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19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
学习目标
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
复习导入
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
新知探究
一、二次根式的双重非负性
1.已知实数m，n满足|m+3|+ =0，则m=_____，n=_____.
2.已知(x 2)2+ =0，则 xy 的值为_____.
3
1
新知探究
3.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b= +
+ 4，则此三角形的周长为 ．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
10或11
练一练：
正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为a，
即 .
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
新知探究
二、 =a（a≥0）
活动2 验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0
0.5
3
…
0
…
( )2
0
0.5
3
…
算术平方根
平方运算
新知探究
根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：
=____；
=____；
=____；
=____.
3
0.5
0
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
新知探究
例1 计算：
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
新知探究
计算：
解:
新知探究
练一练：
填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
0
…
a2
4
0.01
0
…
2
0.1
0
…
平方运算
算术平方根
观察两者有什么关系？
新知探究
三、
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
2
0.1
3
…
a2
4
0.01
3
…
2
0.1
3
…
平方运算
算术平方根
新知探究
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
新知探究
归纳总结
例2 化简：
（1） ； （2） .
新知探究
解：
练一练：
新知探究
解:
化简：
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
新知探究
例3 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
a
b
新知探究
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
注意
新知探究
二次根式
性质
＝a (a ≥0).
拓展性质
|a|（a为全体实数）
课堂小结
课堂训练
1.化简 的结果是( )
A.±4 B.±2
C.4 D.﹣4
2.当1A.3 B. 3
C.1 D. 1
C
D
课堂训练
B
4.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
10
3.若 成立，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.任意实数
5
2.7

5.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
=_____.
2
课堂训练第2课时 二次根式的性质
1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
一、复习导入
课件展示问题，并请同学们回答下列问题的答案.
问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
答：前者x为全体实数；后者x为正数和0.
问题2 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
答： 当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.
二、新知探究
（一）二次根式的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.
练一练：
1.已知实数m，n满足|m+3|+=0，则m=_-3____，n=__1___.
2.已知(x 2)2+ =0，则 xy 的值为_____.
3.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++ 4，则此三角形的周长为 10或11 ．
[归纳]若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
（二）（） =a（a≥0）
[课件展示]活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
正方形的边长为，
用边长表示正方形的面积为（） ，
又∵面积为a，即（） =a.
[提出问题]这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
[课件展示]活动2 验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
[交流讨论]学生交流讨论，直接写出下列问题的结果：
[归纳结论]一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（） =a（a≥0）.
[例题讲解]【例1】计算：
练一练：
计算：
[交流讨论]课件展示下列问题，学生思考后回答：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（三）=a（a≥0）
[课件展示]填一填，你发现了什么？
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
[交流讨论]学生根据上面的结论交流讨论，想一想的值是什么？
[归纳总结]任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即
[例题讲解]【例2】化简：
练一练：
化简：
[议一议]如何区别（） 与？
[课件展示]
[例题讲解]【例3】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.
【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．
【注意】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.化简的结果是（　C　）
A.±4 B.±2
C.4 D.﹣4
2.当1A.3 B. 3
C.1 D. 1
3.若成立，则x的取值范围是（　B　）
A.x≤2 B.x≥2
C.0≤≤2 D.任意实数
4.化简：
5.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
= 2 .
五、布置作业
完成对应练习。
1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功.

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