资源简介

24.1.1　平均数
第1课时　平均数与加权平均数
素养目标
1.理解“权”和“加权平均数”的意义，掌握加权平均数的计算公式.
2.能利用加权平均数解决不同情境下的实际问题.
教学重难点
重点：“权”和“加权平均数”的意义的理解.
难点：会用加权平均数分析一组数据的集中趋势.
教学过程
新课导入
小贝、小迪和小聪三个好朋友形影不离，学习上他们也将对方当作竞争对手，小贝将上学期三人的成绩一一列出（如下表），并计算了一下，算出自己的综合成绩比小迪、小聪高.请问小贝是怎样计算综合成绩的呢？
姓名 课堂表现 平时作业 期中考试 期末考试
小贝 80 80 100 85
小迪 60 100 85 95
小聪 100 85 75 80
探究新知
探究点一　平均数
【例1】小李大学毕业后到一家公司应聘英文翻译，该公司对他进行了听、说、读、写的英语水平测试，他的各项成绩（百分制，单位：分）分别为70，80，90，100，则他这四项测试的平均成绩是（　　）
A.80分　 B.85分
C.90分　 D.95分
【解析】他这四项测试的平均成绩是＝85（分）.
【答案】B
【方法总结】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数.关键在于确定总数量以及总数量对应的总份数.
探究点二　加权平均数
【例2】某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50％，20％，30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表所示：
纸笔测试 实践能力 成长记录
甲 90 83 95
乙 96 82 94
丙 84 88 94
　　通过计算，确定学期总评成绩为优秀的同学.
【解析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
【解】∵＝＝90.1（分），
＝＝92.6（分），
＝＝87.8（分），
∴学期总评成绩为优秀的同学是甲和乙.
【方法总结】加权成绩等于各项成绩乘不同的权重的和，再除以总权重.
【例3】学期末，某班评选一名优秀学生干部，从班长、学习委员和团支部书记中选，他们的成绩（单位：分）情况如下表所示：
班长 学习委员 团支部书记
思想表现 24 28 26
学习成绩 26 26 24
工作能力 28 24 26
　　假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的比重为3∶3∶4，通过计算说明谁应当被选为优秀学生干部.
【解析】根据三项成绩的不同权重，分别计算三人的总成绩.
【解】班长的总成绩＝＝26.2（分）；
学习委员的总成绩＝＝25.8（分）；
团支部书记的总成绩＝＝25.4（分）.
∵26.2＞25.8＞25.4，
∴班长应当被选为优秀学生干部.
【方法总结】根据加权平均数的公式进行计算.
课堂训练
1.一组数据为4，10，12，14，则这组数据的平均数是（　　）
A.9　 B.10 C.11　 D.12
2.某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测和期末考试三项成绩构成的.若期末评价成绩在80分以上（含80分），则评定为“优秀”.小张和小王两位同学的成绩（单位：分）记录如下表：
完成作业 单元检测 期末考试
小张 70 90 80
小王 60 75 　
　　若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1∶2∶7的权重来确定期末评价成绩，则：
（1）请计算小张的期末评价成绩.
（2）小王在期末考试（期末考试成绩为整数）时至少应该考多少分才能达到优秀？
板书设计
第1课时　平均数与加权平均数
1.加权平均数的概念：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则叫作这n个数的加权平均数.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学生学均数和加权平均数的公式，会根据平均数和加权平均数的公式求出一组数据的平均数和加权平均数.
教学反思
　　1.教师教学可能存在的问题：（1）就本论本，不能很恰当地列举典型的、贴近学生生活的现实例子，以具体的实际问题为载体，创设问题情景，揭示概念；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学活动，引导学生对“权”的意义和作用有深刻的理解；（3）过分强调知识的获得，忽略了统计思想的揭示和统计观念的建立；（4）对前两个学段中学生已经具有的相关平均数的知识经验了解不足，致使引入的问题太过简单或难度要求过高，导致学生的学习积极性不高.
2.学生学习中可能出现的问题：（1）由于生活经验不足，同时受认知水平的影响，对抽象的“权”的意义和作用的理解会有所困难；（2）尽管在第一、第二学段已经学习了统计的简单知识，但对统计的意义和统计思想的理解尚处在最粗浅的认识层面，加之对“权”理解的困难，所以可能会感到这部分知识的学习比较抽象，缺少学习的激情.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）小张的期末评价成绩为＝81（分）.
（2）设小王期末考试成绩为x分.
根据题意，得≥80，解得x≥，
∴小王在期末考试（期末考试成绩为整数）时至少应该考85分才能达到优秀.
第2课时　用样本平均数估计总体平均数
素养目标
1.加深对加权平均数的理解.
2.会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题.
3.会用样本平均数估计总体平均数，了解用样本估计总体的思想方法.
教学重难点
重点：1.根据频数分布表求加权平均数.
2.用样本平均数估计总体平均数.
难点：1.对于分组数据，利用每组的组中值来计算加权平均数这种统计思维的建立.
2.对用样本估计总体的思想方法的理解.
教学过程
新课导入
师：我们知道，在用加权平均数计算时关键是找出数据和对应的权进行计算，那么体现权的表现方式有哪些？
生：权的表现方式有三种：①直接以数据形式给出；②以比例形式给出；③以百分数形式给出.
师：本节课我们利用组中值继续探究加权平均数和在实际应用中根据样本平均数来估计总体平均数.
探究新知
探究点一　利用组中值求加权平均数
【例1】八（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A，B，C，D，E五个等级.老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制成如下的频数分布表和扇形统计图.
等级 学生帮父母做家务的时间t/h 频数
A 2.5≤t＜3 2
B 2≤t＜2.5 10
C 1.5≤t＜2 a
D 1≤t＜1.5 b
E 0.5≤t＜1 3
（1）求a，b的值.
（2）根据频数分布表，估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间.
【解析】（1）根据图表信息可求出a和b的值；（2）根据加权平均数的定义计算即可.
【解】（1）a＝50×40％＝20，b＝50－2－10－20－3＝15.
（2）根据题意，得＝
＝1.68（h）.
答：估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间为1.68h.
【方法总结】解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确.统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作对应组中值的权.
探究点二　用样本平均数估计总体平均数
【例2】现随机对某小区居民家庭用水情况作抽样调查，3月份较2月份的节水情况如下表所示（在每组的取值范围中，含最低值，不含最高值）：
节水量/t 0.2～0.6 0.6～1.0 1.0～1.4 1.4～1.8 1.8～2.2
户数 5 20 35 30 10
　　（1）试估计该小区3月份较2月份节水量不低于1t的户数占小区总户数的百分比为　　　　.
（2）已知该小区共有居民5000户，若把每组中各个节水量值用该组的中间值（如0.2～0.6的中间值为0.4）来代替，请你估计该小区3月份较2月份的总节水量.
【解析】（1）由题意可知节水量在1.0t～1.4t的用户为35户，节水量在1.4t～1.8t的用户为30户，节水量在1.8t～2.2t的用户为10户，则该小区3月份较2月份节水量不低于1t的户数为35＋30＋10＝75.∵样本总量为5＋20＋75＝100（户），∴该小区3月份较2月份节水量不低于1t的户数占小区总户数的百分比为×100％＝75％.
（2）由题意可知节水量各组的中间值依次为0.4，0.8，1.2，1.6，2.0.故抽样的100户总节水量约为0.4×5＋0.8×20＋1.2×35＋1.6×30＋2.0×10＝128（t），则每户的平均节水量为128÷100＝1.28（t）.故5000户共节水5000×1.28＝6400（t）.
【解】（1）75％
（2）由题意可知抽样的100户总节水量约为0.4×5＋0.8×20＋1.2×35＋1.6×30＋2.0×10＝128（t），
∴该小区3月份较2月份的总节水量约为×5000＝6400（t）.
【方法总结】当要考查的对象很多或考查本身带有破坏性时，常用样本平均数来估计总体平均数.
课堂训练
1.某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名考生的得分（单位：分）都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000个数据，统计如下表：
数据x 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
个数 800 2000 1200
平均数 78 85 92
　　根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（　　）
A.92.1　　 B.85.7
C.83.4　 D.78.8
2.某校对全校3000名学生本学期参加艺术学习活动的情况进行评价，其中甲班学生本学期参观美术馆的次数以及艺术评价等级和艺术赋分的统计情况如下：
艺术评价等级 参观次数 艺术赋分 人数
A级 x≥6 10分 10
B级 4≤x≤5 8分 20
C级 2≤x≤3 6分 15
D级 x≤1 4分 a
　　（1）甲班学生总人数为　　　　，表格中a的值为　　　　.
（2）甲班学生艺术赋分的平均分是　　　　分.
（3）根据统计结果，估计全校3000名学生艺术评价等级为A级的人数.
板书设计
第2课时　用样本平均数估计总体平均数
1.在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1＋f2＋…＋fk＝n），那么这n个数的平均数＝也叫作x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫作x1，x2，…，xk的权.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学生学习了用样本平均数估计总体平均数.当一组数据的个数比较多或不容易计算时，常用这组数据的样本平均数来估计，还学会了求一组数据的组中值.
教学反思
　　1.在求n个数据的简单算术平均数时，如果有k个数据多次重复出现，求这n个数据的简单算术平均数可以看作是求k个数据的加权平均数.这样一方面可以简化计算，另一方面也能体现某个数据在平均数中所占的分量.
2.教学中应提倡学生使用计算器的统计功能求平均数，同时针对平均数的练习也是有必要的，这样可以使学生熟悉加权平均数的计算公式，也有利于理解平均数的统计意义.
3.在统计中，之所以要用样本的情况估计总体的情况，主要基于以下两点：一是在很多情况下总体包含的个数往往很多，不可能一一加以考查；二是有些从总体中抽取个体的试验带有破坏性，因此抽取的个体不允许太多.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）50　5
（2）7.4
（3）根据题意，得3000×＝600（人）.
答：估计全校3000名学生艺术评价等级为A级的人数是600.

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