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19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
学习目标
1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.
2.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
（难点）
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简后被开方数相同
新课导入
探索新知
前面我们已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考.
a
+
a
a
a
a
=
a
a
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得
当a= 时，分别代入左右得
……
你发现了什么？
新知探究
一、被开方数相同的二次根式
由特殊到一般依次往下推导，易知二次根式的被开方数相同时可以合并. 继续观察下面的过程：
a
+
b
=
2a+3b
a
b
b
当a= ，b= 时，得2a+3b= .
这两个二次根式可以合并吗？
因为 ，由前面知两者可以合并.
你又有什么发现？
新知探究
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式（同类二次根式）可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数（式）不变，如：
新知探究
归纳总结
解析：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后
找出被开方数不是3的二次根式．即
例1 下列根式中，不能与 合并的是(　　)
A.　　 　B.　 　　C.　　 　D.
C
新知探究
1.若 和最简二次根式 可以合并，则m=______.
3
2.下列各式中，能与 合并的是（ ）
D
A. B. C. D.
3.下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）
A. B. C. D.
D
新知探究
练一练：
如何计算 ？
问题：所列算式能直接进行加法运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试（说出每步运算的依据）.
解：
（化简）
（利用分配律合并）
新知探究
思考
二、二次根式的加法与减法
化为最简二次根式
利用分配律合并
整式加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
新知探究
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
二次根式的加法与减法：
二次根式加法与减法的运算步骤：
（1）化——将二次根式化为最简二次根式；
（2）找——找出被开方数相同的二次根式；
（3）并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化二找三合并”
新知探究
归纳总结
例2 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）
（2）
（3）
新知探究
例3 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
（2）
有括号，先去括号.
新知探究
例4 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
S=8dm2
S=18dm2
新知探究
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
因为 <5，所以这块木板够宽.
解：大正方形木板的边长为 dm.
两个正方形木板的边长的和为( ) dm，而
由 <1.5可知 <7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
新知探究
1.下列计算是否正确？为什么？
(1)
(2)
(3)
解：(1) 错误；
(2) 错误；
(3) 正确.
练一练：
新知探究
解：
2.计算：
新知探究
二次根式加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
课堂小结
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
C
3. 与最简二次根式 能合并，则m=_____.
1
课堂训练
2.下列计算正确的是(　　)
A. B．
C． D.
D
4.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为__________.
5.计算:
课堂训练
解：
6.计算:
课堂训练
解：
课堂训练19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加法与减法
1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.
2.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算. （难点）
一、复习导入
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
二、新知探究
（一）被开方数相同的二次根式
[课件展示]前面我们已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考.
由上图，易得2a+3a=5a.
由特殊到一般依次往下推导，易知二次根式的被开方数相同时可以合并. 继续观察下面的过程：
[归纳总结]将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式（同类二次根式）可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数（式）不变，如：
[例题讲解]【例1】下列根式中，不能与合并的是(　C　)
练一练：
1.若和最简二次根式可以合并，则m=___3___.
2.下列各式中，能与合并的是(　D　)
3.下列各组二次根式中，化简后能合并的是(　D　)
（二）二次根式的加法与减法
思考 如何计算
[提出问题]所列算式能直接进行加法运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试（说出每步运算的依据）.
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
[归纳总结]二次根式的加法与减法：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
二次根式加法与减法的运算步骤：
（1）化——将二次根式化为最简二次根式；
（2）找——找出被开方数相同的二次根式；
（3）并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化二找三合并”
[例题讲解]【例2】计算：
【例3】计算：
【例4】现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
解：大正方形木板的边长为dm.
因为<5，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为(+) dm，而+=.
由<1.5可知5<7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
练一练：
1.下列计算是否正确？为什么？
解：(1) 错误；(2) 错误；(3) 正确.
2.计算：
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（ C ）
2.下列计算正确的是(　D　)
3.与最简二次根式 能合并，则m=___1__.
.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为__________.
5.计算:
6.计算:
五、布置作业
完成对应练习。
1．复习旧知，类比新知．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则．
2．两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神．

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