资源简介

24.1.2　中位数和众数
第1课时　中位数和众数
素养目标
1.认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数.
2.理解中位数和众数的意义和作用.中位数和众数也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人们合理分析实际问题.
3.会利用中位数、众数分析数据信息并作出决策.
教学重难点
重点：认识中位数、众数这两种数据代表.
难点：利用中位数、众数分析数据信息并作出决策.
教学过程
新课导入
师：前面已经和同学们研究过了平均数这个数据代表.它在分析数据过程中担当了重要的角色，今天我们来共同认识和研究数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用.
探究新知
探究点一　中位数
【例1】某校篮球队五名主力队员的身高（单位：cm）分别是174，179，180，174，178，则这五名队员身高的中位数是（　　）
A.174　 B.177　　
C.178　 D.180
【解析】数据按从小到大的顺序排列为174，174，178，179，180，∴这组数据的中位数是178.
【答案】C
【方法总结】求一组数据中位数的方法：先将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序进行排列，然后根据数据的个数确定中位数.如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数（注意：中位数不一定是这组数据中的数）.
探究点二　众数
【例2】大一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是　　　　　.
【解析】根据众数的定义可得这组数据的众数是7.
【解】7
【方法总结】求一组数据众数的方法：根据数据出现次数的多少来判定，出现次数最多的数据就是众数.
【例3】某年4月，全国山地越野车大赛在某市举行，其中8名选手某项得分（单位：分）如下表：
得分/分 80 85 87 90
人数 1 3 2 2
　　则这8名选手得分的众数、中位数分别是（　　）
A.85，85　 B.87，85　　
C.85，86　 D.85，87
【解析】由表可知，得分80的有1人，得分85的有3人，得分87的有2人，得分90的有2人.众数是一组数据中出现次数最多的数据，∴众数是85；把数据按从小到大的顺序排列，可得中位数为（85＋87）÷2＝86.
【答案】C
【方法总结】求一组数据众数的方法：找一组数据的众数，可用观察法；当不易观察时，可用列表的方式把各数据出现的次数统计出来，即可得到众数.
课堂训练
1.已知一组数据为21，23，25，25，26，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A.24，25　 B.24，24　　
C.25，24　 D.25，25
2.某市五月份连续五天的日最高气温（单位：℃）分别为33，30，31，31，29.这组数据的众数是（　　）
A.29　 B.30
C.31　 D.33
板书设计
第1课时　中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
课堂小结
本节课学生学习了中位数和众数的概念，理解一组数据的中位数和众数的求法，会求出一组数据的中位数和众数，并理解它们表示的意义.
教学反思
　　本节课主要引导学生认识中位数和众数，利用中位数或众数来分析问题，因此在教学中注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与数学活动的时间和空间，在分析讨论中促进学生对概念的理解.通过观察、分析、讨论、在共享集体思维成果的基础上逐步建构出这两个概念，学生逐步体会到这两个统计量都反映一组数据的集中趋势，但是描述的角度并不同，这样可以比较全面、正确地理解所学知识.在教学中，对学生的各种回答给予肯定，让学生可以从不同的角度理解得到的不同的结论，然后通过学生合作交流，相互完善，在自主探索中体会概念的形成过程，让学生认识到研究数据的必要性.
答案
课堂训练
1.D　2.C
第2课时　平均数、中位数和众数的应用
素养目标
1.进一步认识平均数、中位数和众数都是数据的代表.
2.了解平均数、中位数和众数在描述数据时的差异.
3.能灵活运用这三个数据代表解决实际问题.
教学重难点
重点：结合具体问题情境，体会三种描述数据集中趋势的统计量的各自特点.
难点：灵活运用这三个数据代表解决实际问题.
教学过程
新课导入
师：有6户家庭的年收入（单位：万元）分别为4，5，5，6，7，50.你们认为这6户家庭的年收入水平大概是多少？
生1：用平均数估计为＝≈12.83（万元）.
生2：用中位数估计为＝5.5（万元）.
生3：用众数估计为5万元.
师：三位同学用了三个不同的统计量进行估计，哪些统计量比较合理呢？
生4：用中位数或众数估计都比较合理，用平均数估计不合理.
探究新知
探究点　平均数、中位数和众数的比较　
【例1】王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90％.他近期想出售鱼塘里的这种鱼，为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘.现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示.
（1）这20条鱼质量的中位数是　　　　，众数是　　　　.
（2）求这20条鱼质量的平均数.
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元.请利用这个样本的平均数计算，王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼大约可收入多少元？
【解析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）利用加权平均数的定义求解即可；（3）用单价乘（2）中所得的平均数，再乘存活的数量求解即可.
【解】（1）1.45kg　1.5kg
（2）＝×（1.2×1＋1.3×4＋1.4×5＋1.5×6＋1.6×2＋1.7×2）＝1.45（kg），
∴这20条鱼质量的平均数是1.45kg.
（3）18×1.45×2000×90％＝46980（元）.
答：王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼大约可收入46980元.
【方法总结】选择合适的一个数来代表一组数据的方法：平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同的方面刻画了一组数据的集中程度，具体情况应该具体分析、选择，并结合实际情况来确定（警示：当一组数据出现过大或过小的数据时，平均数就不能代表该组数据的一般水平）.
【例2】某校为了了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从各年级学生中随机抽取部分学生进行检测，并对所有抽测学生的成绩（百分制，单位：分）进行统计得到如下表格.
成绩x/分 频数 频率 熟悉程度
90≤x≤100 24 0.48 非常熟悉
80≤x＜90 a 0.36 熟悉
70≤x＜80 6 0.12 有点熟悉
60≤x＜70 2 b 不熟悉
　　根据表格提供的信息，回答下列问题：
（1）求表中a和b的值.
（2）分别写出抽测学生成绩中的中位数和众数所在的分数段.
（3）如果该校有2600名学生，那么该校对“防溺水”安全知识“非常熟悉”的学生大约有多少名？
【解析】（1）根据频数、频率和总数之间的关系进行计算即可；（2）根据中位数的意义，排序后处在中间位置的两个数的平均数即为中位数.出现次数最多的数是众数，但不知道每一个学生的具体成绩，故众数不易确定在哪个组；（3）样本中“非常熟悉”的频率为0.48，因此估计总体2600名学生中的48％的学生对“防溺水”安全知识“非常熟悉”.
【解】（1）24÷0.48＝50（名），a＝50×0.36＝18，b＝2÷50＝0.04.
（2）将50名学生的成绩按从小到大的顺序排列后，处在第25，26位的两个数都在80≤x＜90分数段内，
∴中位数在80≤x＜90分数段.
由于不知道每一个学生的具体成绩，所以不能判断学生成绩的众数处在哪个分数段.
（3）2600×0.48＝1248（名）.
答：该校对“防溺水”安全知识“非常熟悉”的学生大约有1248名.
【方法总结】认识频数分布表的意义和制作方法，理解频数、频率和总数之间的关系是正确计算的前提.
课堂训练
为了了解全校1200名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间（单位：min）的情况，结果如下表：
时间/min 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
人数 16 24 14 10 8 6 8 4 6 4
　　根据统计表信息，回答下列问题：
（1）写出这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数.
（2）该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35min的学生大约有多少名？
板书设计
第2课时　平均数、中位数和众数的应用
平均数、中位数和众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.
1.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大.
2.当一组数据中某一数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个统计量，众数不易受极端值的影响.
3.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.
课堂小结
本节课学生学均数、中位数和众数的应用，会选择用哪个统计量来描述一组数据以及这三个统计量的优点和缺点.
教学反思
　　通过本节课的教学，最大的收获就是用好教材，解读好教材，挖掘好教材是上好每一堂课的关键.教学过程中由浅入深设置问题串，使学生思维分层递进，目的是突出本节课重点，分解难点.通过追问和层层引导，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法探究问题，揭示概念的实质，不断完善知识结构.练习时，在同一具体问题中分别求平均数、中位数和众数，目的是比较三个统计量从不同角度对一组数据集中趋势的描述，有助于了解三个统计量之间的联系与区别.这样更加具有强烈的生活色彩，让学生体会平均数、众数和中位数在日常生活中的应用.
答案
课堂训练
解：（1）由表格知，中位数是25min，众数是20min.
（2）×1200＝432（名）.
故该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35min的学生大约有432名.

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