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8.6 空间直线、平面的垂直（一）
▉考点01 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
▉考点02 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.、
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
▉考点03 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是.
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
▉考点04 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
▉考点01 异面直线及其所成的角（共10小题）
1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：记，，，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
则，，，
又，，
所以，
可得24+4+2×2＝12，
2224+4+4+0﹣2×2﹣2×2＝4，
所以||＝2，||＝2，
可得cos，，
记BC1与A1C所成的角为θ，
则cosθ＝|cos，|．
故选：B．
2．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AB，CD的中点（如图（1）），将矩形ABCD绕直线EF逆时针旋转，点A，B，C，D分别位于Q，P，N，M处（如图（2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：延长FN到H，使得HN＝FN，连接CH，PH，
则四边形FHPQ为平行四边形，
故PH∥EN∥QF，
故∠CPH或其补角为直线PC与QF所成角，
设AB＝2AD＝2a，则，
在△FCH中，∠CFH，FCCD＝a，FH＝2a，
由余弦定理可得：CH2＝FC2+FH2﹣2FC FHcosa2+4a2﹣2 a 2a 3a2，
，
故在△PHC中，CH2＝PC2+FH2﹣2PC FHcos∠CPH＝2a2+2a2﹣2cos∠CPH＝3a2，
解得，
故直线PC与QF所成角的余弦值为．
故选：D．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，如图，
设底面正方形ABCD的中心为Q，连接D1Q，
由正方体的结构特征可知，D1Q∥PB，则∠AD1Q为直线PB与AD1所成的角，
又由AC⊥平面BB1D1D，D1Q 平面BB1D1D，则有D1Q⊥AQ，
在Rt△AQD1 中，AD1＝2AQ，则∠AD1Q，即直线PB与AD1所成的角为，
故选：D．
4．如图，三棱锥P﹣ABC中，△PAB，△PBC均为正三角形，△ABC为直角三角形，斜边为AC，M为PB的中点，则直线AM，PC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，△PAB，△PBC均为正三角形，
△ABC为直角三角形，斜边为AC，M为PB的中点，
取BC的中点N，连接MN，AN，易得NM∥PC，
则MN，AM所成的角即为直线AM，PC所成的角．
设AB＝2，因为△PAB，△PBC均为正三角形，△ABC为直角三角形，斜边为AC，
则，，，
在△AMN中，由余弦定理，得，
∴直线AM，PC所成角的余弦值为．
故选：B．
5．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示：连接CD1，AD1，根据长方体的性质易知BC1∥AD1，
所以异面直线AC与BC1所成角，即为直线AC与AD1所成角，则∠D1AC或其补角即可所求，
不妨设AA1＝AD＝2AB＝2a，
在△D1AC中，，
所以由余弦定理得cos∠D1AC，
所以异面直线AC与BC1所成角的余弦值为．
故选：D．
6．平面α过正方体的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m与n所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，
因为α∥平面CB1D1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
α∩平面ABCD＝m，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以m∥B1D1，
因为α∥平面CB1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
α∩平面ABB1A1＝n，平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，所以n∥CD1，
所以m与n所成角的大小等于B1D1与CD1所成角的大小，即∠B1D1C为所求，
因为△B1D1C为正三角形，所以∠B1D1C＝60°，即m与n所成角的大小为．
故选：B．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C作直线l，使其与直线AB1和BD所成角均为60°，则直线l的可作条数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：因为BD∥B1D1，所以过点C作直线l，
使得l与直线AB1和直线B1D1所成的角均为60°，
即过点C在空间作直线l，使得l与直线B1D1，AB1所成的角均为60°，
因为∠AB1D1＝60°，∠AB1D1的外角平分线与B1D1，AB1所成的角相等，均为60°，
所以在平面AB1D1内有一条满足要求，
因为∠AB1D1的角平分线与B1D1，AB1所成的角相等均为30°，
将角平分线绕点B1向上转动到与面AB1D1垂直的过程中，
存在两条直线与直线B1D1，AB1所成的角都等于60°，
故符合条件的直线有3条．
故选：B．
8．《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1与EF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接AC，A1C1，A1B，A1D，过A1作A1O⊥平面ABCD，其中垂足为O，连接OD，OB，如下图：
在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，易知∠A1AB＝∠A1AD，AB＝AD，
则△A1AB △A1AD，所以A1B＝A1D，
又因为A1O⊥平面ABCD，OB，OD 平面ABCD，所以A1O⊥OB，A1O⊥OD，
易知Rt△A1OB Rt△A1OD，所以OB＝OD，
又因为AO＝AO，AB＝AD，所以△AOB △AOD，则∠DAO＝∠BAO＝45°，
故O∈AC，
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF//AC，
则异面直线AA1与EF的夹角为∠A1AC，
因为A1O⊥平面ABCD，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上下底面面积分别为S1＝4，S2＝16，
正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积，
则，解得，
因为AC 平面ABCD，所以A1O⊥AC，
在正方形ABCD中，，同理可得，
在等腰梯形A1ACC1中，易知，
在Rt△A1AO中，，．
故选：D．
9．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为　　 ．
【答案】
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，则BD∥FG，
通过异面直线所成角的性质可知∠EFG（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．
设AD＝2，则，同理可得．
又，
所以在△EFG中，，
故异面直线EF与BD所成角的余弦值为．
故答案为：．
10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，E为AA1的中点，F为BC的中点．
（1）证明：EF∥平面A1BC1；
（2）若AC＝BC＝CC1＝2，求异面直线AF与BC1所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：取BC1的中点G，连接FG，A1G，
因为E为AA1的中点，F为BC的中点，所以GF∥CC1且，
又A1E∥CC1且，
所以A1E∥GF且A1E＝GF，
所以四边形A1EFG为平行四边形，
所以A1G∥EF，
又EF 平面A1BC1，A1G 平面A1BC1，
所以EF∥平面A1BC1；
（2）取CC1的中点Q，连接QA、QF，则QF∥BC1，
则∠QFA（或其补角）为异面直线AF与BC1所成角，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，
CC1⊥平面ABC，AC，BC 平面ABC，
所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，
在△FQA中，，，，
所以，
所以异面直线AF与BC1所成角的余弦值为．
▉考点02 异面直线的判定（共10小题）
11．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．AB、AC B．AC、AD C．AD、AG D．AC、AG
【答案】D
【解答】解：如图，取正方体底边的中点H，和正方体的顶点M，N，P，Q，
因为A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，
连接EF，AB，AC，AD，AG，BE，AF，GH，MN，PQ，
在正方体中有AF∥PQ，PQ∥BE，
所以AF∥BE，
所以点A，B，E，F四点共面，
所以直线EF与直线AB共面；
因为A∈平面ABEF且A EF，EF 平面ABEF，C 平面ABEF，
所以直线EF与直线AC是异面直线；
在正方体中，有EF∥MN，MN∥AD，所以EF∥AD；
直线AG 平面AFG，直线EF∩平面AFG＝F，F AG，
所以直线AG与直线EF是异面直线．
综上可知ABC错误；D正确．
故选：D．
12．在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法错误的是（　　）
A．A，C，C1，A1四点共面 B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1D D．A1C与BD异面
【答案】C
【解答】解：A，根据题意可知，AA1∥CC1且AA1＝CC1，∴A，C，C1，A1共面，故A正确；
B，根据题意可知，直线A1C∩平面C1BD＝M，∴M∈平面C1BD，
∵M∈直线A1C，又A1C 平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，
∵O为BD中点，BD 平面C1BD，∴O∈平面C1BD，
底面ABCD为正方形，∴O为AC中点，AC 平面ACC1A1，∴O∈底面ACC1A1，
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面C1BD，
∴平面C1BD与平面ACC1A1相交，且C1，M，O在交线上，即C1，M，O三点共线，故B正确；
C，平面C1BD∩平面BB1D1D＝BD，M∈平面C1BD，但M 直线BD，
∴M 平面BB1D1D，故C错误；
D，直线A1C∩平面ABCD＝C，直线BD 平面ABCD，M BD，
∴直线A1C与BD为异面直线，故D正确．
故选：C．
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，取DD1中点R，连接AR，RM，RN，
则RN∥DC且PR＝DC，AB∥DC且AB＝DC，
所以RN∥AB且RN＝AB，
所以四边形ARNB为平行四边形，
则AR∥BN，
所以∠RAM是直线AM与BN夹角或其补角．
设正方体棱长为2a，
则，，
，
则AR2+MR2＝7a2＜AM2，
则∠RAM为锐角，不是直角，所以直线AM与BN不垂直．
因为A∈平面ARNB，M 平面ARNB，BN 平面ARNB，A BN，
所以AM，BN为异面直线，
综上所得，AM与BN异面且不垂直．
故选：C．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有（　　）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有：
AD、CD、A1B1、B1C1、AA1、CC1，共有6条．
故选：C．
15．如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　）
A．共面
B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线
D．是异面直线
【答案】C
【解答】解：∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选：C．
16．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【答案】B
【解答】解：根据题意，如图所示，连接BD，点N为正方形ABCD的中心，则N在BD上，
故EN、BM都在平面BED上，
结合图形易得，直线BM，EN是相交直线，
再作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F，连接BF，
由于平面CDE⊥平面ABCD．EO⊥CD，EO 平面CDE，
则EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，△MFB与△EON均为直角三角形．
设正方形边长为2，易知，，∴．∴BM≠EN，
故选：B．
（多选）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点，则（　　）
A．直线A1E和直线C1F是异面直线
B．B1D1⊥EF
C．A1E∥平面C1FG
D．平面C1FG⊥平面A1ACC1
【答案】BD
【解答】解：对于A：
因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
所以四边形EFC1A1为等腰梯形，
在同一平面上，所以直线A1E，C1F不是异面直线，故选项A错误；
对于B：
因为B1D1⊥A1C1，
因为EF∥A1C1，所以B1D1⊥EF，故选项B正确；
对于C：设A1C1∩D1B1＝H，
因为EF∥A1H，EF＝A1H，所以四边形EFHA1为平行四边形，
所以EA1∥FH，而FH与平面C1FG交于点F，所以A1E与平面C1FG不平行，故选项C错误；
对于D：
因为FG∥BD，BD⊥AC，所以FG⊥AC，
因为CC1⊥平面ABCD，FG 平面ABCD，
所以CC1⊥FG，又AC∩CC1＝C，所以FG⊥平面ACC1A1，
又FG 平面C1FG，所以平面C1FG⊥平面A1ACC1，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线BN与MB1是异面直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线MN与AC是相交直线
D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
【答案】AD
【解答】解：BN 面BCC1B1，MB1∩面BCC1B1＝B1，B1 MB1，所以直线BN与MB1是异面直线，故A正确；
AB 面ABCD，MN∩面ABCD＝P，P AB，所以直线AB与MN是异面直线，即直线AM与BN是异面直线，故B错误；
AC 面ABCD，MN∩面ABCD＝P，P AC，所以直线MN与AC是异面直线，故C错误；
明显MN∥A1B，故四边形A1BNM为平面BMN截正方体所得的截面，
，
四边形A1BNM是等腰梯形，则梯形的高是，
所以梯形的面积，故D正确．
故选：AD．
（多选）19．已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法错误的是（　　）
A．若a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：若a α，b β，则a与b是异面直线或相交直线或a∥b，故A错误；
对于B：若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c可能是异面直线或a∥c或相交，故B错误；
对于C：若a，b不同在平面α内，则a与b是异面直线或相交直线或a∥b，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若a，b不同在任何一个平面α内，则a与b是异面直线，故D正确．
故选：ABC．
（多选）20．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是C1D1，DD1的中点，则（　　）
A．直线AP与直线B1Q是异面直线
B．过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为
C．三棱锥A1﹣AB1P的外接球的表面积为
D．点A1到平面AB1P的距离为
【答案】BCD
【解答】解：选项A，因为P，Q分别是C1D1，DD1的中点，
所以PQ∥C1D∥AB1，
所以P，Q，A，B1四点共面，
所以直线AP与直线B1Q不可能是异面直线，即选项A错误；
选项B，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面就是四边形PQAB1，
因为PQ∥AB1，PB1＝AQ，所以四边形PQAB1是等腰梯形，其中上底PQ，下底AB1＝2，腰AQ，
所以等腰梯形PQAB1的高h，
其面积为，即选项B正确；
选项C，因为△AA1B1是直角三角形，
所以三棱锥A1﹣AB1P的外接球的球心一定在线段AB1的中垂线上，设球心为O，半径为R，
分别取AB1和A1B1的中点E，F，连接OE，EF，PF，OB1，过点O作OG⊥PF于点G，则四边形OEFG是矩形，
所以OG＝EFAA1＝1，
设GF＝OE＝x，则PG＝2﹣x，
由勾股定理知，OP2＝OG2+PG2，，
所以R2＝12+（2﹣x）2，R2，
解得x，R，
所以外接球的表面积为4πR2＝4π ，即选项C正确；
选项D，由选项B可知， AB1 h3，
设点A1到平面AB1P的距离为d，
因为，
所以 2 ，解得d，
所以点A1到平面AB1P的距离为，即选项D正确．
故选：BCD．
▉考点03 直线与平面垂直（共10小题）
21．已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：由m α，m⊥n，则可能有n α，n∥α或者n与α相交，不能推出n⊥α，
若n⊥α，m α，则有n⊥m，所以m⊥n是n⊥α的必要不充分条件．
故选：C．
22．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AB⊥EF的图形的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解答】解：对于①：如下图所示，点C为所在棱的中点，可得AB⊥FC，
由CE⊥平面ACF，而AB 平面ACF，故EC⊥AB，
而FC，EC 平面ECF，FC∩EC＝C，故AB⊥平面ECF，
因EF 平面ECF，故AB⊥EF，故①正确；
对于②：如下图所示，点D为所在棱的中点，同理可证AB⊥EF，故②正确；
对于③：如下图所示，
易得EF⊥AG，
由BG⊥平面EFG，EF 平面EFG，得EF⊥BG，
而AG，BG 平面ABG，AG∩BG＝G，故EF⊥平面ABG，
而AB 平面ABG，则AB⊥EF，故③正确；
故选：D．
23．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥α；
③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：若l⊥m，m//α，则l⊥α，该命题为假命题，
因为l⊥m，m//α，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的判定定理，所以是假命题；
若l⊥m，l⊥α，则m//α，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥α，则平面α内必存在一直线与α外直线m平行，
所以m//α，
所以是真命题；
若m//α，l⊥α，则l⊥m，该命题为真命题，因为m//α，
所以α内必存在一直线n与直线m平行，l⊥α可得l⊥n，
所以l⊥m，命题为真．
综上可知，真命题的个数为2．
故选：C．
24．设a，b是两条异面直线，α，β是两个平面，若a⊥α，b⊥β，则（　　）
A．a⊥β B．b⊥α C．α∥β D．α与β相交
【答案】D
【解答】解：A中，因为b⊥β，若a⊥β，则a∥b，与a，b是两条异面直线相矛盾，所以A不正确；
B中，同理可得B不正确；
C中，若α∥β，则可得a∥b，与a，b是两条异面直线相矛盾，所以C不正确；
D中，只有α，β相交才正确．
故选：D．
（多选）25．如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是（　　）
A．BC⊥平面PAB B．AS⊥平面PBC
C．平面ABC⊥平面PAC D．平面ANS⊥平面PBC
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由题意可得PA⊥BC，AB⊥BC，
又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
可得BC⊥平面PAB，故A正确；
对于B，由AS⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，
可得AS⊥BC，
又PA⊥BC，PA∩AS＝A，PA，AS 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，
所以BC⊥AC，这与AC为圆O的直径矛盾，
故AS⊥平面PBC不成立，故B错误；
对于C，因为PA垂直于圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，
又PA 平面PAC，
所以平面ABC⊥平面PAC，故C正确；
对于D，因为BC⊥平面PAB，
又AN 平面PAB，
所以BC⊥AN，
又AN⊥PB，PB∩BC＝B，
又BC，PB 平面PCB，
所以AN⊥平面PBC，AN 平面ANS，
所以平面ANS⊥平面PBC，故D正确．
故选：ACD．
（多选）26．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1B∥平面CEF
B．DC1⊥平面CEF
C．异面直线A1C1与EF所成角为
D．平面CEF截正方体所得截面的面积为18
【答案】ACD
【解答】解：对于A，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，
可得A1B∥EF，EF 平面CEF，A1B 平面CEF，
所以A1B∥平面CEF，故A正确；
对于B，取BB1的中点M，连结AB1，ME，MC，
因为，AB1∥DC1，AB1∥ME，所以ME∥DC1，
则 ，不满足勾股定理，
所以ME不垂直于CE，则ME不垂直于平面CEF，
所以DC1不垂直于平面CEF，故B错误；
对于C，连结A1C1，BC1，△A1BC1是等边三角形，
所以直线A1C1与A1B所成角为，
所以异面直线A1C1与EF所成角为，故C正确；
对于D．连结D1F，D1C，D1C∥A1B∥EF，
所以E，F，D1，C四点共面，
四边形EFD1C是平面CEF截正方体所得截面，
如图，四边形EFD1C是等腰梯形，，
，
作EN⊥D1C于N，则，
可得EFD1C的面积，故D正确．
故选：ACD．
27．如图，PA⊥矩形ABCD，有下列结论：①PB⊥BC，②PD⊥CD，③PD⊥BD，④PA⊥BD．其中正确的是　　 （填序号）．
【答案】①②④．
【解答】解：因为PA⊥矩形ABCD，BC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，所以④正确；
且PA⊥BC，
在矩形矩形ABCD中，BC⊥AB，
所以，且PA 面PAB，AB 面PAB，
所以BC⊥面PAB，因为PB 面PAB，所以PB⊥BC，所以①正确；
同理可证CD⊥平面PAD，则PD⊥CD，所以②正确；
由题意可知PB2＝PA2+AB2，PD2＝PA2+AD2，BD2＝AD2+AB2，
当PD⊥BD时，在△PDB中有PD2+BD2＝PB2，
即PA2+AD2+AD2+AB2＝PA2+AB2，化简得AD＝0，所以③错误．
故答案为：①②④．
28．在四棱锥M﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，MA⊥平面ABCD，E，F分别是线段MB，AD的中点．若，在线段MD上有一点N满足AN⊥EF，则AN＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在四棱锥M﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，
MA⊥平面ABCD，E，F分别是线段MB，AD的中点，
，在线段MD上有一点N满足AN⊥EF，
取MA的中点T，连接TE，TF，如图，
则TE∥AB，TF∥MD，
∵MA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，∴MA⊥AB，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD，
∵AD∩MA＝A，AD，MA 平面MAD，
∴AB⊥平面MAD，∴TE⊥平面MAD．
又AN 平面MAD，∴TE⊥AN，
∵AN⊥EF，EF∩TE＝E，EF，TE 平面TEF，∴AN⊥平面TEF．
∵TF 平面TEF，∴AN⊥TF，∴AN⊥MD．
在Rt△MAD中，，，
则，
由三角形面积相等得．
故答案为：．
29．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥CD，EG∥AD，EG＝AD＝DC＝DG＝2BC＝2，CD∥FG，DG⊥平面ABCD．
（1）证明：AG⊥平面CDE；
（2）求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
（3）求点G到直线AB的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：因为GD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以GD⊥CD，
且CD⊥AD，GD∩AD＝D，GD，AD 平面ADGE，
所以CD⊥平面ADGE，AG 平面ADGE，
所以CD⊥AG，
由条件可知四边形ADGE是正方形，
所以AG⊥DE，
又因为CD∩DE＝D，且CD，DE 平面CDE，
所以AG⊥平面CDE；
（2）解：如图，以点D为原点，以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为EG＝AD＝DC＝DG＝2BC＝2，
可得D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），
B（1，2，0），G（0，0，2），
由（1）可知，平面CDE的法向量可为，
，，
设平面ABE的一个法向量为，
则，即，
令y＝1，可得平面ABE的一个法向量，
所以 2×2+0×1+2×0＝﹣4，||2，||，
所以cos，，
设平面CDE与平面ABE的夹角为θ，
所以cosθ＝|cos，|；
（3）解：，，
2×（﹣1）+0×2+2×0＝2，||，
||2，
可得 ，
所以点G到直线AB的距离d．
30．如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
（1）若CF⊥BD，求BE的长；
（2）求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值．
【答案】（1）5；（2）．
【解答】解：（1）连接DE，平面ABEF⊥平面ECDF，交线为EF，
由BE⊥EF，得BE⊥平面ECDF，
∵CF 平面ECDF，∴BE⊥CF，
∵CF⊥BD，BE∩BD＝B，∴CF⊥平面BDE，
又DE 平面BDE，∴CF⊥DE，
此时△FEC与△DFE相似，∴DF EC＝EF2，
设BE＝t（0＜t＜8），
由（9﹣t）（8﹣t）＝12，解得t＝5，∴BE＝5．
（2）过C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，
由CG∥EF∥BA，且CG＝EF＝BA，
得四边形CGAB是平行四边形，∴BC∥AG，
∴∠DAG是异面直线BC与AD所成角，
设BE＝t（0＜t＜8），
tan∠DAG＝tan（∠DAF﹣∠GAF）
，
当且仅当t，即t＝6时取等号，
∴锐角∠DAG正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
∴异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为．
▉考点04 平面与平面垂直（共10小题）
31．若α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，则“m∥β”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，
当m∥β时，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，故充分性成立，
当m⊥α，α⊥β时，则m∥β或m β，故必要性不成立，
则“m∥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
故选：A．
32．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，如图，则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论不正确的是（　　）
A．CD⊥AB B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD D．平面ABC⊥平面BDC
【答案】D
【解答】解：对于B，如图，
因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝∠ADB＝45°，
又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，
所以∠ADC＝135°，
所以∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
所以CD⊥BD，所以B正确；
对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD 平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，
因为AB 平面ABD，
所以CD⊥AB，所以A正确；
对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，
因为CD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD，
显然AE 平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．
故选：D．
33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点E在边BC上，，△ABE沿AE翻折，得到三棱锥B′﹣ACE，满足平面AB′E⊥平面ACE，则B′C的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，，
由余弦定理知cos∠BAC，
故，
作BH⊥AE交于E，因为∠BAE＝θ，可得BH＝ABsin∠BAE＝2sinθ，
AH＝ABcos∠BAE＝2cosθ，
在△ACH中，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAEθ，
由余弦定理可得CH2＝AE2+AC2﹣2AE ACcos∠EAC＝4cos2θ+4﹣2×2cosθ×2×cos（θ），
因为平面AB′E⊥平面ACE，B'H⊥AE，平面AB′E∩平面ACE＝AE，B'H 平面AB'E，
所以B'H⊥平面AEC，CH 平面AEC，
所以B'H⊥CH，
所以B'C2＝B'H2+CH2＝4sin2θ+4cos2θ+4﹣2×2cosθ×2×cos（θ）
＝8﹣8cosθ （cosθsinθ）
＝8+4cos2θ﹣4sinθcosθ
＝8+2×（1+cos2θ）﹣2sin2θ
＝10+4cos（2θ），
因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，
所以cos（2θ）∈[﹣1，]，
所以B'C2∈[6，8]，
所以B'C∈[，2]．
故B'C的最大值为．
故选：C．
（多选）34．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则（　　）
A．PA⊥B1C B．BC∥平面PAB1
C．平面PAB1⊥平面PCB1 D．平面PAB⊥平面PCD
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A：∵P为BD1的中点，
∴P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体对角线的交点，
∴A，P，C1三点共线，
连接BC1，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，且AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，
∴B1C⊥平面ABC1，
∵AC1 平面ABC1，
∴B1C⊥AC1，即PA⊥B1C，故A正确；
对于选项B：∵平面AB1C1即为平面PAB1，
∵BC∥B1C1，BC 平面PAB1，B1C1 平面PAB1，
∴BC∥平面PAB1，故B正确；
对于选项C：∵平面AB1C1D即为平面PAB1，
∵P为BD1的中点，
∴P也为B1D的中点，
∴平面A1B1CD即为平面PCB1，
且是平面AB1C1D的一个法向量，是平面A1B1CD的一个法向量，
而∵不与垂直，
∴平面AB1C1D不与平面A1B1CD垂直，
∴平面PAB1不与平面PCB1垂直，故C错误；
对于选项D：∵平面ABC1D1即为平面PAB，平面A1B1CD即为平面PCD，
又∵是平面ABC1D1的一个法向量，是平面A1B1CD的一个法向量，
而，
∴平面PAB⊥平面 PCD，故D正确．
故选：ABD．
（多选）35．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点（不含端点），且MN∥AB，MN与AC交于点E．现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD⊥平面ABNM，则（　　）
A．AM⊥CN
B．AC与MN所成角为定值
C．∠AEC为定值
D．存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为
【答案】AC
【解答】解：在正方形ABCD中，令AB＝2，CN＝x（0＜x＜2），则EN＝x，ME＝AM＝BN＝2﹣x，
ECx，AE（2﹣x），连接AN，则AN，
由题意知，CN⊥MN，平面MNCD⊥平面ABNM，平面MNCD∩平面ABNM＝MN，CN 平面MNCD，
所以CN⊥平面ABNM，又AM，BN，AN 平面ABNM，
所以CN⊥BN，CN⊥AN，AM⊥CN，选项A正确；
AC，BC，
因为cos∠AEC，
所以∠AEC为定值，选项C正确；
因为AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为AB∥MN，∴∠BAC是AC与MN所成的角，
cos∠BAC，当且仅当x＝1时取等号，
所以AC与MN所成角不为定值，选项B错误；
AM⊥MN，平面MNCD⊥平面ABNM，平面MNCD∩平面ABNM＝MN，
AM 平面ABNM，则AM⊥平面CDMN，所以∠MCA是AC与平面CDMN所成的角，
从而tan∠MCA，当∠MCA时，tan∠MCA，
化简得x2+2x+4＝0，方程无解，
所以不存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为，选项D错误．
故选：AC．
（多选）36．平面α垂直于平面β，且α∩β＝l，下列命题正确的是（　　）
A．平面α内一定存在直线平行于平面β
B．平面α内已知直线必垂直于平面β内无数条直线
C．平面α内任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
【答案】AB
【解答】解：选项A，因为l 面β，所以平面α内平行于l的直线都平行于平面β，故选项A正确；
选项B，在平面β内作直线l的垂线m，则m⊥面α，
所以m垂直于平面α的任意直线，
所以平面α内已知直线必垂直于直线m，以及与m平行的无数条直线，故选项B正确；
选项C，平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面β，故选项C错误；
选项D，若在交线l上取一点，作交线的垂线，则该垂线不一定垂直于平面β，
只有过平面α内，且在交线l外的一点作交线l的垂线，才有此垂线必垂直于平面β，故选项D错误．
故选：AB．
（多选）37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
【答案】ABD
【解答】解：选项A，设平面ABB1A1的中心为G，则G是A1B的中点，
因为O是A1C1的中点，所以OG∥BC1，
所以O，G，B，C1四点共面，
假设直线AO与BC1共面，
由于平面OABC1与平面OGBC1有3个交点O，B，C1，且O，B，C1三点不共线，
所以平面OABC1与平面OGBC1重合，显然点A 平面OGBC1，
所以假设不成立，即直线AO与BC1异面，故选项A正确；
选项B，由正方体的性质知，BD⊥AC，AA1⊥平面ABCD，
因为BD 平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC、AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
因为AO 平面ACC1A1，所以AO⊥BD，故选项B正确；
选项C，分别取AB，CD的中点E，F，连接OE，OF，EF，显然OE⊥AB，OF⊥CD，
因为AB∥CD，AB 平面COD，CD 平面COD，所以AB∥平面COD，
又AB 平面AOB，平面AOB∩平面COD＝l，所以AB∥l，即AB∥CD∥l，
所以OE⊥l，OF⊥l，
所以∠EOF即为平面AOB与平面COD所成的角，
设正方体的棱长为2，则EF＝2，OE＝OF，
在△OEF中，由余弦定理知，cos∠EOF，
所以∠EOF≠90°，即平面AOB⊥平面COD不成立，故选项C错误；
选项D，由选项B知，AB∥l，
因为AB 平面ABC1D1，l 平面ABC1D1，所以l∥平面ABC1D1，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）38．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是棱CC1（不包含端点）上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．平面AD1E截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形
B．存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为
C．若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是
D．三棱锥D﹣AD1E外接球表面积的最小值是
【答案】ACD
【解答】解：对于A，设平面AD1E截正方体所得的截面在正方形BCC1B1内的边为EE1，
由平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面AD1E＝AD1，得EE1∥AD1，
而AD1∥BC1，则EE1∥BC1，CE1＝CE，
因此AE1＝D1E，而EE1＜BC1＝AD1，所以截面四边形AD1EE1是等腰梯形，所以A正确；
对于B，∠AD1E是异面直线D1E与BC1所成的角或其补角，设CE＝t（0＜t＜2），
则，而，
由余弦定理得cos∠AD1E
整理得7t2﹣28t﹣8＝0，该方程在（0，2）上无解，所以B错误；
对于C，分别取DD1，DA的中点F1，F2，连接CF1，CF2，F1F2，
则CF1∥D1E，F1F2∥AD1，
而D1E 平面AD1E，CF1 平面AD1E，
则CF1∥平面AD1E，同理F1F2∥平面AD1E，
又CF1∩F1F2＝F1，CF1，F1F2 平面CF1F2，
所以平面CF1F2∥平面AD1E，
又CF∥平面AD1E，点C∈平面CF1F2，则CF 平面CF1F2，
又F∈平面ADD1A1，所以点F的轨迹为线段F1F2，长度为，所以C正确；
对于D，△DD1E外接圆半径r，当E为CC1中点时，CC1与该圆相切，r取最小值，
此时，
当E与C，C1之一重合时，r取最大值，
三棱锥D﹣AD1E外接球球心在线段AD的中垂面上，由AD⊥平面AD1E，
得球心到平面AD1E的距离，
则该球半径R满足R2＝r2+d21，
所以三棱锥D﹣AD1E外接球表面积，D正确．
故选：ACD．
39．如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，
取AB的中点E，连接DE，CE，
∵BC＝CD，∴CE⊥AB，
又平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，CE 平面ABC，
∴CE⊥平面ADB，则CE⊥DE，
∵AB＝2，AC＝BC，∴AC2+BC2＝AB2，则AC⊥BC，可得CE＝1，
在等边三角形ADB中，由AB＝2，求得DE，
在Rt△DEC中，有DC．
故答案为：2．
40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥平面，∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（3）若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）当N为AD中点时，MN∥平面PAB．
【解答】解：（1）证明：∵BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BC∥AD．
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BA⊥AD，所以BA⊥平面PAD，又因为BA 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．
（3）当N为AD中点时，MN∥平面PAB．
证明：取AD的中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，所以EN∥PA，EN 平面PAB，PA 平面PAB，所以EN∥平面PAB，
又因为，BC∥AD，所以四边形ABCN为平行四边形，
所以CN∥AB，CN 平面PAB，AB 平面PAB，所以CN∥平面PAB，CN∩NE，所以平面CNE∥平面PAB，又因为MN 平面CNE，所以MN∥平面PAB．
线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．
▉考点05 几何法求解直线与平面所成的角（共10小题）
41．已知直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图：
由图AC⊥BC，AC＝BC，平面ABC⊥平面ABB1A1，
平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，直线AC，BC在平面ABB1A1内的投影是直线AB，
因此直线AC，BC与平面ABB1A1所成的角都是，
由CC1⊥平面ABC，AC 平面ABC，得AC⊥CC1，而CC1∩BC＝C，
CC1，BC 平面BB1C1C，因此AC⊥平面BB1C1C，
不妨设直线AC为直线a，平面ABB1A1为平面α，直线b在平面BB1C1C内，
此时满足直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，
当b与BC平行或重合时，直线b与平面α所成的角取得最大值为，
当b与CC1平行或重合时，直线b与平面α所成的角取得最小值为0，
所以直线b与平面α所成角的取值范围为．
故选：A．
42．在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，N是侧面ACC1A1内任意一点（包含边界），则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1棱长均为2，取AC的中点为O，
则BO⊥平面ACC1A1，
当点N是靠近点A的四等分点时，MN∥BO，则MN⊥平面ACC1A1，
此时直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值最大为1；
当点N与C1重合时，此时MN最长，
因为，CC1＝2，
所以，
因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，
所以点M到平面ACC1A1的距离为，
此时直线MN（即MC1）与平面ACC1A1所成角的正弦值最小，为，
所以直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值取值范围是．
故选：D．
43．已知三棱锥P﹣ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，
所以．
因为三棱锥P﹣ABC的体积为1，
所以．
解得．
设直线PA与平面ABC所成角为θ，
所以．
故选：C．
44．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为45°和60°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设BB1＝a，因为B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，
所以∠CB1C1＝45°，∠DC1D1＝60°，
所以BC＝a，，
所以，，，
因为AB1∥C1D，所以∠AB1C为异面直线Β1C和C1D所成角，
由余弦定理得：．
故选：A．
45．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（　　）
A．EF∥平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与ADl所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
【答案】C
【解答】解：对于A，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，
则EF∥D1B，
又D1B 平面ABC1D1，EF 平面ABC1D1，
∴EF∥平面ABC1D1，故A正确；
对于B，∵AB⊥平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，
∴B1C⊥AB，
又B1C⊥BC1，AB 平面ABC1D1，BC1 平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
又∵BD1 平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EF∥BD1，∴EF⊥B1C，故B正确；
对于C，由EF∥BD1，得EF与AD1所成角为∠AD1B，
在Rt△BAD中，AB＝2，，
∴，
∴EF与AD1所成角不为60°，故C错误；
对于D，由EF∥BD1，且D1C1⊥平面BB1C1C，
∴∠D1BC1为EF与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△D1C1B中，D1C1＝2，，，
∴，故D正确．
故选：C．
46．如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥A﹣BCD，设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点，下列说法错误的是（　　）
A．在翻折过程中，存在某个位置使得AC⊥CD
B．若AB⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为
C．三棱锥A﹣BCD体积的最大值为2
D．当AB＝AD时，CM+FM的最小值为
【答案】D
【解答】解：对于A，当平面ABC与平面BCD垂直时，
∵CD⊥BC，平面ABC与平面BCD的交线为BC，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABC，又AB，AC 平面ABC，
∴CD⊥AB，CD⊥AC，故A正确；
对于B，连接AD，DE，
因为AB⊥CD，BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
又AE 平面ABC，所以AE⊥CD，
因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，又BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AE⊥平面BCD，
则∠ADE即为AD与平面BCD所成角的平面角，
在Rt△BCD中，CD＝2，∠BDC＝60°，则，，，
所以，
即AD与平面BCD所成角的正切值为，故B正确；
对于C：当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，平面ABC⊥平面BCD，
即AE是三棱锥A﹣BCD的高，
所以，故C正确；
对于D，当AB＝AD时，因为F为BD的中点，
所以AF⊥BD，则，
又因为E为BC的中点，所以，又，
所以EF2+AF2＝AE2，
所以AF⊥EF，
如图将△AEF沿AE旋转，使其与△ACF在同一平面内，
则当C，M，F三点共线时，CM+FM最小，
即CM+FM的最小值为CF，
在Rt△AEF中，，
则cos∠CEF＝cos（∠AEF+∠AEC）＝﹣sin∠AEF，
所以，
所以CM+FM的最小值为，故D错误．
故选：D．
47．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PO，
因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，
过点E作EH⊥AC于点H，连接PH，因为EH 平面ABCD，所以EH⊥PO，
因为PO∩AC＝O，PO，AC 平面PAC，所以EH⊥平面PAC，
故∠EPH为直线PE与平面PAC所成角．
因为PA＝AB＝2，E为棱AB的中点，
所以，
故．
故选：C．
48．已知α，β为平面，a，b为直线，下列说法正确的是（　　）
A．若直线a，b与平面α所成角相等，则a∥b
B．若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β
C．若α⊥β，α∩β＝l，a α，b β，若a，b均不垂直于l，则a，b不垂直
D．若α⊥β，a α，b β，b⊥a，则b∥β
【答案】C
【解答】对于A：若a∥b，显然a、b与平面α所成的角相等；
若a、b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a、b与平面α所成的角相等，此时a、b为相交直线；
若a、b为异面直线，若满足a∥α，b∥α，此时a、b与平面α所成的角相等，均为0，
故a与b的位置关系是平行、相交或异面．故A不正确；
对于B：若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；
对于C：若a∥l，b∥l，则a//b，即a与b不垂直；若a∥l，b斜交于l，则b与a也斜交，即a与b不垂直；若b∥l，a斜交于l，则a与b也斜交，即a与b不垂直；
若a，b与l都斜交，若a⊥b，则a⊥面β，即a⊥l与假设不符，所以a与b不垂直，故C正确；
对于D：如图：b可能与β相交，故D错误．
故选：C．
49．如图，△ABC的顶点C∈平面α，点A，B在平面α的同一侧，且，BC＝2．若AC，BC与平面α所成的角分别为，，则△ABC的面积的最小值为　 ．
【答案】
【解答】解：如图所示，过C作CD⊥α，
因为AC，BC与平面α所成的角分别为，，所以，，
易知∠BCD﹣∠ACD≤∠ACB≤∠BCD+∠ACD，即，
由，
，
由△ABC的面积，则，
所以△ABC的面积的最小值为．
故答案为：．
50．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的中点，底面△ABC的边长为2，．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求三棱锥B1﹣A1DC的体积；
（3）求直线AB与平面A1DC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）．
【解答】解：（1）证明：因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点，又D是AB的中点，
所以DE∥BC1，又DE 平面CA1D，BC1 平面CA1D，
所以BC1∥平面CA1D；
（2）因为AC＝BC，则D是AB的中点，AB⊥CD，
因为AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，
AA1 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
所以CD⊥平面AA1B1B，
所以CD是三棱锥C﹣A1B1D的高，
又，
所以；
（3）根据AB∥A1B1，则直线AB与平面A1DC所成角即为直线A1B1与平面A1DC所成角，
记点B1到平面A1DC距离为d，直线A1B1与平面A1DC所成角为θ，
由（2）问CD⊥平面AA1B1B．
又CD⊥平面AA1B1B，A1D 平面AA1B1B，所以CD⊥A1D，
又，，
所以，
又，
即，
解得，
所以，
即直线AB与平面A1DC所成角的正弦值为．
▉考点06 几何法求解二面角及两平面的夹角（共10小题）
51．如图，已知四面体P﹣ABQ中，二面角P﹣AB﹣Q的大小为且△PAB为正三角形，AB⊥BQ，AB＝6，BQ＝4．若P，A，B，Q都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．60π B．240π C．61π D．244π
【答案】D
【解答】解：因为AB⊥BQ，AB＝6，BQ＝4，
所以在Rt△ABQ中，，
则△ABQ外接圆的半径，
由二面角P﹣AB﹣Q的大小为且△PAB为正三角形，则△PAB的高为，
所以P到平面ABQ的距离，
若P在平面ABQ的投影点F，则PF⊥平面ABQ，AB 平面ABQ，则PF⊥AB，
若AB，AQ的中点分别为D，E，则DE∥BQ，
即DE⊥AB，且PD⊥AB，因为PF∩PD＝P，PF，PD 平面PDF，
所以AB⊥平面PDF，又因为DF 平面PDF，
所以AB⊥DF，
综上D，E，F在同一直线上，
所以EF，如图，
设球心到平面ABQ的距离为h，四面体P﹣ABQ外接球半径为R，
则，
可得，
即，
则R2＝61，
所以球体表面积为4πR2＝244π．
故选：D．
52．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥面ABCD，SD＝AB，则异面直线SB与AC所成角的大小及平面SAB与平面ABD所成的二面角的大小分别为（　　）
A．90°和45° B．60°和45° C．45°和90° D．45°和60°
【答案】A
【解答】解：连接BD，
因为SD⊥面ABCD，所以SD⊥AC，SD⊥AB，SD⊥AD，
又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
BD∩SD＝D，BD，SD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，
又SB 平面SBD，所以AC⊥SB，
即异面直线SB与AC所成角为90°，所以可确定只有选项A正确；
又因为AB⊥AD，AD∩SD＝D，AD，SD 平面SAD，所以AB⊥平面SAD，
又SA 平面SAD，所以AB⊥SA，
所以∠SAD是平面SAB与平面ABD所成的二面角的平面角，
而因为SD＝AB＝AD，∠SDA＝90°，所以∠SAD＝45°，
即平面ABD与平面SAB所成的二面角大小为45°，
故选：A．
53．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（　　）
A．π B．π C．π D．
【答案】D
【解答】解：翻折后所得图形如下图所示，
易知BD的中点O为球心，
故该四面体的外接球体积，
四面体ABCD的体积，
故所求体积之比为．
故选：D．
54．如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x+φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，在平面ACD内作AE∥x轴，DE⊥轴交于点E，
连接AB，BE，则∠BDE是二面角的平面角，即，
BD＝DE＝M，则，
由x轴垂直于BD，DE，BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
得x轴垂直于平面BDE，又AE∥x轴，则AE⊥平面BDE，
而BE 平面BDE，因此AE⊥BE，
又函数f（x）的周期，即AE＝CD＝3，
由勾股定理得BE2+AE2＝AB2，
即3M2+9＝18，解得，
而函数f（x）的图象过点，
则，
即，又0＜φ＜π，
且0在f（x）的递减区间内，所以．
故选：B．
55．如图，点B在以AC为直径的圆O的圆周上，平面ABC，2PA＝AC＝4，则二面角P﹣BC﹣A的平面角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，所以AB＝OA＝2，
因为点B在以AC为直径的圆O的圆周上，
所以AB⊥BC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，
又因为PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角，
又因为AB＝PA＝2，
所以．
故选：C．
56．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，BC⊥AC，BC＝CD，BD＝2，M为棱AD的中点，且CM⊥AD，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：取BD的中点N，连接CN，MN，
因为M为棱AD的中点，
所以MN∥AB，
又因为AB⊥BD，所以MN⊥BD，
又因为BC＝CD，
所以CN⊥BD，且，
故∠MNC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，
由于M为棱AD的中点，且CM⊥AD，
所以△ACD为等腰三角形，
故，
因为BC⊥AC，
所以，则，
又AB⊥BD，
所以，
故，
在△MNC中，．
故选：D．
57．已知等边△ABC的三个顶点都在平面α的同一侧，且三条边在α上的射影长分别为1，，则平面ABC与α所成二面角（锐角）的余弦值为　．
【答案】．
【解答】解：设等边△ABC的边长为l，
因为三条边在α上的射影长分别为1，，，
所以由几何关系可知，解得，
又l2≥3，故l2，所以△ABC的面积为，
记射影三角形为△A1B1C1，且不妨设A1B1＝1，，，
则，所以△A1B1C1是直角三角形，且，
所以△A1B1C1的面积为，
故平面ABC与α所成二面角（锐角）的余弦值为．
故答案为：．
58．空间中有相互垂直的两条异面直线l1、l2，点A、B∈l1，C、D∈l2，且AB＝4，CD＝1，若DA⊥DB，且AC＝BC+2，则二面角D﹣AB﹣C平面角的余弦值最小为 　 　 ．
【答案】．
【解答】解：根据双曲线的定义，平面内到两个定点A、B（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于AB）的点的轨迹为双曲线．
由AC＝BC+2，可知AC﹣BC＝2，所以点C在以A、B为焦点的双曲线上．在空间中，是此双曲线绕AB旋转得到的曲面．
因为DA⊥DB，根据直径所对的圆周角是直角，所以点D同时在以AB为直径的球面上．
由于l1⊥l2，所以C、D在与AB垂直的面上．
不妨令C固定在一支双曲线上，设双曲线方程为，
过C作CE⊥AB于E，在双曲线中，变形可得x2＝3（y2﹣1），
在Rt△CEB（因为CE⊥AB）中，CE的长度可根据坐标关系得到，，
因为D在过C与AB垂直的面与球的交线上，设球心为O（AB中点），
由DE2+OE2＝4（球的半径的平方为4，根据勾股定理得到此关系），OE的长度与y有关（E点坐标与C点纵坐标y有关），
且OE在y轴上的投影长度就是y，所以，
在△CED中，根据余弦定理，
通过CE2＝3y2﹣3，DE2＝4﹣y代入余弦定理公式化简得到，
，
令，则．
对于二次函数f（t）＝﹣4t2+5t﹣1，其对称轴为，
当时，f（t）取得最大值，
所以．
故答案为：．
59．在各棱长均相等的正四面体PABC中，取棱PC上一点T，使PT＝2TC，连接TA，TB，三棱锥T﹣PAB的内切球的球心为M，三棱锥T﹣ABC的内切球的球心为N，则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是 　　 ．
【答案】
【解答】解：设三棱锥T﹣PAB的内切球分别与面PAB、面TAB相切于D，E两点，则DP平分∠APB，ET平分∠ATB，
由题意知，PA＝PB，TA＝TB，
取AB的中点Q，则M在∠PQT的平分线上，
同理可得，三棱锥T﹣PAB的内切球球心N在∠TQC的平分线上，
因为△PAB和△ABC均为等边三角形，且Q是AB的中点，
所以PQ⊥AB，CQ⊥AB，
又PQ∩CQ＝Q，PQ、CQ 平面PQC，
所以AB⊥平面PQC，
因为MQ 平面PQC，所以MQ⊥AB，
同理可得，NQ⊥AB，
所以∠MQN为平面MAB与平面NAB的夹角的平面角，
又M在∠PQT的平分线上，N在∠TQC的角平分线上，
所以，
设正四面体棱长为3a，则，PC＝3a，
所以sin∠MQN＝sin∠PQC．
故答案为：．
60．如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P﹣BCD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若二面角P﹣BD﹣C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：在图2中，取BD中点为O，连接PO，CO，
由ABCD为菱形可知，PO⊥BD，CO⊥BD，
又因为PO∩CO＝O，
所以BD⊥平面POC，
因为PC 平面POC，
所以BD⊥PC．
（2）过P作PH⊥OC于点H，连接BH，
由（1）BD⊥平面POC，PH 平面POC，
得BD⊥PH，
因为PH⊥OC，BD∩OC＝O，
所以PH⊥平面BDC，
所以∠PBH为直线PB与平面BCD所成的角，
由（1）知，PO⊥BD，CO⊥BD，
则∠POC为二面角P﹣BD﹣C的平面角，所以∠POC＝60°，
在△POH中，，∠POC＝60°，
得，
又PB＝2，所以，
所以直线PB与平面BCD所成角的正弦值为．8.6 空间直线、平面的垂直（一）
▉考点01 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
▉考点02 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.、
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
▉考点03 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是.
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
▉考点04 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
▉考点01 异面直线及其所成的角（共10小题）
1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AB，CD的中点（如图（1）），将矩形ABCD绕直线EF逆时针旋转，点A，B，C，D分别位于Q，P，N，M处（如图（2），则异面直线PC与QF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，三棱锥P﹣ABC中，△PAB，△PBC均为正三角形，△ABC为直角三角形，斜边为AC，M为PB的中点，则直线AM，PC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．平面α过正方体的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m与n所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C作直线l，使其与直线AB1和BD所成角均为60°，则直线l的可作条数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1与EF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为　　 ．
10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，E为AA1的中点，F为BC的中点．
（1）证明：EF∥平面A1BC1；
（2）若AC＝BC＝CC1＝2，求异面直线AF与BC1所成角的余弦值．
▉考点02 异面直线的判定（共10小题）
11．如图，已知A、B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　）
A．AB、AC B．AC、AD C．AD、AG D．AC、AG
12．在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法错误的是（　　）
A．A，C，C1，A1四点共面 B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1D D．A1C与BD异面
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有（　　）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
15．如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　）
A．共面
B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线
D．是异面直线
16．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
（多选）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点，则（　　）
A．直线A1E和直线C1F是异面直线
B．B1D1⊥EF
C．A1E∥平面C1FG
D．平面C1FG⊥平面A1ACC1
（多选）18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线BN与MB1是异面直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线MN与AC是相交直线
D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
（多选）19．已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法错误的是（　　）
A．若a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
（多选）20．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是C1D1，DD1的中点，则（　　）
A．直线AP与直线B1Q是异面直线
B．过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为
C．三棱锥A1﹣AB1P的外接球的表面积为
D．点A1到平面AB1P的距离为
▉考点03 直线与平面垂直（共10小题）
21．已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
22．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AB⊥EF的图形的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥α；
③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．设a，b是两条异面直线，α，β是两个平面，若a⊥α，b⊥β，则（　　）
A．a⊥β B．b⊥α C．α∥β D．α与β相交
（多选）25．如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是（　　）
A．BC⊥平面PAB B．AS⊥平面PBC
C．平面ABC⊥平面PAC D．平面ANS⊥平面PBC
（多选）26．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1B∥平面CEF
B．DC1⊥平面CEF
C．异面直线A1C1与EF所成角为
D．平面CEF截正方体所得截面的面积为18
27．如图，PA⊥矩形ABCD，有下列结论：①PB⊥BC，②PD⊥CD，③PD⊥BD，④PA⊥BD．其中正确的是　　 （填序号）．
28．在四棱锥M﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，MA⊥平面ABCD，E，F分别是线段MB，AD的中点．若，在线段MD上有一点N满足AN⊥EF，则AN＝ 　　 ．
29．如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥CD，EG∥AD，EG＝AD＝DC＝DG＝2BC＝2，CD∥FG，DG⊥平面ABCD．
（1）证明：AG⊥平面CDE；
（2）求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
（3）求点G到直线AB的距离．
30．如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
（1）若CF⊥BD，求BE的长；
（2）求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值．
▉考点04 平面与平面垂直（共10小题）
31．若α，β是两个不同的平面，直线m⊥α，则“m∥β”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
32．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，如图，则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论不正确的是（　　）
A．CD⊥AB B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD D．平面ABC⊥平面BDC
33．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点E在边BC上，，△ABE沿AE翻折，得到三棱锥B′﹣ACE，满足平面AB′E⊥平面ACE，则B′C的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．3
（多选）34．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则（　　）
A．PA⊥B1C B．BC∥平面PAB1
C．平面PAB1⊥平面PCB1 D．平面PAB⊥平面PCD
（多选）35．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点（不含端点），且MN∥AB，MN与AC交于点E．现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD⊥平面ABNM，则（　　）
A．AM⊥CN
B．AC与MN所成角为定值
C．∠AEC为定值
D．存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为
（多选）36．平面α垂直于平面β，且α∩β＝l，下列命题正确的是（　　）
A．平面α内一定存在直线平行于平面β
B．平面α内已知直线必垂直于平面β内无数条直线
C．平面α内任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
（多选）37．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
（多选）38．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是棱CC1（不包含端点）上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．平面AD1E截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形
B．存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为
C．若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是
D．三棱锥D﹣AD1E外接球表面积的最小值是
39．如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC，等边三角形ADB以AB所在直线为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　 ．
40．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥平面，∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（3）若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由．
▉考点05 几何法求解直线与平面所成的角（共10小题）
41．已知直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
42．在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱AB的中点，N是侧面ACC1A1内任意一点（包含边界），则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
43．已知三棱锥P﹣ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．1
44．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为45°和60°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
45．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（　　）
A．EF∥平面ABC1D1
B．EF⊥B1C
C．EF与ADl所成角为60°
D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
46．如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥A﹣BCD，设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点，下列说法错误的是（　　）
A．在翻折过程中，存在某个位置使得AC⊥CD
B．若AB⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为
C．三棱锥A﹣BCD体积的最大值为2
D．当AB＝AD时，CM+FM的最小值为
47．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB＝2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值（　　）
A． B． C． D．
48．已知α，β为平面，a，b为直线，下列说法正确的是（　　）
A．若直线a，b与平面α所成角相等，则a∥b
B．若a，b α，且a∥β，b∥β，则α∥β
C．若α⊥β，α∩β＝l，a α，b β，若a，b均不垂直于l，则a，b不垂直
D．若α⊥β，a α，b β，b⊥a，则b∥β
49．如图，△ABC的顶点C∈平面α，点A，B在平面α的同一侧，且，BC＝2．若AC，BC与平面α所成的角分别为，，则△ABC的面积的最小值为　 ．
50．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB的中点，底面△ABC的边长为2，．
（1）求证：BC1∥平面CA1D；
（2）求三棱锥B1﹣A1DC的体积；
（3）求直线AB与平面A1DC所成角的正弦值．
▉考点06 几何法求解二面角及两平面的夹角（共10小题）
51．如图，已知四面体P﹣ABQ中，二面角P﹣AB﹣Q的大小为且△PAB为正三角形，AB⊥BQ，AB＝6，BQ＝4．若P，A，B，Q都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．60π B．240π C．61π D．244π
52．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥面ABCD，SD＝AB，则异面直线SB与AC所成角的大小及平面SAB与平面ABD所成的二面角的大小分别为（　　）
A．90°和45° B．60°和45° C．45°和90° D．45°和60°
53．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（　　）
A．π B．π C．π D．
54．如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x+φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
55．如图，点B在以AC为直径的圆O的圆周上，平面ABC，2PA＝AC＝4，则二面角P﹣BC﹣A的平面角为（　　）
A． B． C． D．
56．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，BC⊥AC，BC＝CD，BD＝2，M为棱AD的中点，且CM⊥AD，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
57．已知等边△ABC的三个顶点都在平面α的同一侧，且三条边在α上的射影长分别为1，，则平面ABC与α所成二面角（锐角）的余弦值为　．
58．空间中有相互垂直的两条异面直线l1、l2，点A、B∈l1，C、D∈l2，且AB＝4，CD＝1，若DA⊥DB，且AC＝BC+2，则二面角D﹣AB﹣C平面角的余弦值最小为 　 　 ．
59．在各棱长均相等的正四面体PABC中，取棱PC上一点T，使PT＝2TC，连接TA，TB，三棱锥T﹣PAB的内切球的球心为M，三棱锥T﹣ABC的内切球的球心为N，则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是 　　 ．
60．如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P﹣BCD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若二面角P﹣BD﹣C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值．

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