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2.因数和倍数（讲义）
2025-2026学年五年级数学下册人教版
单元思维导图
经典案例
【案例1】
(1)在自然数的范围内，最小的质数是( )，最小的合数是( )，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的自然数是( )。
(2)( )的最大因数是 29，最小的倍数是( )。
解析：(1)自然数范围（通常指正整数 1, 2, 3, …）
最小质数：2
最小合数：4
最小奇数：1
最小偶数：2
最小自然数：1（按通常教材定义，自然数从 1 开始）
(2)一个数的最大因数是它本身，所以这个数是 29。
最小倍数也是它本身（自然数范围内），所以是 29。
答案：(1) 2, 4, 1, 2, 1(2) 29, 29
【案例2】
(1)3和5 的倍数的最大两位数是( )，是 2 的倍数又含有因数5最小三位数( )。
(2)一个三位数，既是 12和5的倍数，又有因数 9，这个三位数最大是( )
解析：(1)3 和 5 的倍数 → 即 15 的倍数。
最大两位数：15 × 6 = 90（15 × 7 = 105 是三位数，不行） → 90。
是 2 的倍数又含因数 5 → 即 10 的倍数。
最小三位数：100。
(2)既是 12 和 5 的倍数 → 即 60 的倍数（因为 12 和 5 互质，所以是 60 的倍数）。
又有因数 9 → 即 60 和 9 的公倍数，先求最小公倍数：60 = 2 × 3 × 5，9 = 3 ，LCM = 2 × 3 × 5 = 180。
三位数中 180 的倍数最大：180 × 5 = 900（180 × 6 = 1080 不是三位数） → 900。
答案：(1) 90, 100(2) 900
【案例3】一筐苹果不超过250个，三个三个的数，五个五个的数，七个七个的数恰好都数完，这筐苹果最多有( )个。
解析：苹果数能被 3、5、7 整除 → 是 3, 5, 7 的公倍数。
3, 5, 7 互质，LCM = 3 × 5 × 7 = 105。
不超过 250 的最大倍数：105 × 2 = 210（105 × 3 = 315 超了）。
答案： 210
【案例4】
(1)数a与数b是互质的，它们的最小公倍数是最大公因数的( )倍。
(2)自然数1 是( )
A.质数 B、合数 C、奇数 D、互质数
(3) 7和 11都是( )
A.互质数 B、质数 C、质因数 D、因数
解析：(1)a 与 b 互质 → 最大公因数 = 1，最小公倍数 = a × b。
最小公倍数 ÷ 最大公因数 = ab ÷ 1 = ab 倍。
(2)1 不是质数，不是合数，是奇数，互质数是针对两个数而言，不能说 1 是互质数。
选 C（奇数）。
(3)7 和 11 都是质数，它们也互质，但题目问“都是”，选 B（质数）。
答案：(1) ab(2) C(3) B
【案例5】
(1)两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 180，且知其中一个为 60，另一个为( ) 。
(2)三个连续的自然数的和是 21，这三个数的最小公倍数是( )。9、4，12， 16的最大公因数是( ) 。
(3)a和b 都是自然数，且 5a=b，那么 a与b的最小公倍数是( )，最大公因数( ) 。
解析：(1)公式：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。
设另一个数为 x，则 12 × 180 = 60 × x → x = (12 × 180) / 60 = 36。
(2)三个连续自然数和是 21 → 中间数 = 7 → 三个数为 6, 7, 8。
最小公倍数：6, 7, 86 = 2×3, 8 = 2 , 7 = 7LCM = 2 × 3 × 7 = 168。
9, 4, 12, 16 的最大公因数：9 = 3 , 4 = 2 , 12 = 2 ×3, 16 = 2 公共部分只有 2 = 1（因为 9 没有 2 的因子） → 最大公因数 = 1。
(3)5a = b → b 是 a 的 5 倍。
若 a 和 b 是自然数，且 b = 5a，则 a 和 b 的最大公因数是 a，最小公倍数是 b。
答案：(1) 36(2) 168, 1(3) b, a
【案例6】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会
解析：甲：1 分 = 60 秒
乙：1 分 15 秒 = 75 秒
丙：1 分 30 秒 = 90 秒
在起点相会时间 = 60, 75, 90 的最小公倍数。
60 = 2 ×3×5, 75 = 3×5 , 90 = 2×3 ×5
60、75和90最小公倍数：
2 × 3 × 5 = 4 × 9 × 25 = 900 秒 = 15 分钟。
答案： 15 分钟
【案例7】五(1)班买来46本书、32枝笔，奖给各方面表现突出的同学。每个同学得到的奖品同样多，最后余下 1本书和2枝笔。问最多有多少个同学得奖每个获奖同学分别获得书和笔各是多少枝？
解析：46 本书，最后余 1 本 → 发出去 45 本。
32 枝笔，余 2 枝 → 发出去 30 枝。
每个同学得到的书和笔同样多 → 人数能整除 45 和 30。
45和30最大公约数是15。
每人得书：45 ÷ 15 = 3 本，笔：30 ÷ 15 = 2 枝。
答案： 15 人，每人 3 本书 2 枝笔
三、单元训练
（一）填一填。
1.在12,0.6,20,6这些数中,( )是( )的因数,( )是( )的倍数。
2.既是8的倍数，又是64的因数的数有( )。
3.从2,6,14,25,28中找一个与众不同的数,可以是( ),理由是( )。
4.“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，王华“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，王华的积分最多有( )分。
5.一个运算程序的运算规则如右图所示。如果输入23，那么结果是( )；如果输入一个数，结果是66，那么这个数是( )。
6.花园小学举办体育节活动，每个班级都要进行长方形队列表演，要求队形更多变。你建议五(1)班在36人和40人中选择( )人参演，原因是 。
（二）选一选。
1. 若甲=a×b×c,则下面说法错误的是( )。(a、b、c 均是大于1的自然数)
A. a、b、c 都是甲的因数 B.a×b是甲的因数 C.甲一定是合数 D.甲一定是偶数
2.下面说法正确的有( )个。
①一个自然数，不是奇数就是偶数。 ②9的倍数一定是3的倍数。
③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 ④两个质数的和一定是偶数。
A.1 B. 2 C. 3 D.4
3. 下面a、b、c、d 四个数中,( )是3 的倍数。
A. a=3×100+4×10+1 B. b=2×1000+2×100+3×10+6
C. c=5×99+6×9+(5+6) D. d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7)
4.运动会上每个班的学生都要参加入场式和团体操表演。五(1)班入场队列如右图，表演团体操时出现了下面几个队列，( )可能是五(1)班的。
（三）按要求完成练习。
1.把下列各数填入相应的框里。
0 1 0.9 13 26
33 51 52 71 91
2.五(1)班学习小组开展沉浸版“因数和倍数”探案游戏。
(1)在案发现场，“警察”发现以下两件物品，成功破译出密码( )，找到线索。
( )2)问讯“嫌疑人”时，小锦、小明两个“嫌疑人”为了证明自己没有作案的时间，都告知“警察”自己当时正在靶场打靶。小锦说：“我当时打中4枪，得了27分。”小明说：“我当时打中3枪，刚好是连续的3个区域，得了21分。”“警察”一听，立马逮捕了小锦。你知道为什么吗？你知道小明打中的是哪三个区域吗？
3.
先观察上面这组数，在括号里填上合适的数，再完成下面各题。
(1)这组数的规律是从第三个数开始，每一个数都 。
(2)观察这组数的奇偶变化规律，可以发现： 。
(3)这组数的前100个数中，有( )个奇数，( )个偶数。
（四）解决问题。
1.(易错题)为方便顾客上下车，机场计划用48m长的移动护栏围出一个长方形的网约车临时停车区。已知停车区的长和宽都是整米数，而且数值都是质数。停车区的长和宽可能是多少？面积最大是多少？
2.开心果在唐代由波斯(伊朗)传入我国，距今已有1300年历史。妈妈去超市买了1500g开心果，让小明猜猜每斤(500g)开心果的价钱。小明猜不出来，请你帮帮他。
3.明明用40根同样的小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边形需要四根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己还剩下13根小棒。他说得对吗？为什么？
单元训练参考答案
（一）1. 6 12 12 6
解析 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。注意：前提是在“整数除法”中。
2. 8,16,32,64
3.示例：2 只有2是质数
解析 本题是个开放题，有多种答案，例如：
选择2，因为只有2是质数。
选择6，因为只有6 是3 的倍数。
选择25，因为只有 25 是奇数( )或5 的倍数)。
4. 1875
解析 第一步 根据5 的倍数特征可知，个位上可填0或5。
第二步 根据3的倍数特征,在1□70 和 1□75的百位上依次填9，8，7，…，0，找到使各位上的数的和是3 的倍数的最大数字，分别为7 和8。
第三步 比较可得18751770。
5. 531 32
解析 23是一个质数，故结果为由于只知道结果是66,所以让 A +2 和2A+2这两个式子分别等于66，再分别推算出A，看A是否符合各自运算的条件即可。
当时，A=8，不是质数，不符合。
当2A+2=66时,A=32,是合数,符合。
6.36 36 的因数比40的因数多，能变换更多队形(表述合理即可)
解析 注意：题干中要求队形更多变。
36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,能变换5种队形。
40=1×40=2×20=4×10=5×8,只能变换4种队形。
（二）1. D
解析 A、B、C选项都是正确的，分析过程如下。
D选项错误，当a、b、c都是奇数时，奇数×奇—数×奇数=奇数。
2. C
解析①正确，根据能不能被2 整除，可将自然数分为奇数和偶数。
②正确，9的因数中有3，所以9 的倍数一定是3的倍数。
③正确，当一个数除以1时，得到的商就是它的最大因数，即它本身；当一个数乘1时，得到的积就是它的最小倍数，即它本身。
④错误，除2外，所有质数都是奇数，当2 与其他任何一个质数相加时，结果都是奇数。
3. D
解析 本题考查3的倍数特征。
根据数的组成,a、b 分别为 341 和 2236。3+4+1=8,2+2+3+6=13,8和13都不是3的倍数，所以a，b都不是3的倍数。
如图,c 不是3 的倍数,d 是 3 的倍数。
4.D
解析题图中，有1名学生单独站一列，其余学生2人站一列，说明五(1)班的总人数是奇数。选项中的学生人数分别为 30，36，30，23，其中只有 D选项的23是奇数。
（三）1.
解析本题需要注意的是，奇数、偶数、质数、合数研究的都是自然数，不包括小数。
2. (1)2951
解析本题考查学生对特殊数的了解。
既是偶数又是质数的数是2。
既是奇数又是合数的一位数是9。
最小的合数是4，比最小的合数大1的数是5。
既不是质数也不是合数的非零自然数是1。
(2)答：因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
解析从题图可知，靶上的分数都是奇数。
小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，所以不可能得27分。
3个连续奇数的和是中间数的3倍，21÷3=7(分)，所以小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
3. 89 144
(1)等于它前面两个数的和
(2)奇数、奇数、偶数，这样三个一组，依次不断重复出现
(3)67 33
解析(1)这组数的规律是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，所以括号里的数是34+55=89,55+89=144。
(2)观察发现：奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……这样依次不断重复出现。
(3)100÷3=33(组)……1(个)，前100个数能分为33组，每组有2个奇数和1个偶数，最后余下的1个是奇数，所以奇数一共有33×2+1=67(个)，偶数一共有 33×1=33(个)。
（四）1.48÷2=24(m)
24=5+19=7+17=11+13
19×5=95(m ) 17×7=119()m )
13×11=143(m ) 14311995
答：停车区的长和宽可能是 19m和 5m，17m和 7m或13m和 11m。面积最大是143m 。
解析本题将找一个数的因数与长方形的周长结合。第一步 48m是长方形网约车临时停车区的周长，所以长+宽=48÷2=24(m)。
第二步 24=5+19=7+17=11+13，据此得出围成的停车区的长和宽的所有情况。
第三步分别进行计算后发现，当停车区的长和宽分别为13m和11m时，停车区的面积最大。
2.1500÷500=3，所以总价是3的倍数。
1+4=5，总价个位上的数可能是1，4，7。又因为个位上的数是 2的倍数，所以个位上的数是4。
144÷3=48(元)
答：每斤(500g)开心果的价钱是48元。
解析 1500g=3斤，每斤的价钱×3=总价，且每斤的价钱为整元数，所以总价是3的倍数，再根据个位上的数是2的倍数即可确定总价。
注意：根据2和3的倍数特征算出总价后，不要忘记求单价。
3.答：他说得不对。
无论搭几个四边形或几个六边形，用的小棒根数都是偶数，所以明明用的小棒总根数一定是偶数；原来有 40根小棒，是偶数根，偶数一偶数=偶数，所以剩下的小棒根数一定是偶数，而13是奇数。(理由合理即可)
解析偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数一偶数=偶数。利用两数的和、差、积的奇偶性来解答本题即可。

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