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第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
▉题型1 根与系数的关系
【知识点的认识】
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
1．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　）
A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0
【答案】C
【解答】解：∵关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣m＝0，解得m＝0；
又∵Δ＝m2﹣4n≥0，
∴n≤0，
故选：C．
2．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，
∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024，
∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，
∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024）
＝mn
＝2024，
故选：C．
3．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1 x23．
故选：C．
4．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】C
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026．
故选：C．
5．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的根，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】B
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴x1 x2＝﹣3．
故选：B．
6．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1 x2的值是（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+3＝0的二次项系数a＝1，常数项c＝3，
∴x1 x23．
故选：B．
7．已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一根是（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：设方程x2+kx﹣2＝0的另一根是x＝t，
则有：﹣1 t＝﹣2，
∴t＝2．
故选：A．
8．下列方程中两根之和为2的方程是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0
C．3x2﹣6x+1＝0 D．
【答案】C
【解答】解：在方程x2+2x+1＝0中，两根之和等于﹣2，故A不符合题意；
在方程x2﹣x+2＝0中，两根之和等于1，故B不符合题意；
在方程3x2﹣6x+1＝0中，两根之和等于2，故C符合题意；
在方程中，两根之和等于4，故D不符合题意，
故选：C．
9．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣m，
∵2x1＝x2，
∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1，
∴x2＝﹣2，
∴﹣m＝x1 x2＝2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：设方程的两个实数根为x1，x2，
则，
∴，
令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣9，
由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0，
即：，
综上所述：m＝1．
故答案为：1．
11．方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1 x2＝﹣4，则m＝ 　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意可知：x1x2＝2m，
∵x1 x2＝﹣4，
∴2m＝﹣4，解得m＝﹣2
故答案为：﹣2．
12．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝　1　 ．
【答案】1
【解答】解：∵方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，
∴x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，（2k+1）2﹣4k2≥0，即k，
∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k+1）2﹣2k2＝7，
整理得：2k2+4k﹣6＝0，
分解因式得：（2k+6）（k﹣1）＝0，
解得：k＝﹣3（不符合题意，舍去）或k＝1，
故答案为：1
13．若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　﹣6　 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，另一根为x1，
∴x1+2＝﹣4，
解得，x1＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k，
综合以上可知实数k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
16．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为0和﹣3，则p＝　﹣3　 ．q＝　0　 ．
【答案】﹣3；0
【解答】解：设关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为x1、x2．则
x1+x2＝﹣3＝p，即p＝﹣3；
x1 x2＝0＝q，即q＝0；
故答案为：﹣3、0．
17．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α β＝　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，
∴α+β＝2；αβ＝﹣1．
则α+β+α β＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
18．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝　2015　 ．
【答案】2015．
【解答】解：∵设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2018．
∴a+b﹣ab＝﹣3﹣（﹣2018）＝2015，
故答案为：2015．
19．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　2031　 ．
【答案】2031．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，
∴，x1+x2＝﹣3，
∴．
所以的值为2031，
故答案为：2031．
20．若a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则2a﹣ab+2b的值为　10　 ．
【答案】10．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，
∴ab＝﹣6，a+b＝2，
∴原式＝2（a+b）﹣ab＝2×2﹣（﹣6）＝4+6＝10，
∴值为10．
故答案为：10．
21．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝m．
∵x1+x2﹣x1x2＝3﹣m＝2，
∴m＝1．
故答案为1．
22．已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x23．
故答案为：3．
23．已知实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，
∴a+b＝2，ab＝﹣3，
∴，
故答案为：．
24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2，
∴，
∵关于x的方程ax2+bx+2＝0是“邻近根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴，
∴，
∴，
整理得：b2＝a2+8a，
∴t＝b2﹣4a2
＝a2+8a﹣4a2
＝﹣3a2+8a
，
∵﹣3＜0，
∴，
故答案为：．
25．对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：由x2﹣8x+16＝0得x1＝x2＝4，
根据定义，x1*x2＝4*4＝4×4﹣42＝0，
故答案为：0．
26．已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2＝﹣2，
∴x1﹣x1 x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x22；
故答案为：．
27．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是m，n，且m2+n2＝2，试求k的值．
【答案】（1）k≤1；（2）k＝1．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，
∴k≤1；
（2）根据根与系数的关系可得m+n＝2，mn＝2k﹣1，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝22﹣2（2k﹣1）
＝4﹣4k+2
＝6﹣4k，
由题意得6﹣4k＝2，
解得k＝1，
∵k≤1，
∴所求k＝1．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）不解方程，说明此方程的根的情况；
（2）设此方程的两个实数根分别是x1，x2，且满足，求m的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）m的值为﹣2或1．
【解答】解：（1）在方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0中，
c＝m2+m，a＝1，b＝﹣2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
即Δ＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
（2）∵此方程的两个实数根分别是x1，x2，
∴，，
∴，
即
＝（2m+1）2﹣2（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣2m2﹣2m
＝2m2+2m+1，
又∵，
得方程2m2+2m+1＝5，
化简得m2+m﹣2＝0，
解得m＝﹣2或m＝1．
29．阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．
材料2：已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2＝　﹣2　 ，x1x2＝　　 ．
（2）类比探究：已知实数m、n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求的值．
【答案】（1）﹣2；；（2）；（3）﹣1．
【解答】解：（1），；
故答案为﹣2；；
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，，
∴；
（3）把t2+7t+7＝0变形为7 （）2+7 1＝0，
实数s和可看作方程7x2+7x+1＝0的两根，
∴s1，s ，
∴
＝2s+7
＝2（s）+7
＝2×（﹣1）+7
＝﹣1．
30．材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则x＝a或x＝b，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：x1＝a，x2＝b．
如：方程可写成，所以此方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝1．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）方程的两个解为：x1＝　﹣2　 ，x2＝　﹣4　 ；
（2）若方程的两个解为x1＝m，x2＝n，求的值；
（3）若关于x的方程的两个解x1，x2满足，求t的值．
【答案】（1）﹣2，﹣4；（2）﹣14；（3）t．
【解答】解：（1）由题意，∵方程为，
∴x（﹣2）+（﹣4）．
∴方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝﹣4．
故答案为：﹣2，﹣4．
（2）由题意，∵方程的两个解为x1＝m，x2＝n，
∴mn＝﹣2，m+n＝5．
∴
＝﹣14．
（3）由题意，∵方程为，
∴x+15t﹣5，即x+1t+4t﹣5．
∴x1+1＝t，x2+1＝4t﹣5或x1+1＝4t﹣5，x2+1＝t．
∴x1＝t﹣1，x2＝4t﹣6或x1＝4t﹣6，x2＝t﹣1．
∴2x1+x2＝2（t﹣1）+4t﹣6＝6t﹣8或2x1+x2＝2（4t﹣6）+t﹣1＝9t﹣13．
又∵，
∴6t﹣8或9t﹣13．
∴t或t．
又∵t，x2+1＝4t﹣5＝0，
∴不合题意．
综上，t．
31．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　6　 ；x1 x2＝ 　﹣15　 ；
（2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值；
（3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1 x2﹣3，求m的值．
【答案】（1）6，﹣15；
（2）4；
（3）3．
【解答】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝6；x1 x2＝﹣15；
故答案为：6，﹣15；
（2）根据根与系数的关系得x1+x22，x1 x2，
所以4；
（3）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，
解得m，
根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1 x2＝m2+1，
∵x1+x2＝x1 x2﹣3，
∴2m+1＝m2+1﹣3，
整理得m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
∵m，
∴m的值为3．
32．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）k≤2；
（2）k＝2．
【解答】解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0，
解得k≤2；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，x2x1+k﹣1＝0，
∴x2x1﹣k+1，
∵，
∴，
∴，
解得k＝2或5，
由（1）知k≤2，则k＝2．
33．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0的两个实数根．
（1）当关于x的方程的一个根是x1＝﹣2时，求m的值；
（2）当m＝1时，求代数式的值．
【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）将x＝﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣m×（﹣2）﹣1＝0，
解得：m，
∴m的值为；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣1＝0，
∵x1，x2是关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12﹣2×（﹣1）＝3．第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型1 根与系数的关系
▉题型1 根与系数的关系
【知识点的认识】
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
1．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　）
A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0
2．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
4．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
5．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的根，则x1 x2的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1 x2的值是（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
7．已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一根是（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
8．下列方程中两根之和为2的方程是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0
C．3x2﹣6x+1＝0 D．
9．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　 　 ．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　 　 ．
11．方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1 x2＝﹣4，则m＝ 　 　 ．
12．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝　 ．
13．若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　 　 ．
14．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）＝　 ．
15．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　 ．
16．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为0和﹣3，则p＝　 　 ．q＝　 　 ．
17．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α β＝　 　 ．
18．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝ 　 ．
19．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　 ．
20．若a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则2a﹣ab+2b的值为　 　 ．
21．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是　 　 ．
22．已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 　 　 ．
23．已知实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则的值为 　 ．
24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　 ．
25．对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 　 ．
26．已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ．
27．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是m，n，且m2+n2＝2，试求k的值．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）不解方程，说明此方程的根的情况；
（2）设此方程的两个实数根分别是x1，x2，且满足，求m的值．
29．阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．
材料2：已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝ 　 ．
（2）类比探究：已知实数m、n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求的值．
30．材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则x＝a或x＝b，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：x1＝a，x2＝b．
如：方程可写成，所以此方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝1．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）方程的两个解为：x1＝　 ，x2＝　 　 ；
（2）若方程的两个解为x1＝m，x2＝n，求的值；
（3）若关于x的方程的两个解x1，x2满足，求t的值．
31．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ；x1 x2＝ 　 　 ；
（2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值；
（3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1 x2﹣3，求m的值．
32．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
33．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0的两个实数根．
（1）当关于x的方程的一个根是x1＝﹣2时，求m的值；
（2）当m＝1时，求代数式的值．

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