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第二章第三节 平行线的性质
题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质
题型1．平行线的性质（共30小题）
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．a
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
1．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
2．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　）
A．36° B．54° C．126° D．144°
4．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　）
A．34° B．36° C．38° D．56°
5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列结论错误的是（　　）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
7．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　）
A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180°
C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360°
8．将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（　　）
A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°
9．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
10．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．48° B．58° C．60° D．69°
11．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG∥CD，∠BCD＝74°，∠B＝44°，则∠BAG的度数为（　　）
A．26° B．30° C．34° D．40°
12．如图，在平面内作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
13．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　）
A．95° B．85° C．75° D．65°
14．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（　　）
A．45° B．65° C．115° D．135°
15．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④
16．如图在同一平面内，有n条直线与直线a平行，也有n条直线与直线b平行，直线a，b不平行，当n＝4时共有多少对内错角？（　　）
A．200 B．96 C．72 D．60
17．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠DBC＝45°，∠CDE的度数为（　　）
A．25° B．35° C．65° D．115°
18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE＝（　　）°
A．96 B．108 C．118 D．128
19．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（　　）
A．α+β﹣2γ＝180° B．β﹣α＝γ
C．α+β+γ＝360° D．β+γ﹣α＝180°
20．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°
C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30°
D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150°
21．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④同角的余角相等．其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
23．若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
24．相传墨家巨子墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．50° B．40° C．130° D．120°
25．如图所示，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（　　）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
26．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　 　 °．
27．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数．
请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
解：因为EF与CD交于点H（　 　 ），
所以∠3＝∠4（　 　 ）．
因为∠3＝60°（已知），
所以∠4＝60°（　 　 ）．
因为AB∥CD（已知），
所以∠4+∠FGB＝180°（　 　 ），
所以∠FGB＝　 　 ．
因为GM平分∠FGB（已知），
所以　 　 ＝　 　 （　 　 ）．
28．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数．
29．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是　 　 ；（不需证明）
（2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G∠E＝60°，求∠AMG的度数；
（3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值；
（4）若∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，则　 　 ．（用含有n的代数式表示）
30．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
题型2．平行线的判定与性质（共30小题）
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
31．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．下列说法正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直
33．下列说法正确的有（　　）
①不相交的两条直线是平行线；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行；
④不相交的两条射线一定平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
34．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝a，则．其中错误的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
35．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
36．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
37．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
38．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F两点，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线交于点P，与直线CD交于点G，过点G作GH∥PF，交直线MN于点H．若∠AEM与∠CFN互补，则下列结论：①AB∥CD；②∠EHG＝∠AEF；③∠MEG＝∠EGD；④EG⊥GH；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
（多选）39．如图，下列推理正确的是（　　）
A．若AD∥BC，则∠1＝∠4
B．若∠2＝∠3，则AE∥DC
C．若∠1+∠2+∠5＝180°，则AD∥BC
D．若AE∥DC，则∠5＝∠3+∠4
40．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝14°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝43°，则EF与FG所成锐角的度数为　 　 ．
41．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　 　 （填写序号）．
42．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　 　 秒时，EB∥FD．
43．如图是曲臂直杆道闸示意图，已知AB垂直于水平地面AB，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在BC段绕点B缓慢向上旋转中，∠ABC+∠BCD始终等于 　 　 度．
44．下列说法：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角的角平分线在一条直线上；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的说法是　 　 ．（填序号）
45．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　 　 ．
46．某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 °．
47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　 　 时，AM∥CE．
48．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
49．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
请说明：DE∥BC．
解：∵CD⊥AB（ 　 　 ），
∴∠ADC＝ 　 　 （ 　 　 ）．
∴∠1+　 　 ＝90°．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴　 　 ＝ 　 　 （ 　 　 ）．
∴DE∥BC（ 　 　 ）．
50．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
51．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数；
（2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数．
52．如图，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若∠4＝60°，求∠ADF的度数．
53．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝　 　 （　 　 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥　 　 （　 　 ），
∴∠BAC+　 　 ＝180°（　 　 ）．
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
54．如图，AB∥DE，试证明∠B+∠E＝∠BCE．
证明：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，AB∥CF，
∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）．
∴∠E＝∠　 　 （ 　 　 ）．
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠　 　 （ 　 　 ）．
∴∠B+∠E＝∠1+　 　 ．
即∠B+∠E＝∠BCE．
55．（1）已知：如图1，AC∥DE，CD平分∠ACB，EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝　 　 ，（　 　 ），
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴，∠2＝　 　 （角平分线的定义）．
∴∠1＝　 　 ，
∴CD∥EF．
（2）完成下面的证明．如图2，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，（　 　 ），
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴，∠BCF＝　 　 ，
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF（　 　 ）．
56．（1）如图1，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请证明a与c平行；
（2）如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD．
①若∠BOE＝55°，求∠AOC，∠AOD的度数；
②若∠AOC：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．
57．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是2°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 　 　 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
58．如图，已知AD∥CE，∠1＝∠2，说明AB与CD的位置关系，理由是什么？
59．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；
（3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
60．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B+∠F＝180°，∠F+∠BGD＝180°．
证明：∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（ 　 　 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF （ 　 　 ）．
∴AB∥EF（ 　 　 ）．
∴∠B+∠F＝180° （ 　 　 ）．
又∵∠BGC+∠BGD＝180° （ 　 　 ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F+∠BGD＝180° （ 　 　 ）．第二章第三节 平行线的性质
题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质
题型1．平行线的性质（共30小题）
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
1．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠1＝∠AEF，
由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′，
∵∠1＝2∠2，
∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2，
∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°，
∴2∠2+2∠2+∠2＝180°，
解得∠2＝36°．
∴∠AEF＝72°．
故选：C．
2．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，
过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥b，
∴AB∥a，
∴∠2＝∠4＝32°，
故选：C．
3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　）
A．36° B．54° C．126° D．144°
【答案】D
【解答】解：∵AG⊥EF，
∴∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°﹣∠A＝90°﹣54°＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEG＝36°，
∴∠1＝180°﹣∠EFD＝144°．
故选：D．
4．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　）
A．34° B．36° C．38° D．56°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠FED＝56°，
∵∠HFB＝18°，
∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°．
故选：C．
5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
6．下列结论错误的是（　　）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】A
【解答】解：A、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项错误，符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，正确，不合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不合题意；
D、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确，不合题意；
故选：A．
7．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　）
A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180°
C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360°
【答案】B
【解答】解：过点E作EF∥AB，如图：
∵EF∥AB，
∴α+∠AEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝γ，
∵β＝∠AEF+∠FED＝180°﹣α+γ，
∴α+β﹣γ＝180°，
故选：B．
8．将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（　　）
A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°
【答案】D
【解答】解：过B作BK∥MN，
∵MN∥PQ，
∴BK∥PQ，
∴∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，
∴∠2+α°＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°，
∴2∠2+2α°＝120°，
∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，
∴∠3+∠2＝150°，
∴∠3+∠2﹣（2∠2+2α°）＝150°﹣120°，
∴∠3﹣∠2＝（30+2α）°．
故选：D．
9．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
【答案】A
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故选：A．
10．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　）
A．48° B．58° C．60° D．69°
【答案】D
【解答】解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，
∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，
∴∠5＝42°，
由折叠的性质可知，∠2＝∠3，
∵∠2+∠3+∠5＝180°，
∴∠2＝69°，
故选：D．
11．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG∥CD，∠BCD＝74°，∠B＝44°，则∠BAG的度数为（　　）
A．26° B．30° C．34° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵AG∥CD，∠BCD＝74°，
∴∠BFG＝∠BCD＝74°，
∴∠BAG＝∠BFG﹣∠B，
∵∠B＝44°，
∴∠BAG＝74°﹣44°＝30°，
故选：B．
12．如图，在平面内作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【解答】解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条，
所以作已知直线m的平行线，可作无数条．
故选：D．
13．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　）
A．95° B．85° C．75° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠D＝∠BAF＝60°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠CAB＝75°，
故选：C．
14．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（　　）
A．45° B．65° C．115° D．135°
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠4＝180°，
又∵∠2＝115°，
∴∠4＝180°﹣115°＝65°，
又∵c∥d，
∴∠3＝∠4＝65°，
故选：B．
15．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（　　）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，
∴∠CGE＝∠GEB＝a，
∴∠AEG＝180°﹣a，
∵CE平分∠AEG，
∴∠AEC＝∠CEG∠AEG＝90°a，
故①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠AEC+∠DEB＝90°，
∴∠DEBa∠GEB，
即DE平分∠GEB，
故②正确；
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠CEF＝90°，
∴∠CEFa，
∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEBa，
∴∠CEF＝∠GED，
故③正确；
∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°a，
∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°a，
∴∠FED+∠BEC＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：C．
16．如图在同一平面内，有n条直线与直线a平行，也有n条直线与直线b平行，直线a，b不平行，当n＝4时共有多少对内错角？（　　）
A．200 B．96 C．72 D．60
【答案】A
【解答】解：当n＝1时，有2×4＝8对内错角，
当n＝2时，有2×（3×6）＝36对内错角，
当n＝3时，有2×[（3+2+1）×8]＝96对内错角，
当n＝4时，有2×[（4+3+2+1）×（5+5）]＝200对内错角．
故选：A．
17．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠DBC＝45°，∠CDE的度数为（　　）
A．25° B．35° C．65° D．115°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝70°，
∵BC∥DE，
∴∠DBC+∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝135°﹣70°＝65°．
故选：C．
18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE＝（　　）°
A．96 B．108 C．118 D．128
【答案】A
【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝28°，
∴∠BFE＝∠DEF＝28°，
∴∠EFC＝152°，
∴∠BFC＝152°﹣28°＝124°，
∴∠CFE＝124°﹣28°＝96°．
故选：A．
19．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（　　）
A．α+β﹣2γ＝180° B．β﹣α＝γ
C．α+β+γ＝360° D．β+γ﹣α＝180°
【答案】D
【解答】解：过E向左作射线EF∥AB，
则∠FEA＝∠EAB＝α，
∴∠FED＝β﹣α
由条件可知FE∥CD，
∴∠D+∠FED＝180°，
∴β+γ﹣α＝180°．
故选：D．
20．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°
C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30°
D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150°
【答案】A
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行，
∴根据平行线的性质，两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等．
A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，所以此选项正确，符合题意；
B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，所以此选项错误，不符合题意；
C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意；
D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意；
故选：A．
21．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④同角的余角相等．其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①错误，
相等的角不一定是对顶角，②错误；
两直线平行，同位角相等，③错误；
同角的余角相等，④正确，
综上所述：错误的有①②③，共3个，
故选：C．
22．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【答案】A
【解答】解：如图：
∵∠BAE＝∠1+∠3＝125°，∠ABF＝∠2+∠4＝85°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝125°+85°＝210°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°，
故选：A．
23．若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
【答案】B
【解答】解：如图，AB∥CD，HI与AB，CD分别交于点M、N，EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线，
∵AB∥CD，
∴∠AMH＝∠CNH（两直线平行，同位角相等），
∵EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线，
∴∠1∠AMH，∠2∠CNH，
∴∠1＝∠2，
∴EM∥FN（同位角相等，两直线平行）．
故选：B．
24．相传墨家巨子墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．50° B．40° C．130° D．120°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°．
故选：A．
25．如图所示，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（　　）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠EFC，∠ADE＝∠B，
又∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠EFC＝∠ADE＝∠B，
∵∠BFE的邻补角是∠EFC，
∴与∠BFE互补的角有：∠DEF、∠EFC、∠ADE、∠B．
故选：D．
26．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　64　 °．
【答案】64
【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°，
∵∠CBD＝19°，
∴∠FBD＝45°+19°＝64°，
由题意可知，EF∥GH，
∴∠BDH＝∠FBD＝64°，
故答案为：64．
27．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数．
请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
解：因为EF与CD交于点H（　已知　 ），
所以∠3＝∠4（　对顶角相等　 ）．
因为∠3＝60°（已知），
所以∠4＝60°（　等量代换　 ）．
因为AB∥CD（已知），
所以∠4+∠FGB＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ），
所以∠FGB＝　120°　 ．
因为GM平分∠FGB（已知），
所以　∠FGB ＝　60°　 （　角平分线的定义　 ）．
【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义．
【解答】解：将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
因为EF与CD交于点H（已知），
所以∠3＝∠4（对顶角相等）．
因为∠3＝60°（已知），
所以∠4＝60°（等量代换）．
因为AB∥CD（已知），
所以∠4+∠FGB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠FGB＝120°．
因为GM平分∠FGB（已知），
所以（角平分线的定义），
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义．
28．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3
∴DG∥AB，
∴∠BAC+∠AGD＝180°，
∴∠AGD＝110°
29．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是　∠BME+∠END＝∠E ；（不需证明）
（2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G∠E＝60°，求∠AMG的度数；
（3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值；
（4）若∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，则　　 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠BME＝∠MEF，∠DNE＝∠NEF，
∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝∠BME+∠DNE，即∠MEN＝∠BME+∠DNE，
故答案为：∠BME+∠END＝∠E；
（2）∵GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，设∠CNG＝∠ENG＝α，∠AMF＝∠GMF＝β，
∴∠E＝∠DNE+∠BME＝180°﹣2α+β，∠G＝α﹣2β，
∵∠G∠E＝α﹣2β+90°﹣αβ＝60°，β＝20°，
∴∠AMG＝2β＝40°；
（3）如图，过点E作EG∥AB，
设∠ABE＝2x，∠CDE＝2y，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠GEB+∠ABE＝180°，∠CDE+∠GED＝180°，
∴∠GEB+∠ABE＝∠CDE+∠GED，
∴∠E＝∠GED﹣∠GEB＝∠ABE﹣∠CDE＝2x﹣2y，
同理可得：∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y，
∴∠F：∠E；
（4）设∠ABM＝x，则∠ABE＝（n+1）x，设∠CDN＝y，则∠CDE＝（n+1）y，
由（3）可知∠E＝∠ABE﹣∠CDE＝（n+1）（x﹣y），
∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y，
∴．
故答案为：．
30．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD
（1）求证：∠EMF＝90°．
（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．
（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠FEM∠BEF，∠EFM∠DFE，
∴∠FEM+∠EFM180°＝90°，
∴∠EMF＝90°．
（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，
∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，
∴∠EFM＝90°﹣4x，
∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，
∵∠MFE＝∠MFD，
∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），
∴x＝15°，
∴∠MFN＝15°，
∴∠N＝90°﹣15°＝75°
（3）如图3，∵GQ⊥FM，
∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．
∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE（∠HFE+∠EFD）∠HFD，
∴∠HFD＝2∠GFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，
即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．
题型2．平行线的判定与性质（共30小题）
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
31．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，所以结论①正确；
∵∠CAD＝∠1+∠2+∠3，
∴∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，所以结论②正确；
如果∠2＝30°，则∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E，故AC∥DE，所以结论③正确；
如果∠2＝45°，则∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B，故BC∥AD，所以结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
32．下列说法正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直
【答案】D
【解答】解：A、在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，不是过任意一点，原说法错误，不符合题意；
B、只有两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直，原说法正确，符合题意；
故选：D．
33．下列说法正确的有（　　）
①不相交的两条直线是平行线；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行；
④不相交的两条射线一定平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的，不符合题意；
两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的，符合题意；
不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的，不符合题意；
故选：B．
34．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝a，则．其中错误的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
∵∠GBE的平分线交CF于点D，
∴∠DBG＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
∴①正确，
∵AE∥CF，
∴∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，
∴AC∥BG，
∴②正确，
∵∠DBE＝∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
∴③错误，
∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，
又∵∠ACB（180°﹣α）＝90°，
∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°）]＝180°，
∴④正确，
故选：D．
35．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD，
∴①正确；
过点H作HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥HQ∥CD，
∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG，
∴②正确；
∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG，
∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°，
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：C．
36．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】A
【解答】解：如图，∵∠FEB＝∠DCB＝90°，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故选：A．
37．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180°
【答案】D
【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB，
∵∠C＝∠EDF，
∴∠EDF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠AED＝∠DFB，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠C＝180°，
∵∠B不一定等于∠C，
∴∠B+∠CED不一定等于180°，
综上所述：ABC都正确，D不正确，
故选：D．
38．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F两点，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线交于点P，与直线CD交于点G，过点G作GH∥PF，交直线MN于点H．若∠AEM与∠CFN互补，则下列结论：①AB∥CD；②∠EHG＝∠AEF；③∠MEG＝∠EGD；④EG⊥GH；其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【解答】解：∵∠AEM＝∠BEF，∠CFN＝∠EFG，且∠AEM与∠CFN互补，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
∴AB∥CD，①结论正确；
∴∠AEF＝∠EFG，
∵FP平分∠DFE，
∴，
∵GH∥PF，
∴∠EHG＝∠EFP，
，②结论错误；
∵EP平分∠BEF，
∴∠BEP＝∠FEP，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝∠AEG＝∠AEF+∠FEP，
∵∠MEG＝∠MEB+∠BEG，∠MEB＝∠AEF，
∴∠MEG＝∠EGD，③结论正确；
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵FP平分∠DFE，EP平分∠BEF，
∴，，
∴，
∴∠EPF＝90°，
∴PF⊥EG，
∵GH∥PF，
∴EG⊥GH，④结论错误；
故选：B．
（多选）39．如图，下列推理正确的是（　　）
A．若AD∥BC，则∠1＝∠4
B．若∠2＝∠3，则AE∥DC
C．若∠1+∠2+∠5＝180°，则AD∥BC
D．若AE∥DC，则∠5＝∠3+∠4
【答案】ABD
【解答】解：A．若AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1＝∠4，故该选项正确，符合题意；
B．若∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行，则AE∥DC，故该选项正确，符合题意；
C．若∠1+∠2＝∠5时，根据同位角相等，两直线平行，则AD∥BC，故原选项错误，不符合题意；
D．若AE∥DC，则∠5＝∠BCD，又因∠BCD＝∠3+∠4，所以∠5＝∠3+∠4，故该选项正确，符合题意，
故选：ABD．
40．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝14°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝43°，则EF与FG所成锐角的度数为　57°　 ．
【答案】57°
【解答】解：过点E作EH∥AB，
∵AB∥FG，
∴AB∥EH∥FG，
∴∠BEH＝α＝14°（两直线平行，同位角相等），∠FEH+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵β＝43°，
∴∠FEH＝180°﹣43°﹣14°＝123°，
∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣123°＝57°，
∴EF与FG所成锐角的度数为57°，
故答案为：57°．
41．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　①②③④　 （填写序号）．
【答案】①②③④
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，故①正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，
∴∠CAD+∠2＝180°，故②正确；
③∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠E＝60°，
∴AC∥DE，故③正确；
④∵∠2＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴BC∥AD，故④正确．
故答案为：①②③④．
42．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　或20　 秒时，EB∥FD．
【答案】或20．
【解答】解：设运动时间为t，则t≤30，∠BEF＝30﹣t，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠BEF＝30°，
当射线EB开始运动时，∠CFD＝180﹣5×20＝80°，
当EB∥DF时，∠BEF＝∠DFE，
∵EB运动到EF时停止，
∴当两射线平行时，DF在EF和CF之间，
当EF和DF第一次重合时，
t＝（80﹣30）÷5＝10（s），
当DF和CF重合时，
t＝80÷5＝16（s），
当DF第二次与EF重合时，
t＝（80+30）÷5＝22（s），
当10＜t＜16时，∠CFD＝80°﹣5t，
∴∠DFE＝∠CFE﹣∠CFD＝5t﹣50°，
∴30﹣t＝5t﹣50°，
解得：t，
当16＜t＜22时，∠CFD＝5t﹣80°，
∴∠DFE＝110°﹣5t，
∴110﹣5t＝30﹣t，
解得：t＝20，
综上所述，t或20．
故答案为：或20．
43．如图是曲臂直杆道闸示意图，已知AB垂直于水平地面AB，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在BC段绕点B缓慢向上旋转中，∠ABC+∠BCD始终等于 　270　 度．
【答案】270．
【解答】解：如图，过点B作BG∥AE，
∵AE∥CD，
∴AE∥CD∥BG，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠BCD＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°．
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
44．下列说法：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角的角平分线在一条直线上；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的说法是　③④　 ．（填序号）
【答案】③④．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误，不符合题意；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意；
③对顶角的角平分线在一条直线上，该说法正确，符合题意；
④根据两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行，a∥b，b∥c，则a∥c，该说法正确，符合题意；
⑤在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原说法错误，不符合题意，
综上，正确的是③④，
故答案为：③④．
45．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　①②④　 ．
【答案】①②④
【解答】解：根据题意可知，∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，所以结论①CD∥PH正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠FPG＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，所以结论②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，所以结论③∠FPH＝∠GPH错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG
＝∠A+∠PHG
＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，所以结论④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FEG＝180°正确；
综上所述，正确的选项有①②④，
故答案为：①②④．
46．某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　19　 °．
【答案】19．
【解答】解：过点C作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，
又∠BAC＝119°，∠D＝80°，
∴∠ACF＝119°，∠DCF＝100°，
∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝19°．
故答案为：19．
47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　65°　 时，AM∥CE．
【答案】65°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACB∠ACD＝65°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝65°，AM∥CE，
故答案为：65°．
48．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）34°．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
49．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
请说明：DE∥BC．
解：∵CD⊥AB（ 　已知　 ），
∴∠ADC＝ 　90°　 （ 　垂直的定义　 ）．
∴∠1+　∠CDE ＝90°．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴　∠CDE ＝ 　∠2　 （ 　同角的余角相等　 ）．
∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
【答案】已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解答】解：由条件可知∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴∠1+∠CDE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠CDE＝∠2（同角的余角相等），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
50．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）2α；
（2）∠NEF＝∠∠AMP．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE（180°﹣∠NQE）（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°α
α
∠AMP．
∴∠NEF∠AMP．
51．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数；
（2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过点G作GH∥DF，如图2所示：
依题意得：∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，
∴∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°，
∴BC∥DF，
由平行线性质可知∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°，
∴∠BGD＝∠HGD+∠BGH＝30°+45°＝75°，
（2）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下：
过点D作DH∥MN，如图3所示，
∵AB∥MN，
∴DH∥AB∥MN，
∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB，
∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°，
∴∠DEM﹣∠DPB＝30°；
（3）∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°，理由如下：
依题意有以下5种情况：
①当AB∥EC时，如图4①所示：
则∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+45°＝135°；
②当BC∥DE时，如图4②所示：
则∠ECB＝∠E＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+60°＝150°；
③当AC∥DE时，如图4③所示：
则∠ACE＝∠E＝60°；
④当AB∥CD时，如图4④所示：
则∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°；
⑤当AB∥DE时，设BC于DE交于点T，如图4⑤所示：
则∠ETC＝∠B＝45°，
∴∠ECT＝75°，
∴∠AEC＝90°﹣75°＝15°．
综上所述：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°．
52．如图，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C．
（1）求证：∠E＝∠F．
（2）若∠4＝60°，求∠ADF的度数．
【答案】（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠4＝180°，
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）；
（2）120°．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠4＝180°，
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）；
（2）解：∵CF∥EA，
∴∠ADF＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵∠A+∠4＝180°，∠4＝60°，
∴∠ADF＝∠A＝180°﹣60°＝120°．
53．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝　∠3　 （　两直线平行，同位角相等　 ）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG （　内错角相等，两直线平行　 ），
∴∠BAC+　∠AGD ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补．
54．如图，AB∥DE，试证明∠B+∠E＝∠BCE．
证明：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，AB∥CF，
∴DE ∥CF （ 　平行于同一条直线的两直线平行　 ）．
∴∠E＝∠　2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠　1　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
∴∠B+∠E＝∠1+　∠2　 ．
即∠B+∠E＝∠BCE．
【答案】DE；CF；平行于同一条直线的两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；1；两直线平行，内错角相等；∠2．
【解答】证明：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE（已知），
∴DE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠E＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠E＝∠1+∠2，
∵∠BCE＝∠1+∠2，
∴∠B+∠E＝∠BCE．
故答案为：DE；CF；平行于同一条直线的两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；1；两直线平行，内错角相等；∠2．
55．（1）已知：如图1，AC∥DE，CD平分∠ACB，EF平分∠DEB．求证：CD∥EF．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠ACB＝　∠DEB ，（　两直线平行，同位角相等　 ），
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知），
∴，∠2＝　　 （角平分线的定义）．
∴∠1＝　∠2　 ，
∴CD∥EF．
（2）完成下面的证明．如图2，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，（　垂直定义　 ），
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴，∠BCF＝　　 ，
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF（　内错角相等，两直线平行　 ）．
【答案】（1）∠DEB；两直线平行，同位角相等；；∠2；
（2）垂直定义；；内错角相等，两直线平行；
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB，
∴，，（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠DEB；两直线平行，同位角相等；；∠2；
（2）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直定义），
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴，（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直定义；；内错角相等，两直线平行．
56．（1）如图1，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请证明a与c平行；
（2）如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD．
①若∠BOE＝55°，求∠AOC，∠AOD的度数；
②若∠AOC：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．
【答案】（1）∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°，
∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），
∴a∥c；
（2）①∠AOC＝35°；∠AOD＝145°；②∠AOE的度数为126°．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°，
∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），
∴a∥c；
（2）解：①∵EO⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠BOE＝55°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣35°＝145°；
②∵∠AOC：∠BOC＝1：4，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，
∴∠AOE的度数为126°．
57．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是2°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 　60　 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）60；
（2）30秒或110秒；
（3）不变，∠BAC＝2∠BCD．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，两束光线分别是AC，BD，
①当0＜t＜90时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA（两直线平行，同位角相等），
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝30+t，
解得t＝30；
②当90＜t＜150时，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴30+t+（2t﹣180）＝180，
解得t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
∵∠ABC＝∠ABP﹣∠PBC＝180°﹣∠BAN﹣∠PBC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，
∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD．
58．如图，已知AD∥CE，∠1＝∠2，说明AB与CD的位置关系，理由是什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：AB∥CD，
理由为：∵AD∥CE，
∴∠ADC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADC＝∠1，
∴AB∥CD．
59．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；
（3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CAB，
∴AB∥CD．
（2）如图1，设∠ABF＝x，则∠EBF＝2x，
∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝x+2x＝3x，
根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF＝∠F+∠ECF，
根据三角形的外角性质，∠1＝∠E+∠ABE＝∠E+3x，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∵CF平分∠DCE，
∴∠ECF∠DCE∠1（∠E+3x），
∴∠E+2x＝∠F（∠E+3x），
整理得，2∠F﹣∠E＝x①，
∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，
∴2∠F+180°﹣∠E＝190°②，
①代入②得，x+180°＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）如图2，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ∠BPG，∠MGP∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DGP，
∴∠MGP（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP＝∠GPQ∠BPG，
∴∠MGN＝∠MGP﹣∠NGP（∠BPG+∠B）∠BPG∠B，
根据前面的条件，∠B＝30°，
∴∠MGN30°＝15°，
∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．
60．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B+∠F＝180°，∠F+∠BGD＝180°．
证明：∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF （ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
∴AB∥EF（ 　平行于同一直线的两条直线平行　 ）．
∴∠B+∠F＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
又∵∠BGC+∠BGD＝180° （ 　补角的定义　 ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F+∠BGD＝180° （ 　等量代换　 ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线平行）．
∵∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC+∠BGD＝180°（补角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F+∠BGD＝180°（等量代换）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；补角的定义；等量代换．

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