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23.2 一次函数的图象和性质
第2课时 一次函数的图象和性质
学习目标
1.会用两点法画一次函数的图象；
2.能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性；（重点）
3.能灵活运用一次函数的图象与性质解决数学问题．（难点）
形如 的函数，叫作正比例函数；
形如 的函数，叫作一次函数；
当b=0时，y=kx+b就变成了 ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
正比例函数的图象是一条经过 点的 .
y=kx（k是常数，k≠0）
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
y=kx
原
直线
复习导入
正比例函数
解析式 y =kx（k≠0）
性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
一次函数
解析式 y =kx+b（k≠0）
针对函数 y =kx+b，要研究什么？怎样研究？
图象：经过原点和
（1，k）的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
？
？
复习导入
　　研究函数 y =kx+b（k≠0）的图象和性质：
　　研究方法：
　　画图象→观察图象→变量（坐标）意义解释．
复习导入
2
-2
-4
-2
2
x
y
O
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y =-3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y =-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2
描点
连线
列表
例1 画函数 y =-3x 和 y =-3x+1 的图象．
y =-3x+1
y =-3x
4
讲授新课
一、一次函数的图象
新知探究
比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（2）函数 y1=-3x 的图象经过 ，函数y2= -3x+1的图象与y轴交于点( )，即它可以看作由直线 y1=-3x
向 平移 个单位长度而得到.
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .
原点
0 ，1
上
1
一条直线
相同
探究
新知探究
做一做
(1)在同一直角坐标系画一次函数 y =6x与y =6x -5的图象．
(2)一次函数y =6x -5的图象与y轴交于点 ，可以看作由直线 y =6x向 平移 个单位长度而得到．
(3)在同一直角坐标系中，直线 y =6x -5与 y =6x的位置关系是 .
下
5
(0，-5)
平行
新知探究
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）.
下
上
归纳总结
怎样画一次函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可.
思考：与x轴的交点坐标是什么？
提示：y=kx+b与x轴的交点坐标是
新知探究
O
例2 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1
x 0 1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1
新知探究
　　画出下列一次函数的图象：
　 （1）y =x+1； 　（2）y =3x+1；
　 （3）y =-x+1；　（4）y =-3x+1．
合作探究
思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号
变化时，函数的增减性怎样变化吗？
新知探究
二、一次函数的性质
6
-2
-5
5
x
y
O
2
4
A
B
C
D
E
y =x+1
y =3x+1
y =-x+1
y =-3x+1
k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大；
k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小．
新知探究
在一次函数y=kx+b中，
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
由此得到一次函数性质：
归纳总结
新知探究
例3 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象
上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 B.当x1＜x2时，y1＜y2
C. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
解析:根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案．
提示：反过来也成立：y越大，x就越小．
新知探究
k 0，b 0
>
>
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
>
>
>
<
<
<
<
<
=
=
思考：根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
新知探究
归纳总结
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
① b>0时，直线经过第 一、二、四象限；
② b<0时，直线经过第二、三、四象限.
① b>0时，直线经过第一、二、三象限；
② b<0时，直线经过第一、三、四象限.
新知探究
例4 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
新知探究
x
O
D
x
O
C
y
x
O
B
已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数 y = kx-k的图象可能是（ ）
B
y
y
y
x
O
A
分析：由函数 y = kx的图象在二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以函数 y = kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B.
新知探究
练一练
一次函数的图象和性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（ ，0），
当k>0， b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限；
当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限.
图象
性质
课堂小结
1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ ）
C
A B C D
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( )
A.y=-2x B.y=-2x+1
C.y=x-2 D.y=-x-2
C
课堂训练
4.直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为________；与y 轴交点的坐标为_______；图象经过第__________象限， y 随x 的增大而________．
5.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= .
3
（0，-3）
一、三、四
增大
（1.5，0）
课堂训练
3.已知点A（a,6），B（b,2）在直线y=-3x+m上，则a与b的大小关系为（　　）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．a≤b
A
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得 ，解得
又∵m为整数,
∴m＝2.
课堂训练第2课时 一次函数的图象和性质
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点法画正比例函数的图象．（重点）
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题．（难点）
一、复习导入
形如 y=kx（k是常数，k≠0） 的函数，叫作正比例函数；形如 y=kx+b(k,b是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数；当b=0时，y=kx+b就变成了 y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
正比例函数的图象是一条经过 原 点的 直线 .
二、新知探究
（一）一次函数的图象
[例题讲解]例1 画函数y=-3x和y=-3x+1的图象．
探究 比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（1）这两个函数的图象形状都是 一条直线 ，并且倾斜程度 相同 .
（2）函数 y1=-3x 的图象经过 原点 ，函数y2= -3x+1的图象与y轴交于点( 0 ，1 )，即它可以看作由直线y1=-3x向 上 平移 1 个单位长度而得到.
做一做：
(1)在同一直角坐标系画一次函数 y =6x与y =6x -5的图象．
图略.
(2)一次函数y =6x -5的图象与y轴交于点 (0，-5) ，可以看作由直线 y =6x向 下 平移 5 个单位长度而得到．
(3)在同一直角坐标系中，直线 y =6x -5与 y =6x的位置关系是 平行 .
[归纳总结]一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 |b| 个单位长度得到（当b＞0时，向 上 平移；当b＜0时，向 下 平移）.
[交流讨论]学生分组交流讨论：一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点坐标是什么.
答：（，0）.
由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点（，0）或 (1，k+b)，连线即可.
[例题讲解]例2 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1.
注意：也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1.
（二）一次函数的性质
[合作探究]画出下列一次函数的图象：
（1）y =x+1； 　（2）y =3x+1；
（3）y =-x+1；　（4）y =-3x+1．
思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？
k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大；
k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小．
[归纳总结]由此得到一次函数性质：
在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
[例题讲解]例3 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( D )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
C.y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
解析:根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案．
思考：根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
问：一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
[归纳总结]当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
① b>0时，直线经过第一、二、三象限；
② b<0时，直线经过第一、三、四象限.
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
① b>0时，直线经过第 一、二、四象限；
② b<0时，直线经过第二、三、四象限.
[例题讲解]例4 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
练一练：
已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y =kx-k的图象可能是（ B ）
分析：由函数 y = kx的图象在二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以函数 y = kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B.
三、课堂小结
四、课堂训练
1. 一次函数y=x-2的大致图象为（　C　）
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是（　C　）
A.y=-2x B.y=-2x+1
C.y=x-2 D.y=-x-2
3.已知点A（a,6），B（b,2）在直线y=-3x+m上，则a与b的大小关系为（　A　）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．a≤b
4.直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为__（1.5，0）__；与y 轴交点的坐标为__（0，-3）__；图象经过第__一、三、四__象限， y 随x 的增大而___增大__．
5.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= 3 .
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
五、布置作业
完成对应练习。
本节课类比正比例函数图象的研究方法,采用改变变量的值观察图象的变化的方法,让学生经历观察、比较、归纳的过程,再总结出一次函数y=kx+b(k≠0)的一般特点,符合学生的认知规律和教学规律.

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