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20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
学习目标
A
B
C
① 有一个直角，∠C = 90°.
② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°.
a
b
c
说一说直角三角形有哪些性质？
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
复习导入
勾
股
弦
3
4
5
并指出“两矩共长二十有五”.
在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，
新知探究
一、 勾股定理的证明
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
三个正方形面积的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方
其他直角三角形的三边
是否也满足上述数量关系？
勾
股
弦
3
4
5
S2=16
S3=25
S1=9
新知探究
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？
A3，B3，C3 呢？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
新知探究
面积 A1 面积 B1 面积 C1
面积 A2 面积 B2 面积 C2
面积 A3 面积 B3 面积 C3
1
4
5
4
9
13
9
25
34
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
SA+SB=SC
新知探究
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
由上面的探究，我们猜想：
a
b
c
右边的动图形象的说明了上述猜想的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
新知探究
利用拼图来验证猜想：
1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.
2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！
a
b
c
新知探究
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
新知探究
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
新知探究
a2 + b2
c2
=
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
新知探究
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
此结论被称为“勾股定理”.
新知探究
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
新知探究
归纳总结
勾股定理
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
新知探究
新知探究
二、 利用勾股定理进行计算
已知两直角边长，求斜边长.
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
新知探究
勾股定理
内容
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 .
证法
变式
多种：截、割、补
a2 = c2－b2
b2 = c2－a2
B
A
C
b
a
c
课堂小结
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
课堂训练
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
课堂训练
3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，则b= .
(2)已知a=5，b=12，则c= .
(3)已知c=17，b=15，则a= .
8
13
8
4. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
课堂训练
5.求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理，得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理，得
y2+ 144=169，
解得 y=5
课堂训练
（1） （2）
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ， ∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．
课堂训练
7. 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形
外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是______ ；(用图中字母表示)
24
S1＋S2＝S3
课堂训练
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
解：设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，
大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝ ×3×4＝6.
课堂训练20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）
一、复习导入
课件展示问题，并请同学们说一说直角三角形有哪些性质？
答：①有一个直角，∠C=90°.
②两个角互余，∠A+∠B=90°.
请同学们思考：对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
二、新知探究
（一）勾股定理的证明
思考：(多媒体演示)在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”.
所得正方形的面积分别为 9 ， 16 ， 25 .
三个正方形面积的数量关系是： 9+16=25 .
这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 .
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？
[提示]以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
通过计算完成下表：
面积A1 面积B1 面积C1
1 4 5
面积A2 面积B2 面积C2
4 9 13
面积A3 面积B3 面积C3
9 25 34
思考：正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
答：SA+SB=SC.
由上面的探究，我们猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
(多媒体演示)下边的动图形象的说明了上述猜想的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
小组合作探究，用拼图法来验证猜想：
准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.让学生试着用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形.
(多媒体演示)赵爽弦图——这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
(多媒体演示)赵爽拼图证明法
师：在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.此结论被称为“勾股定理”.
[归纳总结]勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
（二）利用勾股定理进行计算
[例题讲解]
【例1】如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=
AC2+BC2=82+62=100，所以AB=10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2=DF2
-EF2=172-152=64，所以DE=8.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列说法中,正确的是（ C ）
A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　C　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
3.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，则b= 8 . (2)已知a=5，b=12，则c= 13 .
(3)已知c=17，b=15，则a= 8 .
4.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 36cm2 .
5.求下列图中未知数x、y的值：
解：（1）由勾股定理，得81+144=x2，解得x=15.
（2）由勾股定理，得y2+144=169，解得y=5.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，
∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= =．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD==， ∴BC=BD+CD=1+，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++3.
7.观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为___24___；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是 S1＋S2＝S3___；(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
解：设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S△，则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝×3×4＝6.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课以“情境导入一从特殊到一般一假设猜想一拼图验证”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果.勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)人手，师生共同探究，从而突破这一难点.

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