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第16章 16.2 二次根式的运算
题型1 二次根式的性质与化简 题型2 最简二次根式
题型3 二次根式的乘除法 题型4 分母有理化
题型5 同类二次根式 题型6 二次根式的加减法
题型7 二次根式的混合运算 题型8 二次根式的应用
▉题型1 二次根式的性质与化简
【知识点的认识】
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
1．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　）
A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b
【答案】C
【解答】解：观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴原式
＝﹣a﹣b﹣a﹣（﹣a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+a+b
＝﹣a
故选：C．
2．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
【答案】A
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：A．
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣a B．a C．﹣b D．b
【答案】C
【解答】解：由数轴得a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴
＝|a|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b+a
＝﹣b，
故选：C．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．∵，
∴A正确，符合题意；
B．∵，
∴B不正确，不符合题意；
C．∵，
∴C不正确，不符合题意；
D．∵，
∴D不正确，不符合题意．
故选：A．
5．若，则x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
【答案】A
【解答】解：∵，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1．
故选：A．
6．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．n B．﹣n C．2m﹣n D．﹣2m+n
【答案】B
【解答】解：由数轴可知：m＜﹣1＜0＜n＜1，
∴m﹣n＜0，
∴|m﹣n|＝﹣m+m﹣n＝﹣n．
故选：B．
7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．a﹣2b B．﹣a﹣2b C．﹣2a﹣b D．a+2b
【答案】B
【解答】解：由各点在数轴上的位置可得a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式
＝|a+b|﹣|b﹣a|+|a|
＝﹣（a+b）﹣（b﹣a）+（﹣a）
＝﹣a﹣b﹣b+a﹣a
＝﹣a﹣2b．
故选：B．
8．化简：　π﹣3　 ．
【答案】π﹣3
【解答】解：∵3﹣π＜0，
∴原式＝|3﹣π|
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
▉题型2 最简二次根式
【知识点的认识】
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
9．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
10．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
11．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：，，﹣2，中是最简二次根式的有，，共2个．
故选：B．
▉题型3 二次根式的乘除法
【知识点的认识】
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
12．计算：（　　）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解答】解：，
故选：B．
13．计算的结果为（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
14．若成立，则x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵若成立，
∴，
解得：﹣1≤x＜2，
故x的值可以是0．
故选：B．
15．下列各式中，化简结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据算术平方根、二次根式的性质逐项分析判断如下：
A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
16．若，那么（　　）
A．a≥3 B．a≥0
C．0≤a≤3 D．a为一切正实数
【答案】A
【解答】解：∵，
∴，
∴a≥3，
故选：A．
▉题型4 分母有理化
【知识点的认识】
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
17．已知a1，b，则a与b的关系（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
【答案】A
【解答】解：∵b，∴a＝b．
故选：A．
18．若m为实数，在“（2）□m”的“□”中添上一种运算符号（在“+”“﹣”“×”“÷”中选择）后，其运
算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“﹣”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；
综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
19．下列式子中，与互为有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵（2）（2）
＝12﹣2
＝10，
∴与互为有理化因式的是：2，
故选：B．
20．已知a，b，那么a与b的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
【答案】B
【解答】解：∵a，b，
∴ab＝（）（）＝1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B．
21．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①，原计算错误；
② 1，正确；
③b，正确．
故选：B．
▉题型5 同类二次根式
【知识点的认识】
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
22．下列二次根式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、2，不能与合并，故本选项错误；
B、2，能与合并，故本选项正确；
C、2，不能与合并，故本选项错误；
D、2，不能与合并，故本选项错误．
故选：B．
23．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：2，而与最简二次根式能合并成一项，
所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
24．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
25．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝（　　）
A．2 B．3 C．0 D．4
【答案】A
【解答】解：根据最简二次根式与同类二次根式的定义，
得2b+1＝7﹣b，
解得：b＝2．
故选：A．
26．若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：3，
∵与最简二次根式能合并，
∴m+1＝2，
∴m＝1．
故选：B．
27．已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【解答】解：由条件可知2a﹣5＝3，
∴a＝4；
故选：C．
28．下列二次根式：①；②；③；④，其中与是同类二次根式的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解答】解：①，与是同类二次根式；
②，2与不是同类二次根式；
③，与不是同类二次根式；
④，与是同类二次根式；
所以与是同类二次根式的是①④，
故选：C．
29．已知最简二次根式与可以合并，则a的值为 　﹣1　 ．
【答案】﹣1
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴2﹣a＝3，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
30．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　1　 ．
【答案】1
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴2a+5＝8﹣a，
∴a＝1，
故答案为：1．
31．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵最简二次根式和是可以合并的二次根式，
∴3b＝2b﹣a+2，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
32．若最简二次根式能与合并为一项，则x的取值为　7　 ．
【答案】7．
【解答】解：∵最简二次根式能与合并为一项，
∴x﹣2＝5．
∴x＝7．
故答案为：7．
33．最简二次根式与可以合并，则的值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴5m﹣4＝2m+5，
解得：m＝3，
∴，
故答案为：．
▉题型6 二次根式的加减法
【知识点的认识】
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
34．如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x，则x的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意可得：AB＝CA1，
则C点坐标为：x＝1﹣（1）＝2，
故x22．
故选：D．
35．下列表格中，计算结果为有理数的有（　　）
式子
计算结果 a b c
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解答】解：，不符合题意；
，符合题意；
，符合题意，
故选：B．
▉题型7 二次根式的混合运算
【知识点的认识】
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
36．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、两者不是同类二次根式，不能相加，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：B．
37．估计的值应在（　　）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
【答案】B
【解答】解：原式3，
∵16＜18＜25，
∴45，
∴73＜8，
即原式的值在7和8之间，
故选：B．
38．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：C．
39．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A.表示25的算术平方根结果为5，故A错；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故B错；
C.，故C对；
D.，故D错，
故选：C．
40．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】B
【解答】解：因为，
所以小明没有出现错误．
因为，
所以小丽出现错误．
因为，
所以小红出现错误．
因为，
所以小亮没有出现错误．
故选：B．
41．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、原式＝5，原计算错误，不符合题意；
C、原式＝2，正确，符合题意；
D、根号下不能是负数，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
42．下列计算正确的是（　　）
A．325 B．532
C．6 D．3
【答案】D
【解答】解：325，故选项A错误，不符合题意；
532，故选项B错误，不符合题意；
6，故选项C错误，不符合题意；
3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
43．计算的结果是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
【答案】B
【解答】解：原式＝[（3）]2024
＝（10﹣9）2024
＝1
，
故选：B．
44．计算：
【答案】1+2．
【解答】解：
2
＝4﹣3+2
＝1+2．
45．先计算3的结果，再确定其结果在哪两个整数之间．
【答案】4；在6和7之间．
【解答】解：原式＝3×45×26
＝12102
＝4，
∵4，36＜48＜49，
∴6＜47，
即其结果在6和7之间．
46．（1）计算．
（2）若y＝x2m+1+2是y关于x的一次函数，求m的值．
【答案】（1）6；
（2）m＝0．
【解答】解：（1）原式
＝4+2
＝6；
（2）∵y＝x2m+1+2是y关于x的一次函数，
∴2m+1＝1，
解得：m＝0．
47．定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝（1）（）
＝5﹣1
＝4；
（2）原式＝（n）（n）
＝2﹣n2．
48．阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出　　 ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　，　 ；
（3）利用上面的解法，请化简：
【答案】（1）；
（2）；
（3）9．
【解答】解：（1）
；
故答案为：．
（2）观察前面例子的过程和结果得：，
故答案为：．
（3）
＝﹣1+10
＝9．
▉题型8 二次根式的应用
【知识点的认识】
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
49．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．20cm B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm，
根据题意得：，
∴，
则图②中两块阴影部分周长和是：
＝20（cm），
∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm．
故选：A．
50．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
51．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，
∴两个正方形的边长分别为，，
∴阴影部分的面积（）2．
故选：A．
52．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设圆的半径为rcm，根据题意得，
，
解得：（负值舍去）．
故选：D．
53．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差求解如下：
∵正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，
∴阴影部分的长，
∴正方形②的边长，
∴正方形①的边长，
∴正方形①的面积为，
故选：D．
54．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为4cm，2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（24）cm，
∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16
＝816﹣12﹣16
＝（﹣12+8）cm2．
故选：D．
55．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．10
【答案】C
【解答】解：∵三角形ABC三边长分别为4，5，6，
∵p，
∴三角形ABC的面积为：，
故选：C．
56．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为　　 cm．
【答案】．
【解答】解：2（cm），
答：该长方形的宽为cm，
故答案为：．
57．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中EK表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为　　 米/秒（结果保留根号）．
【答案】．
【解答】解：由条件可知，
当m＝60kg，EK＝1000J时，（米/秒）．
故答案为：．
58．如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为cm，宽为cm长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为　60πcm2 ．
【答案】60πcm2．
【解答】解：根据长方形面积计算公式进行二次根式的乘法运算可得：
，
故答案为：60πcm2．
59．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为 　12　
【答案】12．
【解答】解：∵图中两个正方形的面积分别为18和50，
∴图中两个正方形的边长分别为：和．
∴图中最大长方形的长为，宽为．
∴图中阴影部分面积为：．
故答案为：12．
60．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式，从60m高空抛物到落地的时间为 　　 s．
【答案】．
【解答】解：当h＝60时，，
故答案为：．第16章 16.2 二次根式的运算
题型1 二次根式的性质与化简 题型2 最简二次根式
题型3 二次根式的乘除法 题型4 分母有理化
题型5 同类二次根式 题型6 二次根式的加减法
题型7 二次根式的混合运算 题型8 二次根式的应用
▉题型1 二次根式的性质与化简
【知识点的认识】
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
1．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：的结果为（　　）
A．a B．﹣3a﹣2b C．﹣a D．a+b
2．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．﹣a B．a C．﹣b D．b
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
6．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．n B．﹣n C．2m﹣n D．﹣2m+n
7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．a﹣2b B．﹣a﹣2b C．﹣2a﹣b D．a+2b
8．化简：　 ．
▉题型2 最简二次根式
【知识点的认识】
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
9．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
11．下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
▉题型3 二次根式的乘除法
【知识点的认识】
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
12．计算：（　　）
A． B．3 C．6 D．9
13．计算的结果为（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
14．若成立，则x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
15．下列各式中，化简结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．若，那么（　　）
A．a≥3 B．a≥0
C．0≤a≤3 D．a为一切正实数
▉题型4 分母有理化
【知识点的认识】
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
17．已知a1，b，则a与b的关系（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
18．若m为实数，在“（2）□m”的“□”中添上一种运算符号（在“+”“﹣”“×”“÷”中选择）后，其运
算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
19．下列式子中，与互为有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
20．已知a，b，那么a与b的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．a是b的平方根
21．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
▉题型5 同类二次根式
【知识点的认识】
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
22．下列二次根式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
23．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
24．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
25．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝（　　）
A．2 B．3 C．0 D．4
26．若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
27．已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．7
28．下列二次根式：①；②；③；④，其中与是同类二次根式的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
29．已知最简二次根式与可以合并，则a的值为 　 　 ．
30．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　 ．
31．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　 ．
32．若最简二次根式能与合并为一项，则x的取值为　 ．
33．最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
▉题型6 二次根式的加减法
【知识点的认识】
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
34．如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x，则x的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．2
35．下列表格中，计算结果为有理数的有（　　）
式子
计算结果 a b c
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
▉题型7 二次根式的混合运算
【知识点的认识】
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
36．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
37．估计的值应在（　　）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
38．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
39．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
40．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
41．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
42．下列计算正确的是（　　）
A．325 B．532
C．6 D．3
43．计算的结果是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
44．计算：
45．先计算3的结果，再确定其结果在哪两个整数之间．
46．（1）计算．
（2）若y＝x2m+1+2是y关于x的一次函数，求m的值．
47．定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
48．阅读下列解题过程：，．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出　　 ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　，　 ；
（3）利用上面的解法，请化简：
▉题型8 二次根式的应用
【知识点的认识】
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
49．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．20cm B．
C． D．
50．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
51．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
52．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（　　）
A． B． C． D．
53．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形①的面积为（　　）
A． B． C． D．
54．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
55．海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．10
56．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为　 cm．
57．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中EK表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，他的体重是60千克，若动能是1000焦耳，则该运动员的跑步速度为　 米/秒（结果保留根号）．
58．如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为cm，宽为cm长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为　 ．
59．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为 　 　
60．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式，从60m高空抛物到落地的时间为 s．

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