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10.1 随机事件与概率
【知识点1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，
则称样本空间Ω={}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或
A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
Ω 必然事件 全集
不可能事件 空集
ω 试验的可能结果 Ω中的元素
A 事件 Ω的子集
的对立事件 A的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
【知识点2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）.
一．样本点与样本空间（共4小题）
1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
（多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．1000名运动员是总体
B．每名运动员的年龄是个体
C．样本容量为100
D．所抽取的100名运动员的年龄是样本
4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数．
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件
6．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　）
A．A为必然事件 B．A＝B+C
C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件
（多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
三．事件的并事件（和事件）（共2小题）
（多选）8．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B） B．
C．事件C与D互斥 D．
（多选）9．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
四．事件的交事件（积事件）（共1小题）
10．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共7小题）
11．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　）
A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件
12．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
13．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A＝“两次向上的数字都为3”，B＝“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．
D．P（AB）
（多选）14．设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A与B为互斥事件
B．事件A，B，C两两相互独立．
C．
D．
（多选）15．以下叙述不正确的是（　　）
A．若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
B．若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则事件A，B，C两两独立
C．若P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C），则事件A，B，C两两互斥
D．若事件A，B，C两两互斥，则P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）
（多选）16．某高中为了调研同学们的课余兴趣爱好，利用简单随机抽样的方法抽取了10名高一学生，询问后得知有5名学生喜欢射箭，有7名学生喜欢唱歌，且有两名学生同时喜欢射箭和唱歌．记事件A：从这10名学生中随机抽取一名学生，该学生喜欢射箭．事件B：从这10名学生中随机抽取一名学生，该学生喜欢唱歌，则下列说法正确的有（　　）
A．P（AB）＝0.2 B．
C．事件A，B为互斥事件 D．事件A，B相互独立
（多选）17．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B）
B．
C．事件C与D互斥
D．事件A与事件D相互独立
六．事件的互为对立及对立事件（共6小题）
18．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　）
A．恰好有一件次品与全是次品
B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品
D．至少有一件正品与至少有一件次品
19．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　）
A．事件C与事件D互斥 B．
C．事件A与事件B对立 D．
20．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（　　）
A．至多投中2次
B．全部没投中
C．投中1次或全部没投中
D．没有全部投中
21．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（　　）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
22．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（　　）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品
D．至少一件正品与至少一件次品
23．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（　　）
A．甲、乙恰有一人中奖
B．甲、乙都没中奖
C．甲、乙至少有一人中奖
D．甲、乙至多有一人中奖
七．概率及有包含关系的事件的概率（共2小题）
24．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（　　）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D．P（A）+P（B）≤1
25．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是（　　）
①A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1+A2+A3是必然事件；
③P（A2+A3）＝0.8；
④P（A1+A2）≤0.5．
A．0 B．1 C．2 D．3
八．互斥事件的概率加法公式（共5小题）
26．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　）
A． B． C． D．
27．已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9
（多选）28．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　）
A．若事件A，B互斥，则
B．若A B，则
C．若，则事件A，B相互独立
D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为
29．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测．设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为　 　 ．
30．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则 　 　 ．
九．对立事件的概率关系及计算（共3小题）
31．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　）
A．事件A与事件B1是互斥事件
B．事件B1与事件B2是相互对立事件
C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2）
D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2）
32．对于随机事件，下列说法错误的是（　　）
A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B）
B．如果事件A与事件B满足A B，那么P（A）≤P（B）
C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）
D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立
33．从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为 　 　 ．
十．并事件积事件的概率关系及计算（共3小题）
34．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88
35．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
36．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.58 B．0.12 C．0.7 D．0.88
十一．等可能事件和等可能事件的概率（共6小题）
37．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
38．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个是事件的概率（　　）
A．颜色全相同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
39．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
40．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 　 　 ．
41．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为 　 　 ．
42．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面标有1，2，3，4，5，6字样）的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A的概率为　 　 ．
十二．古典概型及其概率计算公式（共5小题）
43．从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，则P（A）的值为（　　）
A． B． C． D．
44．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（　　）
A． B． C． D．
45．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
46．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
47．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
十三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共5小题）
48．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，3能够构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
49．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．
50．同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则|a﹣b|≤3的概率是 　 　 ．
51．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
52．某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A，B，C三个行政区中分别有18，27，9个社区．
（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
（ⅰ）试列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
十四．概率的应用（共8小题）
53．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048
54．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　）
A． B．P（A∪B）＝0.7
C． D．
55．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
（多选）56．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
57．桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式．已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打．若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为　 　 ．
58．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 　 　 ．
59．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
游戏一 游戏二 游戏三
箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
60．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；
②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，假设甲和乙进行第一场比赛．
（1）若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
（2）若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率．10.1 随机事件与概率
【知识点1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，
则称样本空间Ω={}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或
A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
Ω 必然事件 全集
不可能事件 空集
ω 试验的可能结果 Ω中的元素
A 事件 Ω的子集
的对立事件 A的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
【知识点2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P( )=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）.
一．样本点与样本空间（共4小题）
1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】C
【解答】解：闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间有6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次．
故选：C．
2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解答】解：根据题意，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则．
故选：C．
（多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　）
A．1000名运动员是总体
B．每名运动员的年龄是个体
C．样本容量为100
D．所抽取的100名运动员的年龄是样本
【答案】BCD
【解答】解：为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析，
则总体是1000名运动员的年龄情况，故A错误；
个体是每名运动员的年龄，故B正确；
样本容量为100，故C正确；
样本是所抽取的100名运动员的年龄，故D正确．
故选：BCD．
4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数．
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
【答案】（1）样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}；
（2）事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”；
（3）集合{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}．
【解答】解：（1）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数，
则样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}；
（2）由题意可知，{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”；
（3）由题意可知，事件“点数之和不超过5”，即x+y≤5，
用集合表示为：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}．
二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题）
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　）
A．M是不可能事件 B．N是必然事件
C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件
【答案】D
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，
事件M是点数为1或2，事件N是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，
M∩N是点为2，是随机事件，是可能发生的，
M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件．
故选：D．
6．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　）
A．A为必然事件 B．A＝B+C
C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件
【答案】D
【解答】解：由题意知事件A包括：向下的面为1，2，3，4．
事件B包括：向下的面为2，4，
事件C包括：向下的面为1，3，
故事件A为必然事件，事件B、C为可能事件，故A正确；
A＝B+C，故B正确；
B，C为对立事件，故C正确；
A，C不为互斥事件，故D错误．
故选：D．
（多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
【答案】BCD
【解答】解：∵某同学参加3次不同测试，
用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，
则J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；
∵J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，
∴表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；
J1∩J2∩J3表示J1、J2、J3同时发生，
即表示三次测试成绩均及格，故C正确；
表示测试成绩均不及格，
∴表示三次测试成绩均不及格，故D正确．
故选：BCD．
三．事件的并事件（和事件）（共2小题）
（多选）8．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B） B．
C．事件C与D互斥 D．
【答案】ABD
【解答】解：根甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签，
乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签，
从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1，
事件B：从乙袋中抽取号签5，
事件C：抽取的两个号签和为4，
事件D：抽取的两个号签编号不同，
据题意，样本点有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（3，5），（3，6），共有18种可能的结果，
则，∴P（A）＝2P（B），故A正确；
事件C包含的样本点有（1，3），（3，1），（2，2），共3种可能的结果，
则，故B正确；
事件D包含的样本点有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），
（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），
（3，6）（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），
（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），共15种可能的结果，
∴事件C与D不互斥，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
（多选）9．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
【答案】ACD
【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠ ，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C．因为C B，所以事件B包含事件C，故正确；
D．因为，，，所以 P（A） P（C）＝P（AC），
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
四．事件的交事件（积事件）（共1小题）
10．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
【答案】C
【解答】解：试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个，
所以事件A∪B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个，
事件A∩B中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共7小题）
11．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　）
A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件
C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件
【答案】C
【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；
事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，
A和B有公共事件：点数为3，
∴A和不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
事件AC表示点数为4或6，
，，，
∴P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是独立事件，故C正确；
事件BC表示点数为2，则，，，
∴P（BC）≠P（B）P（C），
∴B与C不是独立事件，故D错误．
故选：C．
12．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】D
【解答】解：根据题意，由A和C对立，可得P（A）+P（C）＝1，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝0.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．
故选：D．
13．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A＝“两次向上的数字都为3”，B＝“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A与事件B相互独立
B．事件A与事件B互斥
C．
D．P（AB）
【答案】D
【解答】解：根据题意，设样本空间为Ω，则n（Ω）＝6×6＝36，
事件A＝{（3，3）}，B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，
依次分析选项：
对于A，易得A B，P（A），P（B），则P（AB）＝P（A），
由于P（AB）≠P（A）P（B），则事件A、B不相互独立，A错误；
对于B，P（AB）＝P（A），事件A与事件B不互斥，故B错误；
对于选C：因为n（B）＝5，所以，故C错误；
对于D：因为n（AB）＝n（A）＝1，所以，故D正确．
故选：D．
（多选）14．设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则下列结论正确的是（　　）
A．事件A与B为互斥事件
B．事件A，B，C两两相互独立．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为A∩B＝{1}，所以事件A与B不是互斥事件，故A错误；
对于B，，
P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），
故事件A，B，C两两相互独立，故B正确；
对于C，A+B＝{1，2，3}，，故C正确；
对于D，A∩B∩C＝{1}，则P（ABC），故D错误．
故选：BC．
（多选）15．以下叙述不正确的是（　　）
A．若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
B．若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则事件A，B，C两两独立
C．若P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C），则事件A，B，C两两互斥
D．若事件A，B，C两两互斥，则P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）
【答案】AB
【解答】解：A选项，若事件A，B，C两两独立，则P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），
抛两次硬币，A：第一次正面，B：第二次正面，C：两次结果相同，
所以，，显然满足前提，
而，此时，不满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），即A选项错；
B选项，对于样本空间{1，2，3，4，5，6，7，8}，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，4，5}，C＝{1，6，7，8}，则ABC＝{1}，
所以，且，此时满足P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
但AC＝{1}，即，显然P（AC）≠P（A）P（C），显然A，C不相互独立，即B选项错；
C选项，若P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C），而P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C）﹣P（AC）﹣P（AB）﹣P（BC）+P（ABC），
所以P（ABC）＝P（AC）+P（AB）+P（BC），
必有P（ABC）＝P（AC）＝P（AB）＝P（BC）＝0，即事件A，B，C两两互斥时成立，即C选项对；
D选项，若事件A，B，C两两互斥，必有P（A+B+C）＝P（A）+P（B）+P（C），即D选项对．
故选：AB．
（多选）16．某高中为了调研同学们的课余兴趣爱好，利用简单随机抽样的方法抽取了10名高一学生，询问后得知有5名学生喜欢射箭，有7名学生喜欢唱歌，且有两名学生同时喜欢射箭和唱歌．记事件A：从这10名学生中随机抽取一名学生，该学生喜欢射箭．事件B：从这10名学生中随机抽取一名学生，该学生喜欢唱歌，则下列说法正确的有（　　）
A．P（AB）＝0.2 B．
C．事件A，B为互斥事件 D．事件A，B相互独立
【答案】AB
【解答】解：A选项，，故A选项正确；
B选项，，故B选项正确；
C选项，P（AB）＝0.2≠0，则事件A，B不互斥事件，故C选项错误；
D选项，P（A）P（B）＝0.5×0.7＝0.35≠P（AB），则事件A，B不相互独立的，故D选项错误．
故选：AB．
（多选）17．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　）
A．P（A）＝2P（B）
B．
C．事件C与D互斥
D．事件A与事件D相互独立
【答案】ABD
【解答】解：对于A，样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共18种可能的结果，
则，，故A正确；
对于B，事件C包含的样本点有（1，3），（3，1），（2，2），共3种可能的结果，
则，故B正确；
对于C，事件D包含的样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），共15种可能的结果，
显然事件C与事件D有公共样本点（3，1），（1，3），
所以事件C与D不互斥，故C错误；
对于D，由选项C可知，
事件A和事件D包含的公共样本点为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），共5个样本点，
所以P（AD），
所以P（AD）＝P（A）P（D），
所以A，D相互独立，故D正确．
故选：ABD．
六．事件的互为对立及对立事件（共6小题）
18．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　）
A．恰好有一件次品与全是次品
B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品
D．至少有一件正品与至少有一件次品
【答案】C
【解答】解：根据题意，从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，其可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；
依次分析选项：
对于A，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件，不符合题意；
对于B，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件，不符合题意；
对于C，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是正品是对立事件，符合题意；
对于D，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件，不符合题意．
故选：C．
19．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　）
A．事件C与事件D互斥 B．
C．事件A与事件B对立 D．
【答案】C
【解答】解：由题意，用p表示选择物理，用h表示选择历史，用数字1，2，3，（4分）别表示选择政治，地理，化学，生物，
则样本空间Ω＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34，h12，h13，h14，h23，h24，h34}，
共有12个样本点，即n（Ω）＝12，且每个样本点是等可能发生的，
∴这是一个古典概型，
对于A，事件C∩D＝{p13，p23，p34，h13，h23，h34}，∴n（C）＝6，
则P（C），故B错误；
对于C，A＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34}，B＝{h12，h13，h14，h23，h24，h34}，
则A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，∴事件A与事件B对立，故C正确；
对于D，CD＝{p13，h13}，则n（CD）＝2，
∴P（CD），故D错误．
故选：C．
20．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（　　）
A．至多投中2次
B．全部没投中
C．投中1次或全部没投中
D．没有全部投中
【答案】C
【解答】解：根据题意，某人连续投篮3次，包含的基本事件有：①全部没投中，②1次投中，2次没投中，③2次投中，1次没投中，④全部投中这4个，
事件“至少投中2次”包含基本事件③和④，
其对立事件只能包含基本事件①和②，即事件“投中1次或全部没投中”．
故选：C．
21．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（　　）
A．“大于3点”与“不大于3点”
B．“大于3点”与“小于2点”
C．“大于3点”与“小于4点”
D．“大于3点”与“小于5点”
【答案】B
【解答】解：对于A，“大于3点”与“不大于3点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件，故A错误；
对于B，“大于3点”与“小于2点”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥不对立事件，故B正确；
对于C，“大于3点”与“小于4点”不能同时发生，
但必有一个发生，是互斥且对立事件，故C错误；
对于D，“大于3点”与“小于5点”能同时发生，比如4点，
故不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
22．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（　　）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．至少三件正品与全部正品
C．至少一件正品与全部次品
D．至少一件正品与至少一件次品
【答案】C
【解答】解：一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，
选项A，恰好两件正品与恰好四件正品为互斥事件，不是对立事件，故A错误；
选项B，至少三件正品与全部正品有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；
选项C，至少一件正品与全部次品既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C正确；
选项D，至少一件正品与至少一件次品可能同时发生，不是对立事件，故D错误．
故选：C．
23．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（　　）
A．甲、乙恰有一人中奖
B．甲、乙都没中奖
C．甲、乙至少有一人中奖
D．甲、乙至多有一人中奖
【答案】D
【解答】解：甲乙两名同学都购买这种饮料，
则样本空间Ω＝{（甲中，乙中），（甲中，乙不中），（甲不中，乙中），（甲不中，乙不中）}，
由对立事件的定义可知，若A＝“甲、乙都中奖”，则“甲、乙至多有一人中奖”，即D正确．
故选：D．
七．概率及有包含关系的事件的概率（共2小题）
24．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（　　）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D．P（A）+P（B）≤1
【答案】C
【解答】解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
25．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是（　　）
①A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1+A2+A3是必然事件；
③P（A2+A3）＝0.8；
④P（A1+A2）≤0.5．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件
故P（A1+A2）≤0.5，P（A2+A3）≤0.8，P（A1+A2+A3）≤1
A1+A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件；
故④正确；
故选：B．
八．互斥事件的概率加法公式（共5小题）
26．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知事件A，B互斥，，
则P（A）+P（B），
又P（A）＝2P（B），
则P（B），
1．
故选：D．
27．已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9
【答案】B
【解答】解：根据题意，事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．
故选：B．
（多选）28．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　）
A．若事件A，B互斥，则
B．若A B，则
C．若，则事件A，B相互独立
D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为
【答案】ACD
【解答】解：已知事件A，B发生的概率分别为，，
对于A，若事件A，B互斥，则，故A正确；
对于B，若A B，则A∩B＝A，∴，故B错误；
对于C，由于，∴，而，
因此事件相互独立，从而事件A，B相互独立，故C正确；
对于D，“事件A，B至少有一个发生”的对立事件为“事件A，B都不发生”，即“事件”，
又因为事件A，B相互独立，
所以事件A，B至少有一个发生的概率，故D正确．
故选：ACD．
29．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测．设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为　0.05　 ．
【答案】0.05．
【解答】解：“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件，
因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，
则“抽到丙级品”的概率为1﹣0.80﹣0.15＝0.05．
故答案为：0.05．
30．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则 　0.3　 ．
【答案】0.3．
【解答】解：由题意得，
因为为互斥事件，
所以P（B+A）＝P（）+P（）＝0.5，
又因为①，
②，
式子①②相加得：，
故，
所以P（AB）＝0.4，
则．
故答案为：0.3．
九．对立事件的概率关系及计算（共3小题）
31．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　）
A．事件A与事件B1是互斥事件
B．事件B1与事件B2是相互对立事件
C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2）
D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2）
【答案】D
【解答】解：根据题意，连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，设正面用1表示，反面用2表示，
其样本空间Ω＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）}，共4个基本事件，
依次分析选项：
对于A，AB1＝{（1，1）}，事件A与事件B1可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，B1∩B2＝{（1，1）}，事件B1与事件B2可以同时发生，不是对立事件，B错误；
对于C，A∪B1＝{（1，1），（1，2）}，则P（A∪B1），
B1∪B2＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）}，则P（B1∪B2），
则P（A∪B1）＜P（B1∪B2），C错误；
对于D，A∩B1＝B1∩B2＝{（1，1）}，故P（A∩B1）＝P（B1∩B2），D正确．
故选：D．
32．对于随机事件，下列说法错误的是（　　）
A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B）
B．如果事件A与事件B满足A B，那么P（A）≤P（B）
C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）
D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由对立事件的性质，有P（A）＝1﹣P（B），A正确；
对于B，若A B，必有P（A）≤P（B），B正确；
对于C，当事件A，B不互斥时，P（AB）＞0，
此时P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＜P（A）+P（B），C错误；
对于D，对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），由对立事件的定义，事件A与事件B相互独立，D正确．
故选：C．
33．从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”，事件B表示“所选3人都为男生”，则A，B互为对立事件，
所以．
故答案为：．
十．并事件积事件的概率关系及计算（共3小题）
34．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88
【答案】B
【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，
则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，
故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58．
故选：B．
35．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，
设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，
∴事件A与B是相互独立事件，
∵P（A），，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）．
故选：A．
36．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A∪B）＝（　　）
A．0.58 B．0.12 C．0.7 D．0.88
【答案】A
【解答】解：事件A与B相互独立，P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，
则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）
＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
＝0.3+0.4﹣0.3×0.4＝0.58．
故选：A．
十一．等可能事件和等可能事件的概率（共6小题）
37．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22＝12种．
其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21＝4种，
∴其中至少有1名女生的概率P．
故选：A．
38．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个是事件的概率（　　）
A．颜色全相同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
【答案】B
【解答】解：根据题意，易得有放回地取3次，共3×3×3＝27种情况；
由古典概型依次计算四个选项的事件的概率可得：
A、颜色全同共三次全部是黄、红、白三种情况，其概率为；
B、颜色不全同，与A为对立事件，故其概率为1；
C、颜色全不同，即黄、红、白各有一次，则其概率为；
D、无红球，即三次都是黄、白球，则其概率为；
综合可得：颜色不全同时概率为；
故选：B．
39．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：基本事件总数为：10．从中任取三条能构成三角形的基本事件为：3，5，7、3，7，9、5，7，9共三个．
所以任取三条能构成三角形的概率为．
故选：B．
40．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，
设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的情况有二种：
①每步上一阶，走二步，概率为；
②第一步上两阶，概率为．
∴该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为：
P．
故答案为：．
41．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有10种情况，取到字母a，共有4种情况，
∴所求概率为．
故答案为：．
42．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面标有1，2，3，4，5，6字样）的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A的概率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面标有1，2，3，4，5，6字样）的试验中，
事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，
则P（A），P（），
A与互斥，
∴事件A的概率为P（A）＝P（A）+P（）．
故答案为：．
十二．古典概型及其概率计算公式（共5小题）
43．从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，则P（A）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，
基本事件总数为n，
设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，
则事件A包含的基本事件个数m9，
则P（A）．
故选：A．
44．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），10种情况，
若这三个数之积为偶数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），9种情况，
它们之和不小于9共有 （1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为．
故选：D．
45．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得事件A，B中至少有一个发生的对立事件是事件A，B都不发生，
而事件A不发生的概率为，事件B不发生的概率为，
所以事件A，B都不发生的概率为，
故事件A，B中至少有一个发生的概率是．
故选：D．
46．为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
759 421 113 215 345 257 704 066 186 203
037 624 616 045 601 366 959 742 710 428
据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
∴在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中，
即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，
经统计，20组中一共有13组符合要求，
有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428，
故概率为．
故选：D．
47．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
【答案】（Ⅰ）3、1、2；
（Ⅱ）（i）（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）；
（ii）
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为，
273，91，182，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；
（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），
共15种；
（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，
则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，
∴事件A发生的概率P
十三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共5小题）
48．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，3能够构成等腰三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由已知，先后两次抛掷同一个骰子，事件总数为36，
当a＝1时，b＝3时，符合要求，有1种情况；
当a＝2时，b＝2，3时，符合要求，有2种情况；
当a＝3时，b＝1，2，3，4，5时，符合要求，有5种情况；
当a＝4时，b＝3，4时，符合要求，有2种情况；
当a＝5时，b＝3，5时，符合要求，有2种情况；
当a＝6时，b＝6时，符合要求，有1种情况；
所以能够构成等腰三角形的共有13种情况，因此所求概率为：．
故选：C．
49．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：记“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”分别为a、b、c、d，
则所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），
（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）共12个，
所以所求事件的概率．
故选：D．
50．同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则|a﹣b|≤3的概率是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：同时抛掷两枚骰子共有6×6＝36种结果，其中满足|a﹣b|≤3有：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），
（4，5），（5，4），（5，6），（6，5），（1，3），（3，1），
（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），
（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共30种结果，
所以|a﹣b|≤3的概率为．
故答案为：．
51．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：
组号 分组 频数 频率
1 [0.10） 1240 0.31 0.031
2 [10，20） m n 0.046
3 [20，30） 776 0.194 0.0194
4 [30，40） 72 0.018 p
5 [40，50） 48 0.012 0.0012
6 [50，60） q 0.006 0.0006
（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【答案】（1）m＝1840，n＝0.46，p＝0.0018，q＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.036；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，m＝4000×（0.046×10）＝1840，
n＝0.046×10＝0.46，
p＝0.018÷10＝0.0018，
q＝4000×0.006＝24，
所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018+0.012+0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，
设上述6户为a，b，c，d．e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），
在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，
具体为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，f），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）}，
记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为A＝{（a，f），（b，f），（c，f），（d，f），（e，f）}，
所以．
52．某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A，B，C三个行政区中分别有18，27，9个社区．
（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；
（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
（ⅰ）试列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．
【答案】（Ⅰ）2，3，1；
（Ⅱ）（ⅰ）（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c1），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c1），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b2，b3），（b2，c1），（b3，c1）；
（ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）社区总数为27+18+9＝54，样本容量与总体中的个体数之比为，
所以从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数分别为2，3，1；
（Ⅱ）（ⅰ）设a1，a2为从A行政区中抽取的社区，b1，b2，b3为从B行政区中抽取的社区，c1为从C行政区中抽取的社区，
在这6个社区中随机抽取2个，全部的可能结果有：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c1），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c1），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b2，b3），（b2，c1），（b3，c1）；
（ⅱ）所以的基本事件共有15个，其中抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的有9个，故所求概率为．
十四．概率的应用（共8小题）
53．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）
A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048
【答案】C
【解答】解：根据题意，设事件Ai＝“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，事件B＝“零件为次品”，
则P（A1）＝20%，P（A2）＝20%，P（A3）＝60%，
P（B|A1）＝2%，P（B|A2）＝4%，P（B|A3）＝5%，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝20%×2%+20%×4%+60%×5%＝0.042，
即任取一个零件是次品的概率为0.042．
故选：C．
54．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　）
A． B．P（A∪B）＝0.7
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，
则有P（A∩B）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立，
依次分析选项：
对于A，事件A、B相互独立，则、B也相互独立，则P（B）＝（1﹣0.5）×0.4＝0.2，
P（∪B）＝P（）+P（B）﹣P（∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，B正确；
对于C，事件A、B相互独立，则A、也相互独立，则P（A∩）＝0.5×（1﹣0.4）＝0.3，C错误；
对于D，事件A、B相互独立，则、也相互独立，则P（∩）＝（1﹣0.5）（1﹣0.4）＝0.3，D错误．
故选：B．
55．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　）
A．28% B．32% C．35% D．40%
【答案】B
【解答】解：根据题意，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%，且等待超过15分钟的概率依次为：20%、40%、30%．
则选择A店并超时的概率为：30%×20%＝6%；
选择B店并超时的概率为：50%×40%＝20%；
选择C店并超时的概率为：20%×30%＝6%；
所以等待超过15分钟的概率为6%+20%+6%＝32%，
故选：B．
（多选）56．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A选项，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则在前2个路口遇到的不是红灯，第3个路口遇到的是红灯，
所求概率P1，A选项正确；
对于B选项，从这4张卡片中随机抽取2张，不同结果为12，13，14，23，24，34，共6个，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为12，14，23，34，共4个，概率P2，B选项错误；
对于C选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，
从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率P3，C选项正确；
对于D选项，由独立事件的概率公式，可得，
解得，D选项错误．
故选：AC．
57．桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式．已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打．若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设在第n轮甲、乙对打的概率为an，甲、丙对打的概率为bn，甲、丁对打的概率为cn，
由题意知a1＝1，b1＝c1＝0，
甲与乙对打：甲、乙比赛后，胜者进入胜者组，败者进入败者组；同时丁的对手为丙，丙、丁比赛后也分出胜负，
要让下一轮甲、丁对打，需甲、丁同属胜者组或同属败者组，概率为，
甲与丙对打：同理，下一轮甲、丁对打的概率为，
甲与丁对打：此轮比赛后，甲、丁分别进入胜者组或败者组，下一轮不可能对打，
由于每轮对战的对手组合只有三种（甲乙、甲丙、甲丁），故an+bn+cn＝1，
因此第n+1轮甲、丁对打的概率：cn+1，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因此．
故答案为：．
58．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，设A＝“甲命中”，B＝“乙命中”，C＝“前4次中甲恰好射击3次”，
则CA+ABAB，
故P（C）＝P（A）+P（AB）+P（AB）．
故答案为：．
59．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
游戏一 游戏二 游戏三
箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
【答案】（1），；
（2）5，6，7．
【解答】解：（1）由题意知游戏一获胜的概率为，
游戏二总事件数为5×5＝25，获胜的事件数为4，
所以游戏二获胜的概率为；
（2）若m为5，6，7时则游戏三获胜的事件数为4，总事件数为5×4＝20，概率为，
同理m为3，4，8，9时游戏三获胜的概率为，m为其他数时游戏三获胜的概率为0，
若游戏三获胜概率为，
当该同学先玩游戏二获得书券的概率为，
先玩游戏三获得书券的概率为，
大于先玩游戏二获得书券的概率，
若游戏三获胜概率为，
当该同学先玩游戏二获得书券的概率为，
先玩游戏三获得书券的概率为，
大于先玩游戏二获得书券的概率，
若游戏三获胜概率为0，显然先玩游戏三不可能获得书券，
而先玩游戏二获得书券的概率为，
综上，当m为5，6，7时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
60．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；
②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，假设甲和乙进行第一场比赛．
（1）若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
（2）若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，且丙获得冠军的情况有2种：
①首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜，
概率为：；
②首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜，
概率为：，
所以丙获得冠军的概率．
（2）甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，且甲获得冠军的情况有2种：
①乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为：；
②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，概率为：，
所以甲获得冠军的概率．

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