样本数之比为5：3：2．
再由抽取的样本容量为20，故该样本在高二年级抽取的人数为206，
故答案为 分层抽样、6．
35．某校有在校高中生共1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查该校学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较少，问应采用怎样的抽样方法？高三学生应抽查多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样．
由于520：500：580＝26：25：29，于是将80分成26：25：29的三部分，设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x．
由26x+25x+29x＝80，得x＝1，
故高三年级中应抽查29×1＝29人．
故答案为：分层抽样、29．
36．2009年，第十一届全运会在济南举行，10月16日，某企业组织观看了开幕式．企业中共有3200名职工，其中中、青、老年职工的人数比例为5：3：2，为了解这次活动在职工中的影响，现从职工中抽取一个容量为400的样本，应该采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由于总体是有具有明显差异的三部分构成，故应采用分层抽样的方法，则更合理．
中年职工抽取400200人，
青年职工抽取400120人，
老年职工抽取40080人．
▉六．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共11小题）
37．为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（　　）
A．10人 B．20人 C．33人 D．40人
【答案】B
【解答】解：设高学生抽取的人数为a，
则，解得a＝20．
故选：B．
38．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（　　）
A．60 B．80 C．100 D．50
【答案】A
【解答】解：由题可得：高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为：，
故从高一年级抽取的学生人数为：（人）．
从高一年级抽取的学生人数为60人．
故选：A．
39．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2：3：4．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研，已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（　　）
A．90 B．120 C．180 D．200
【答案】D
【解答】解：设从核心区抽取的人数为x，
由题意可知，，解得x＝200．
故选：D．
40．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（　　）
A．40 B．70 C．110 D．150
【答案】A
【解答】解：因为南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，
可得中卷录取的比率为：，
故会试录取人数为400时，中卷录取人数为．
故选：A．
41．非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（　　）
A．16人 B．12人 C．8人 D．4人
【答案】C
【解答】解：该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4：3：2，利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，
应从高一年级抽取人，
从高三年级抽取人，
则抽取到的高一年级学生人数比高三多16﹣8＝8人．
故选：C．
42．某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5：3：2，若对这些账单用等比器例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】B
【解答】解：样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为．
故选：B．
43．某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（　　）
A．175辆 B．200辆 C．225辆 D．250辆
【答案】C
【解答】解：某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，
则抽样比为，
已知样本中电动车有75辆，
则样本中燃油车有45辆，
则该厂燃油车的日产量为45225辆．
故选：C．
44．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度．已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（　　）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
【答案】B
【解答】解：设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知，
解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人．
故选：B．
45．某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为 　20　 ．
【答案】20
【解答】解：男职工450人，女职工300人，
则男女职工分层比为3：2，而抽取一个容量为50的样本，
则女职工应抽取的人数为．
故答案为：20．
46．某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组．在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%．为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本．
（1）求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例；
（2）求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数．
【答案】（1）10%，30%，60%；
（2）36．
【解答】解：（1）设登山看日出组的人数为x，
在海边看日落组中，
设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为a，b，c，
因为在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%，
则，解得a＝10%，b＝30%，
所以c＝1﹣a﹣b＝1﹣10%﹣30%＝60%．
故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为10%，30%，60%．
（2）由（1）可得高三学生所占的比例分别为60%，
所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为人．
47．随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35．
少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁）
女性 150 150 n
男性 200 m r
（1）求m的值；
（2）现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？
【答案】（1）350；
（2）15．
【解答】解：（1）由题意，抽到青年男生的人数为m＝0.35×1000＝350；
（2）由表知，少年一共有350名，由（1）得青年有500名，所以中老年一共有150名观众，
从1000名观众中抽100名观众的抽样比为，故中老年应抽取名观众．
▉七．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共6小题）
48．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
【答案】D
【解答】解：由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选：D．
（多选）49．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数为80分，标准差为s，后来发现记录有误，甲同学得90分误记为60分，乙同学得70分误记为100分，更正后重新计算得到的平均分数为，标准差为s1，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C．s＜s1 D．s＞s1
【答案】AD
【解答】解：设更正前甲，乙， 的成绩依次为a1，a2， ，a50，
则，
即60+100+a3+ +a50＝50×80，可得a3+ +a50＝3840，
则更正后的平均分为，
可得，所以A正确，B错误；
由更改前的方差为，
即，
可得，
更改后的数据方差为，
可知，
所以s＞s1，故C错误，D正确．
故选：AD．
50．高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为100．通过分层随机抽样的方法得到男生、女生的平均身高为170.2cm和160.8cm，则估计高一年级全体学生的平均身高为 　165.4　 cm．（结果保留一位小数）
【答案】165.4．
【解答】解：高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为100，
设在男生、女生中分别抽取m名和n名，
则，解得m＝49，n＝51．
据此可以估计高二年级全体学生的平均身高为
．
故答案为：165.4．
51．二战期间，盟军统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克序列号从小到大为x1，x2， ，xn，即最大序列号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序列号x1，x2， ，xn，相当于从[0，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成（n+1）个小区间，其中前n个区间已知，最右边的区间未知（由于N未知）．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度来估计所有（n+1）个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，某月盟军缴获坦克的序列号是3，8，12，18，20，24，则统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为 　28　 辆．
【答案】28．
【解答】解：由于缴获坦克的编号是3，8，12，18，20，24，
则这5个数将区间[0，N]分成6个小区间，
即n＝5，n+1＝6，x5＝24，
由于用前n个区间的平均长度估计所有（n+1）个区间的平均长度，
故，
所以N＝28，即统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为28辆．
故答案为：28．
52．某学校有高中生600人，其中男生400人，女生200人．有人为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，女生样本的均值为162．
（1）若男、女生样本量按比例分配，则总样本的均值为多少？
（2）若男、女生的样本量都是100，则总样本的均值为多少？它作为总体均值的估计合适吗？为什么？
【答案】（1）170；
（2）168，不合适，原因见解析．
【解答】解：（1）总样本的均值为．
（2）若男、女生的样本量都是100，
则总样本的均值为，
不能作为总体均值的估计，因为分层随机抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，所以样本的代表性差．
53．树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为x1，x2，x3，…，xn，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为y1，y2，y3，…，ym，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2．
（1）证明：；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
（3）如果数学成绩分数在[60，70）内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．
附：，，．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平均数为96分，标准差约为18分；
（3）．
【解答】解：（1）证明：根据题意，，
又∵，
同理，
∴．
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为s2，
则，
∴，
又，∴s≈18，
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分；
（3）由题意，将成绩等级为C的4名学生记为C1，C2，C3，C4，
成绩等级为D的2名学生记为D1，D2，
现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研的基本事件有{D1，D2}，{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C1}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，共15个基本事件，
其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含{D1，D2}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，共9个基本事件，
∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为．
▉八．普查与抽样（共4小题）
54．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
55．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　）
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
【答案】C
【解答】解：100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，
所以是总体的一个样本．
故选：C．
56．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
【答案】A
【解答】解：全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查；
对于D，查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．调查数目较多，不适合全面调查．
故选：A．
（多选）57．下列情况不适合抽样调查的有（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．了解一批炮弹的杀伤直径
C．了解高一（1）班40名学生在校一周内的消费
D．调查一批鱼苗的生长情况
【答案】AC
【解答】解：对于A，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，
对于B，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，运用抽样调查，
对于C，了解高一（1）班40名学生在校一周内的消费，运用全面调查，
对于D，调查一批鱼苗的生长情况，运用抽样调查．
故选：AC．
▉九．调查试验观察查询等其他方法获取统计数据（共3小题）
58．在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温；
小爽：判断某种新药是否有效；
小夏：“山西新闻联播”的收视率；
小天：近年来我市普通高中入学人数．
其中，通过调查获取数据的是（　　）
A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天
【答案】C
【解答】解：对于小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温，通过观察获取数据；
对于小爽：判断某种新药是否有效，通过试验获取数据；
对于小夏：“山西新闻联播”的收视率，通过调查获取数据；
对于小天：近年来我市普通高中入学人数，通过查询获得数据，
所以通过调查获取数据的是小夏．
故选：C．
59．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲、乙两组数据的标准差满足S甲＜S乙，则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据x1，x2，x3， ，xn的平均数为，则数据yi＝axi﹣b（i＝1，2，3， ，n）的平均数为
【答案】C
【解答】解：选项A，采用简单随机抽样，对所取的样本进行调查即可，即A正确；
选项B，总体中男生与女生的比例为480：420＝8：7，即女生占样本容量的，
若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为63135，即B正确；
选项C，若甲、乙两组数据的标准差满足S甲＜S乙，则可以估计甲比乙更稳定，即C错误；
选项D，由题意知，n，
所求平均数为（anb） ab＝ab，即D正确．
故选：C．
60．影响获取数据可靠程度的因素包括 　①②③　 ．
①获取方法设计；
②所用专业测量设备的精度；
③调查人员的认真程度；
④数据的大小．
【答案】①②③．
【解答】解：数据的大小不影响获取数据可靠程度，其他三项均影响获取数据的可靠程度．
故答案为：①②③．9.1 随机抽样
▉考点01 简单随机抽样
1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 从总体中抽取的那部分个体.
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本量 样本中包含的个体数.
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形.
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
名称 定义
总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
(2)求和符号∑的性质
①；
②，其中k为常数.
▉考点02 分层随机抽样
1．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
2．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数.
又==，
所以.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
▉一．简单随机抽样及其适用条件（共8小题）
1．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2， ，xn，且数据x1，x2， ，xn的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是（　　）
A．若数据x1，x2， ，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2， ，n）都为0
B．若数据x1，x2， ，xn，的平均数为3，则yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的平均数为6
C．若数据x1，x2， ，xn，的方差为s2＝3，则yi＝2xi+1（i＝1，2， ，n）的方差为12
D．若数据x1，x2， ，xn，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据不大于90
2．下列情况适合用抽样调查的是（　　）
A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查某班学生的身高情况
D．学校招聘，对应聘人员进行面试
3．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（　　）
A．某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽取8人调查吸烟情况
B．从20台电视机中抽取5台进行质量检查
C．中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众
D．某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况
5．某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（　　）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人被抽到的机会不相等
C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的
D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少
6．下列说法：
①若线性回归方程为3x﹣5，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；
③线性回归直线方程bx必过点（，）；
④抽签法属于简单随机抽样；
其中错误的说法是（　　）
A．①③ B．②③④ C．① D．①②④
7．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为（　　）
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样检查过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．关于简单随机抽样，有下列说法：
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
其中正确的有　 　 （请把你认为正确的所有序号都写上）．
▉二．抽签法简单随机抽样及其步骤（共2小题）
9．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次被抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（　　）
A．a，b B．a，b
C．a，b D．a，b
10．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
▉三．随机数法简单随机抽样及其步骤（共8小题）
11．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.2，则n等于（　　）
A．80 B．160 C．200 D．280
12．下列说法错误的是（　　）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
13．利用计算机产生[0，1]之间的均匀随机数a1＝rand，经过下列的哪种变换能得到[﹣2，3]之间的均匀随机数（　　）
A．a＝a1 5﹣2 B．a＝a1 2﹣3 C．a＝a1 3﹣2 D．a＝a1 2﹣5
14．下列关于随机抽样的说法不正确的是（　　）
A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样
B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等
C．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为
D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样
15．从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取样本，则编号应为（　　）
A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
B．﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4
C．10，20，30，40，50，60，70，80，90，100
D．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
16．将区间[0，1]内的随机数转化为[﹣2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为（　　）
A．a＝a1*8 B．a＝a1*8+2 C．a＝a1*8﹣2 D．a＝a1*6
17．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有　 　 ．
①2000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
18．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 　 　 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．
▉四．求随机数法抽样的样本（共8小题）
19．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）
A．09 B．05 C．65 D．71
20．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
21．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（　　）
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07 C．32 D．43
22．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．总体是50000 B．个体是每一户居民
C．样本是500户居民 D．样本容量是500
23．某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700个零件进行抽样，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，下图是利用软件生成的随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3位数，只要读取的号码落在编号范围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70个样本的编号，注意样本号码不能重复．若从表中第2行第6列的数2开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6个样本编号是（　　）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．007 B．328 C．253 D．623
24．从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（　　）
A．个体 B．总体 C．样本 D．样本量
25．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为001，002，…，449，450，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 　 　 ．
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
26．劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是 　 　 ．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
▉五．分层随机抽样及其适用条件（共10小题）
27．从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，三者关系可能是（　　）
A．p1＝p2＜p3 B．p1＝p2＝p3 C．p1＝p3＜p2 D．p2＝p3＜p1
28．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　）
A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26
29．忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大
B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大
D．每位学生被抽到的概率相等
30．现要完成下列三项抽样调查：
①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；
②高二年级有1500名学生，为调查学生的学习情况抽取一个容量为15的样本；
③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平．
调查较为合理的抽样方法是（　　）
A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
31．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（　　）
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
32．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 　 　 人．
33．已知某企业有男职工1800人，女职工1200人，为了解该企业职工的业余爱好，采用抽样调查的方式抽取150人进行问卷调查，最适当的抽样方法是　 　 ；其中女职工被抽取的人数为 　 　 ．
34．某校高中三个年级共有学生2000人，且高一、高二、高三学生人数之比为5：3：2．现要从全体高中学生中抽取一个容量为20的样本，则应采用　 　 的方法抽取样本，并且该样本在高二年级抽取的人数为　 　 ．
35．某校有在校高中生共1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查该校学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较少，问应采用怎样的抽样方法？高三学生应抽查多少人？
36．2009年，第十一届全运会在济南举行，10月16日，某企业组织观看了开幕式．企业中共有3200名职工，其中中、青、老年职工的人数比例为5：3：2，为了解这次活动在职工中的影响，现从职工中抽取一个容量为400的样本，应该采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？
▉六．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量（共11小题）
37．为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（　　）
A．10人 B．20人 C．33人 D．40人
38．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（　　）
A．60 B．80 C．100 D．50
39．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为2：3：4．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研，已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（　　）
A．90 B．120 C．180 D．200
40．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（　　）
A．40 B．70 C．110 D．150
41．非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为4：3：2，若利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（　　）
A．16人 B．12人 C．8人 D．4人
42．某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5：3：2，若对这些账单用等比器例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．30
43．某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（　　）
A．175辆 B．200辆 C．225辆 D．250辆
44．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度．已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（　　）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
45．某单位有男职工450人，女职工300人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为50的样本，则女职工应抽取的人数为 　 　 ．
46．某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至多参加其中一组．在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总人数的，且该组高一学生占50%，高二学生占30%．为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80的样本．
（1）求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例；
（2）求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数．
47．随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35．
少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁）
女性 150 150 n
男性 200 m r
（1）求m的值；
（2）现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？
▉七．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数（共6小题）
48．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
（多选）49．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数为80分，标准差为s，后来发现记录有误，甲同学得90分误记为60分，乙同学得70分误记为100分，更正后重新计算得到的平均分数为，标准差为s1，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C．s＜s1 D．s＞s1
50．高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，抽取总样本量为100．通过分层随机抽样的方法得到男生、女生的平均身高为170.2cm和160.8cm，则估计高一年级全体学生的平均身高为 　 　 cm．（结果保留一位小数）
51．二战期间，盟军统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克序列号从小到大为x1，x2， ，xn，即最大序列号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序列号x1，x2， ，xn，相当于从[0，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成（n+1）个小区间，其中前n个区间已知，最右边的区间未知（由于N未知）．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度来估计所有（n+1）个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，某月盟军缴获坦克的序列号是3，8，12，18，20，24，则统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为 　 　 辆．
52．某学校有高中生600人，其中男生400人，女生200人．有人为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，女生样本的均值为162．
（1）若男、女生样本量按比例分配，则总样本的均值为多少？
（2）若男、女生的样本量都是100，则总样本的均值为多少？它作为总体均值的估计合适吗？为什么？
53．树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为x1，x2，x3，…，xn，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为y1，y2，y3，…，ym，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为s2．
（1）证明：；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
（3）如果数学成绩分数在[60，70）内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．
附：，，．
▉八．普查与抽样（共4小题）
54．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
55．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　）
A．总体 B．个体
C．总体的一个样本 D．样本容量
56．在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．调查一批玉米种子的发芽率
C．调查一批炮弹的杀伤半径
D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
（多选）57．下列情况不适合抽样调查的有（　　）
A．调查一个县各村的粮食播种面积
B．了解一批炮弹的杀伤直径
C．了解高一（1）班40名学生在校一周内的消费
D．调查一批鱼苗的生长情况
▉九．调查试验观察查询等其他方法获取统计数据（共3小题）
58．在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温；
小爽：判断某种新药是否有效；
小夏：“山西新闻联播”的收视率；
小天：近年来我市普通高中入学人数．
其中，通过调查获取数据的是（　　）
A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天
59．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲、乙两组数据的标准差满足S甲＜S乙，则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据x1，x2，x3， ，xn的平均数为，则数据yi＝axi﹣b（i＝1，2，3， ，n）的平均数为
60．影响获取数据可靠程度的因素包括 　 　 ．
①获取方法设计；
②所用专业测量设备的精度；
③调查人员的认真程度；
④数据的大小．

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