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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理及其
逆定理的综合应用
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的
数学问题.（难点）
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
情境导入
路程 = 速度×时间
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
【思考】1.已知哪些条件？
2.需要解决的问题是什么？
也就是求∠2 的度数.
∠2 = 两艘轮船的航向所成的角－45°
探索新知
（一）勾股定理的逆定理的实际应用
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
解：根据题意，
PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，
QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
探索新知
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
5
3
探索新知
（二）勾股定理及其逆定理的综合应用
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
5
3
在Rt△ABC 中，
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16.
所以 AC = 4.
在△ACD 中，
AC2 + AD2 =42 + ，
CD2 =，
所以 AC2 + AD2 = CD2.
因此△ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
应用勾股定理
应用勾股定理的逆定理
探索新知
如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，点 E，F 均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接 AE，AF，求 ∠EAF 的度数．
解:如图，连接 EF，
则 AE＝ ＝ ，EF＝ ＝ ，
AF ＝ ＝ ，
∴AE2 + EF2 ＝()2 + ()2 ＝ 10 ＝()2＝AF2．
∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF ＝ 90°.
又 AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA ＝45°.
A
B
D
C
E
F
练一练
探索新知
勾股定理及其逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆
定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
课堂小结
1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 °方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
课堂训练
2.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
课堂训练
3.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，
∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
课堂训练
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
课堂训练
5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
课堂训练
解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里)，
∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD=50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
课堂训练第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的
数学问题.（难点）
一、情境导入
（多媒体演示）播放《600多年前郑和乘中国古船远航西洋》片段.
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
二、新知探究
（一）勾股定理的逆定理的实际应用
[例题讲解]
例2 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ=16 ×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1= 45°.
因此 ∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
（二）勾股定理及其逆定理的综合应用
[例题讲解]
例3 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD=，DC =.如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD.
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2=52－32=16.
所以AC= 4.
在△ACD中，
所以AC2+AD2=CD2.
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
[练一练]
如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，求∠EAF的度数．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 60 °方向.
2.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
3.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，
∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意，得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里)，
∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD=50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
五、布置作业
完成对应练习。
本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题.难点在于让学生将勾股定理及其逆定理结合起来并灵活运用，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.

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