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3.长方体和正方体（讲义）
2025-2026学年五年级数学下册人教版
单元思维导图
经典案例
案例一 面积单位换算
常用面积单位间的换算：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
（1）8平方米＝（ ）平方分米
（2）560平方分米＝（ ）平方米
（3）3平方分米8平方厘米＝（ ）平方厘米
（4）5平方分米20平方厘米＝（ ）平方分米
（5）4.7平方分米＝（ ）平方厘米
（6）5.6平方米＝（ ）平方米 （ ）平方分米
解析：(1) 8 平方米 = ( ) 平方分米
答案：800
(2) 560 平方分米 = ( ) 平方米
答案：5.6
(3) 3 平方分米 8 平方厘米 = ( ) 平方厘米
3×100+8=308
答案：308
(4) 5 平方分米 20 平方厘米 = ( ) 平方分米
5+20÷100=5.2
答案：5.2
(5) 4.7 平方分米 = ( ) 平方厘米
答案：470
(6) 5.6 平方米 = ( ) 平方米 ( ) 平方分米
0.6×100=60
答案：5 平方米 60 平方分米
【学有所获】
通过例题让学生进一步深入理解面积单位的进率及换算，理清题意后认真计
算出准确的答案。
案例二 求棱长或总棱长
长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4
正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12
[单选题] 用一根长（ ）铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。
A.28厘米 B.126平方厘米 C.56厘米 D.90立方厘米
解析：
答案：C
【学有所获】
由铁丝围成立体图形的框架，铁丝的长度就是总棱长。
案例三 求长方体和正方体的表面积
长方体的表面积＝长×宽×2﹢长×高×2﹢宽×高×2
字母表示
长方体的表面积＝=（长×宽+长×高+高×宽）× 2
字母表示
正方体的表面积＝棱长×棱长×6 字母表示
一个正方体的总棱长是60厘米，它的表面积是多少平方厘米？
解析：已知正方体总棱长 = 60 cm正方体有 12 条棱，所以：
正方体表面积公式：
答案：150 平方厘米
【学有所获】
记住正方体的总棱长公式以及表面积公式，以及其联系应用。
案例四 长方体和正方体的表面积应用
长方体和正方体的表面积应用
1.一个游泳池长25米，宽8米，深1.6米，在池的四周和池底贴上瓷片，贴瓷片的面积共多少平方米？
【学有所获】
学会求无盖图形的表面积及掌握其方法。
2.一个实验室长12米，宽8米，高4米。要粉刷实验室的天花板和四面墙壁，除去门窗和黑板的面积30平方米，平均每平方米用石灰0.2千克，一共需要石灰多少千克？
解析：(1) 游泳池贴瓷片面积游泳池是长方体，无上盖（无水面），所以贴瓷片的是：
底面积：
四个侧面积：两个长边侧壁 ，
两个短边侧壁
答案：305.6 平方米
(2) 实验室粉刷面积粉刷天花板和四面墙，去掉门窗黑板 30 m ：
天花板面积：
四面墙面积：
总粉刷面积：
去掉门窗后：
用石灰量：
答案：45.2 千克
【学有所获】
学会求无盖图形的表面积、掌握其方法及生活中的应用。
三、单元训练
（一）、填一填。
1. 在 里填上“”“<”或“=”。
5.08L 5.08 m
一个正方体的表面积是54 m ，它每个面的面积是( )m ，这个正方体的棱长是( )m,体积是( )m 。
3.快递员常用“工”字封箱法来封住纸箱。如图，先沿纸箱中缝横向贴一条胶带，再于两端各贴一条纵向胶带，形成“工”字。用此法封住纸箱的上、下两面，大约需( )cm胶带。
4.如图，将三个相同的正方体木箱拼成一个长方体。拼成后，表面积减少了
( )m ，体积是( )m 。
（二）选一选。
1.如右图所示，小勺大约能装水( )。
A. 2 mL B. 20 mL
C. 200 mL D. 2 L
2.一个长方体，相交于同一顶点的3个面的面积分别是16m 、10m 、40m ，这个长方体的表面积是( )m 。
A. 66 B. 80
C. 132 D.无法确定
3.一个透明的长方体盒子中装满了棱长1 cm的小正方体，张老师拿出了一些小正方体当教具后，剩下部分如图。张老师拿走了( )个小正方体。
A. 61 B. 72
C. 73 D. 85
4.下面左图可能是( )的展开图。
5.一个容积为500mL的量杯中装有300 mL水。先放入4颗相同的小球，水未满，再放入1颗，水满溢出。1颗小球的体积范围是( )cm 。
A. 25~35 B. 35~40
C.40~50 D. 50~55
（三）丽丽要把右面的长方体展开图折成长方体。
1.如果 A 面在底面，那么( )面在上面。
2.用胶带沿棱将所有接缝处粘上，她至少还需要
( )cm的胶带。(可以先画一画需要粘上的边)
（四）解决问题。
1.小明家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3 dm，宽 2dm，高3dm，水深25cm。小明每次冲水时大、小两个按钮一起按，每次按完，水箱里的水会全部用完。小明每次冲马桶大约用水多少升
2.科学课上，同学们在探索“增加船的载质量”时发现：铝箔船的容积越大，船的载质量越大。小兰和小亮用边长为12cm的正方形铝箔纸做长方体铝箔船。如图，他们都先剪掉四个角上的小正方形，再折起粘好。谁做的铝箔船载质量大 (厚度忽略不计)
3.民间有“一杯子，一辈子”的说法。逢年过节，朋友间有的会互送杯子，正是借此表达对友谊长存的祝愿。小锦想给下图的杯子制作一个长方体包装盒，除前面用透明塑料膜外，其余各面都用纸板。她至少需要准备多少平方厘米的纸板
4.春晚舞台由304块升降台组成，可以迅速、多变组合。其中一块升降台原来完全露在外面，下降4m 后露在外面的部分变成一个正方体(如图)，露出的面积减少了16 m ，原来这块升降台的体积是多少
单元训练参考答案
（一） 1. < < =
2. 9 3 27
解析 正方体每个面的面积=正方体的表面积÷6=54÷6=9(m )。9=3×3,所以这个正方体的棱长是3m ，体积是：
3. 124
解析 横向胶带的长度等于长方体的长，纵向胶带的长度等于长方体的宽，总长度=长×2+宽×4=26×2+18×4=124(cm)。
4. 16 24
解析 较长的棱是由3条正方体的棱组成的，所以正方体的棱长为6÷3=2(m)。
表面积减少了4个面，即
体积不变,仍为2×2×2×3=24(m )。
（二）1. A
解析1mL=1cm ,手指尖的体积大约是1cm 。小勺装水部分大约是2个手指尖的大小，故选 A。
2. C
解析 长方体有 6个面，相对的面完全相同。相交于同一顶点的 3个面的面积之和恰好是长方体表面积的一半，如图。
所以这个长方体的表面积是(16+10+40)×2=132(m )。
3. A
解析 将不同行、列的小正方体挪成同行、列，如右图。
装满时，长、宽、高分别可放6个、4个、3个小正方体，一共装了6×4×3=72(个)小正方体。盒子中还剩下11个,所以拿走了72-11=61(个)。
4. C
5. C
解析 500-300=200(mL),200 mL=200 cm 。
水未满,说明4颗小球的体积<200 cm 。
水满溢出，说明5颗小球的体积200 cm 。
所以 1颗小球的体积<50cm 。
三、1. E
解析 解答本题时有两种方法。
方法一 以 A 面为底面进行折叠想象。
方法二 相对的面完全相同，E面和 A 面完全相同，所以 A 面在底面，E面就在上面。
2. 33 画图略。
解析 折成的长方体长8cm,宽3cm,高5cm。
方法一图1加粗部分即为已经粘上的部分，具体分析如下。
长方体有 4 条长 +4条宽+4条高
已经粘上 2 条长+0条宽+3条高
还需粘上 2 条长+4条宽+1条高
方法二图2中虚线是还需粘上的接缝处(相同字母对应的是同一个接缝处)，共有2条长，4条宽和1条高。
四、1. 25 cm=2.5 dm 3×2×2.5=15(dm )
答：小明每次冲马桶大约用水 15 L。
解析 先统一长度单位，再根据长方体的体积公式求出水的体积(注意水深为 25 cm，而不是3 dm)，最后将体积单位换算成容积单位。
2. 小兰:(12-3×2)×(12-3×2)×3=108(cm )
小亮:(12-1×2)×(12-1×2)×1=100(cm )
108100
答：小兰做的铝箔船载质量大。
解析 由题意得，谁做的铝箔船容积大，载质量就大。再根据右面的示意图可得出下面的关系式。
3. 5×5×2+5×6×3=140(cm )
答：她至少需要准备140 cm 的纸板。
解析 第一步 根据从上面看的图形可知，包装盒的长和宽至少为5cm 。
第二步 根据从前面看的图形可知，包装盒的高至少为6 cm。
第三步 前面使用透明塑料膜，所需纸板的面积只需算除去前面外另外5个面的面积之和即可。
4. 16÷4=4(m) 4÷4=1(m)
1×1×(1+4)=5(m )
答：原来这块升降台的体积是 5 m 。
解析 升降台下降后上底面还是上底面，下底面本身就不会露出，减少的是侧面(前、后、左、右4个面)的面积，将减少的侧面展开后得到下图。
第一步 图形的长=底面周长=16÷4=4(m)
第二步 下降后为正方体，棱长=4÷4=1(m)。
第三步 所以原来升降台的长=宽=1m，高=(1+4)m，最后计算出原来升降台的体积即可。

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