资源简介

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《有余数的除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《有余数的除法》单元属于“数与代数”领域中“数的运算”的重要内容。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段的“内容要求”中明确指出：“探索并掌握多位数的除法；能计算两位数除以一位数。在具体情境中，理解有余数除法的意义，知道余数一定比除数小。”在“学业要求”中强调：“能熟练计算除法，理解除法竖式中每一步的含义。能运用除法解决简单的实际问题，并能解释结果的合理性。”本单元承载着从“等分除”到“包含除”、从整除到有余数的认知拓展，是发展学生数感、运算能力和模型意识的关键载体。
（二）单元教材内容分析
（一）单元内容定位
本单元是人教版二年级下册“有余数的除法”的起始单元，在小学数学学习中具有承上启下的枢纽地位。它承接二年级上册“表内除法”中“正好分完”的整除概念，首次系统地引出“平均分后有剩余”这一新的数学现象，正式建立“余数”概念。同时，它也为后续学习除法竖式的完整形式、理解分数与除法的关系、解决更复杂的多步实际问题，乃至中高年级学习小数除法、分数运算奠定了重要的算理基础和思维模型。
（二）教材内容结构
本单元内容按照“概念建立→技能形成→问题解决→综合应用”的逻辑线索螺旋上升编排：
1.有余数除法的认识及余数和除数的关系
通过分小棒、圈物品等直观操作，从“正好分完”过渡到“有剩余”，引导学生建立余数概念，并用横式表示，核心是理解“余数<除数”的规律。
2.用竖式计算有余数的除法
在横式基础上引入除法竖式，将具体的分物过程抽象为规范的符号运算，重点理解竖式中各部分的含义及“被除数=除数×商+余数”的数量关系，并初步学习试商方法。
3.解决问题1（进一法与去尾法）
将有余数除法置于真实生活情境（如租船、装盒、购物），引导学生根据问题实际意义，灵活选择“进一法”或“去尾法”处理余数，培养具体问题具体分析的数学思维。
4.解决问题2（周期问题）
引导学生发现图形、颜色等排列的周期规律，并运用有余数除法解决“第n个是什么”的问题，建立“总数÷每周期数=周期数……余数→余数对应周期内位置”的解题模型，实现从运算技能到数学建模的跨越。
（三）教材育人价值
本单元不仅教授有余数除法的知识和技能，更蕴含丰富的育人价值。通过从生活情境中抽象数学问题、用数学工具（除法算式、竖式）解决问题、再回归生活解释结果的全过程，培养学生的应用意识和模型观念。在探究“余数和除数关系”、灵活选择“进一法”与“去尾法”、发现并运用规律解决周期问题的过程中，发展学生的推理意识和创新意识。同时，在合作探究、动手操作中，培养学生的合作精神和严谨求实的科学态度。
（三）学生认知情况
（一）已有基础
经验基础：学生在生活中有大量“平均分物”的经验（如分水果、分小组），对“分不完”“有剩下”的现象有直观感受。具备一定的动手操作（如摆小棒、圈一圈）和合作交流能力。
知识基础：已熟练掌握表内乘法和表内除法（整除），理解“平均分”的含义，能用乘法口诀快速求商。能进行简单的加减法竖式计算，对竖式格式有初步感知。
（二）认知难点
概念理解难点：从“正好分完”到“有剩余”的认知跨越，理解“余数”是“平均分后剩余且不够再分”的部分，而非任意剩下的数。
书写与表达难点：有余数除法算式的规范读写（尤其是商和余数的单位），以及除法竖式的规范书写和各部分含义的理解。
规律应用难点：深刻理解并牢固掌握“余数一定比除数小”的规律；在解决问题时，能准确判断何时需“进一”，何时需“去尾”。
模型建立难点：将周期排列的规律转化为“总数÷每周期数”的除法模型，并理解“余数”与“周期内位置”的对应关系。
二、单元目标拟定
（一）知识与技能目标
1.理解有余数除法的含义，能正确读写有余数的除法算式，知道算式中各部分的名称。
2.掌握“余数<除数”的规律，并能根据此规律判断除法计算的正误。
3.掌握有余数除法的竖式计算方法，理解竖式中每一步的含义。
4.能运用有余数的除法解决简单的实际问题，并能根据实际情况对结果进行合理处理（进一法、去尾法）。
5.能运用有余数的除法解决简单的周期排列问题。
（二）数学思考目标
1.经历从具体操作到抽象算式的过程，发展抽象思维和符号意识。
2.通过观察、比较、归纳等活动，发现并理解“余数<除数”的规律，培养归纳推理能力。
3.在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的联系，初步形成根据具体情境灵活选择策略的模型意识。
（三）问题解决目标
1.能运用有余数的除法解决生活中简单的“平均分后有剩余”的实际问题。
2.能在合作探究中，尝试用画图、列表、计算等多种策略解决问题，并表达思考过程。
3.能对解决问题的过程和结果进行回顾与检验。
（四）情感态度目标
1.在动手操作和探索规律的过程中，体验数学学习的乐趣和成功感。
2.感受数学与日常生活的密切联系，体会数学的应用价值。
3.养成认真计算、细心检验的良好学习习惯。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解有余数除法的意义，掌握“余数<除数”的规律。
2.掌握有余数除法的竖式计算方法。
3.能运用有余数的除法解决简单的实际问题（包括进一法、去尾法及简单周期问题）。（二）教学难点
1.理解“余数”概念的本质及“余数<除数”的道理。
2.理解除法竖式的算理，掌握试商的方法。
3.根据实际问题情境，灵活选择“进一法”或“去尾法”处理结果。
4.将周期问题抽象为除法模型，并理解余数与答案的对应关系。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。依据《2022版义务教育数学课程标准》，核心领域对应要求：
1.数与代数领域：本单元是“数的运算”的核心内容，重点发展学生的数感和运算能力。通过理解余数意义、掌握计算方法、解决实际问题，让学生体会到除法运算的一致性和程序性。
2.综合与实践领域：单元中的解决问题环节，尤其是“进一法”“去尾法”和“周期问题”，体现了数学知识的综合应用。引导学生经历“发现问题-建立模型-求解验证-解释应用”的完整过程，积累数学活动经验，培养应用意识和创新意识。
3.核心素养指向：
重点发展数感（理解余数的相对大小，估算商的范围。）、运算能力、模型观念（建立“平均分有剩余→有余数除法”“周期排列→总数÷周期数”等数学模型。），同时渗透推理意识（在探究余数与除数关系、寻找试商策略、判断问题解法时进行合情推理）和应用意识。（将有余数除法知识应用于包装、租船、购物、找规律等现实情境。）
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.情境引入，联系生活：教材从学生熟悉的“分物品”“摆图形”等生活或游戏情境引入，激发兴趣，让数学概念自然生长于经验之中。
2.操作感知，建立表象：大量设计“摆一摆”“圈一圈”“画一画”等操作活动，让学生在动手实践中积累丰富的感性经验，为抽象概念和算法提供支撑。
3.循序渐进，突破难点：从横式到竖式，从计算到应用，从“进一/去尾”到“周期问题”，编排层次清晰，逐步引导学生思维向纵深发展。
4.注重说理，培养思维：教材常设“为什么？”“你是怎么想的？”等问题，鼓励学生用数学语言表达思考过程，在说理中深化理解，培养逻辑思维能力。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 有余数的除法 认识有余数的除法以及余数和除数的关系 1
计算有余数的除法 1
解决问题 2
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
1.1《认识有余数的除法以及余数和除数的关系》 目标： 结合具体分物情境，初步理解有余数除法的含义及“余数<除数”的规律。 探究1：分物游戏，感受“剩余”。 → 探究2：学习有余数除法的横式表示。 → 探究3：操作探究余数与除数的关系。 → 1. 能在分物情境中指出“剩余”的部分，并说出其意义。 2. 能正确列出有余数除法的横式，并读出算式。 3. 能通过操作发现并口头表述“余数比除数小”的规律，并能运用该规律进行简单判断。
1.2《计算有余数的除法》 目标： 掌握有余数除法竖式的计算方法，理解竖式的书写规范和各部分含义。 探究1：从横式到竖式，理解竖式含义。 → 探究2：竖式计算练习，掌握格式。 → 探究3：学习试商方法。 → 1. 能规范写出有余数除法的竖式，并说出商、乘积、余数每一步的意义。 2. 能正确计算简单有余数除法的竖式。 3. 在教师引导下，能说出试商时的思考过程（如：想几乘几最接近且小于被除数）。
1.3《解决问题3》 目标： 能运用有余数的除法，并依据情境合理选择“进一法”或“去尾法”解决简单的实际问题。 探究1：解决“至少需要多少容器”类问题（进一法）。 → 探究2：解决“最多可以买几个”类问题（去尾法）。 → 探究3：对比辨析，灵活选择。 → 1. 能正确列式解决租船、装盒等“进一法”问题，答案合理。 2. 能正确列式解决购物、裁剪等“去尾法”问题，答案合理。 3. 能根据问题情境，判断并说明该用哪种方法，理由恰当。
1.4《解决问题2》 目标： 能运用有余数的除法探索简单周期现象的规律，解决“第几个是什么”的问题。 探究1：观察发现周期规律。 → 探究2：用有余数除法解决简单周期问题。 → 探究3：总结方法，解决变式问题。 → 1. 能准确找出给定排列的周期规律和周期长度。 2. 能正确列式（有余数除法）解决指定位置的图形/颜色问题。 3. 能解释算式中余数与答案的对应关系。
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有余数除法的认识及余数和除数的关系教学设计
学科 数学 年级 二年级 课型 新授课 单元 第一单元
课题 有余数除法的认识及余数和除数的关系 课时 第1课时
教材分析 本课属于“数与代数”领域，在“数与代数”领域的“数的运算”部分明确指出，要引导学生理解除法的意义，能运用除法解决简单的实际问题，并初步体会除法与减法的联系。本课作为“有余数的除法”的起始课，起着承上启下的作用：一方面承接二年级上册表内除法的学习（“正好分完”），另一方面为后续学习除法竖式、解决问题以及后续年级的分数、小数等知识奠定基础。教材通过分小棒、圈物品等直观操作，从“平均分后正好分完”过渡到“平均分后有剩余”，引导学生逐步建立“余数”概念，理解“余数<除数”的关系，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，符合小学生的思维发展特点。
学情分析 二年级学生以具体形象思维为主，抽象思维能力正在逐步发展。他们活泼好动，好奇心强，喜欢动手操作和参与游戏活动。在知识储备上，学生已经掌握了表内除法，理解了“平均分”的含义，能够熟练计算“正好分完”的除法算式。但从实际问题中发现，学生对“平均分后还有剩余”的情况缺乏系统认知，容易将“余数”理解为“剩下的数”而忽略其“不够再分”的本质。同时，学生在表述和书写有余数的除法算式时，容易出现单位混淆、读法错误等问题。结合《课标》中强调的“数感”与“运算能力”的培养，本课需要通过丰富的直观活动和思维引导，帮助学生建立正确的“余数”概念，发展初步的数学模型意识。
核心素养目标 1.认识余数，理解有余数除法的含义，掌握有余数除法的读写方法，理解“余数＜除数”的关系。2.通过动手操作、观察比较、合作交流等活动，经历有余数除法概念的建构过程，发展数感、运算能力和模型意识。3.在解决实际问题的过程中感受数学与生活的联系，体验探究的乐趣，增强学好数学的信心。
教学重点 理解余数的含义，掌握有余数除法的读写方法。
教学难点 理解“余数＜除数”的关系，并能初步应用。
教学准备 多媒体课件、小棒若干、实物图片、练习单。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、导（创境导课，引出问题） 师：同学们，今天上课前我们先来玩 “抱一抱” 游戏！请 10 名同学手拉手围成圈慢慢转，老师喊数字 3，就 3 人拥抱在一起，注意安全，不慌不乱哦！准备，转 ——3！师：游戏结束啦！大家发现了什么？所有人都刚好组队了吗？师：剩下的同学为什么不能再组一组？师：生活中平均分东西常出现 “有剩余” 的情况，今天我们就学习 “有余数的除法”。 听指令进行游戏生：没有全部组队，剩 1 人！生：3 人一组，剩 1 人不够 3 个，不能再组了。 通过趣味游戏创设生活化情境，让学生直观感受 “平均分有剩余” 的现象，自然引出课题，激发学习积极性。
二、联（新旧联系，找出重点） 师：我们之前学过平均分正好分完的除法，下面这个问题谁能解决？8 根小棒，每 4 根摆 1 个正方形，能摆几个？怎么列算式？师：像这样的表内除法，它的特点是什么？追问：如果增加 1 根小棒变成 9 根，还是每 4 根摆 1 个正方形，能正好摆完吗？请同桌动手摆一摆。 生：能摆 2 个。算式是 8÷4=2（个）生：正好分完，没有剩余。 复习表内除法的 “正好分完”，建立新旧知识联系，通过增加小棒数量制造认知冲突，初步感知 “有剩余” 的新情况。
三、探（提出设想，探究证实） 探究一：认识余数和有余数的除法师巡视指导，并了解交流情况，然后提问：谁来分享？师：这个“还剩1根”在算式里怎么写？看老师写：9÷4=2（个）……1（根）。这个“1”叫做？师：谁能来说说余数表示什么？师总结：是的，如果我们将一些物品平均分，出现了两种情况：一种是正好分完，没有剩余；一种是分完后还有剩余，但不够再分，剩下的部分就是有余数除法中的余数。师：你知道为什么余数“1”后面的单位是“根”吗？提示：可以联系余数表示的意义思考。 师总结：没错，这里的“1”是剩下没有分完的小棒，所以单位是“根”，我们要知道余数是被除数平均分后剩下的数量，所以它的单位名称应和被除数的单位名称相同。师：谁能来试着读一读这个算式？ 同桌讨论。全班展示分享：9根小棒，（操作）摆2个，还剩1根。生：余数。生：余数就是平均分后剩余不够再分的部分。生：因为剩下的是1根小棒。生：9除以4等于2余1。 从整除过渡到有余数除法，通过操作对比，帮助学生初步建立“余数”概念，明确其单位与读写方法。
四、展（展示结果，解决问题） 探究二：掌握余数和除数的关系。师：现在我们用一些小棒摆三角形，不知道具体总数，摆完三角形后可能剩几根？小组合作摆一摆并思考：每 3 根摆 1 个，能摆几个？有没有剩余？剩几根？怎么列算式？提示：边摆边记录。师巡视指导，并了解交流情况，然后提问：谁来分享？ 师：观察这些算式，比较余数和除数，你有什么发现？师：为什么余数不能等于或大于3？ 师：那你能试着总结一下余数和除数的关系吗？师：太棒了！所以我们说：余数＜除数。 学生合作操作并记录。全班分享：6÷3=2（个）7÷3=2（个）……1（根）8÷3=2（个）……2（根）9÷3=3（个）10÷3=3（个）……1（根）生总结发现：余数都是1或2，都比3小。生结合摆小棒过程回答：如果余数是3，就还能再摆一个三角形，说明没分完。 生：余数＜除数。 通过多组实例操作与观察，引导学生自主发现“余数＜除数”的规律，培养探究与归纳能力。
五、建（总结认知，建构模型） 师：谁能来试着总结一下本节课的重点内容？师：大家说得很全面！下面我们来做一做练习。 生1：平均分后仍被剩下的部分就是余数，它的单位和被除数相同。生2：有余数除法的算式读法是：几除以几等于几余几。生3：余数要比除数小 梳理知识脉络，将零散认知系统化、结构化，建构有余数除法的完整认知模型，强化重点知识记忆，培养归纳概括能力。
六、提（实践应用，评价提升） 1.圈一圈，填一填。（1）17个 ，4个4个地圈 圈了（ ）组，剩下（ ）个。 （2）19个 ，4个4个地圈，圈了（ ）组， 剩下（ ）个。 2.圈一圈，填一填，画一画。（1）9支铅笔，每人分2支，能分给（ ）人，还剩（ ）支。9÷2=□（人）…… □（支） （2）9支铅笔平均分给4人。把分的结果画出来。 每人分（ ）支，还剩（ ）支。 □○□=□（支）……□（支）3.用一些小棒摆五边形，可能剩几根小棒？4.有一些巧克力，平均装在6个盒子里，如果有剩余，最多剩几颗？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 师：本节课我们一起走进了 “有余数的除法” 的世界！我们发现了生活中 “平均分有剩余” 的现象，认识了余数这个新朋友，还发现了一个特别关键的规律 —— 余数一定比除数小！这个规律能帮我们解决很多问题。希望大家课后能带着今天学到的知识，去观察生活中更多有余数除法的例子，用它解决身边的小问题。 预设：我知道了余数表示平均分后剩余的部分。 预设： 余数的单位和被除数是一样的。 预设：我还知道了余数要比除数小。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 认识有余数的除法 9÷4=2（个）……1（根） 6÷3=2（个） 余数 7÷3=2（个）……1（根） 读作：9除以4等于2余1 8÷3=2（个）……2（根） 余数：平均分后剩余的部分。 9÷3=3（个） 10÷3=3（个）……1（根） 余数＜除数 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标1.圈一圈，填一填有14个颗 ，每4颗分一份。可以分（ ）份，还剩（ ）颗。 算式：□÷□=□（份）……□（颗）2.看图列式△△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△ 算式：（ ）÷（ ）=（ ）（组）……（ ）（个）3.连一连○○○ ○○○ ○○○ ○ 10÷4=2……2○○○○ ○○○○ ○○ 10÷3=3……1能力提升1.看图形，填数字。有23个 ，每盘放5个。 （1）可以放（ ）盘；（2）还剩（ ）个；（3）余数（ ）比除数（ ）小。2.（1）一共有25颗糖果，分成若干袋，每袋6颗，最多能分（ ）袋。 （2）如果有一堆糖果，每5颗放一袋，余数可能是（ ），最大是（ ）。3.哪个算式错了？圈出来并说明。□□□ □□□ □□□ □□□ □□□ → 15÷4=3……3○○○○○ ○○○○○ ○○○○○ ○○ → 17÷3=5……2△△△ △△△ △△△ △△△ △△△ △△△ △△ → 20÷6=3……2拓展迁移1.丽丽正在用25支蜡烛摆图形，每6支蜡烛可以摆成一个爱心图案（1）可以摆（ ）个爱心图案（2）还剩（ ）支蜡烛（3）如果再拿来（ ）支蜡烛，就能多摆一个爱心（和家长一起用积木或棋子摆一摆）2.有30个小朋友排队，每排站7人（1）能站满（ ）排（2）最后一排有（ ）人（3）如果想让队伍更整齐，可以怎样调整？（用玩具小人或纸片和家长一起摆一摆。）
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