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第11章第2节 二次根式的乘除
题型1 最简二次根式 题型2 二次根式的乘除法
题型3 分母有理化
▉题型1 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
5．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．
6．计算的结果为（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
7．若，，则下列表示正确的是（　　）
A．5m B．5n C．5mn D．
8．下列等式中，能够成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．下式中正确的是（　　）
A．5 B．5
C． D．5
10．计算：　　 ．
11．计算：　　 ．
12．计算 （a≥0）的结果是　 ．
13．若，且a+b＝2，整数a的值可以是　　 （写出一个即可）．
▉题型3 分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
14．在下列根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
15．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
16．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
17．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　）
A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷
18．2的一个有理化因式是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
19．比较大小： 　　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
20．对于有理数a和b，定义了一种新运算：，例如，则3※为 　　 ．
21．化简：
①；
②；
③．第11章第2节 二次根式的乘除
题型1 最简二次根式 题型2 二次根式的乘除法
题型3 分母有理化
▉题型1 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、|y|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，则不是最简二次根式，不符合题意；
C、，则不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
▉题型2 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
5．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，得：，
∴，
故选：B．
6．计算的结果为（　　）
A．﹣6 B． C． D．6
【答案】B
【解答】解：原式．
故选：B．
7．若，，则下列表示正确的是（　　）
A．5m B．5n C．5mn D．
【答案】B
【解答】解：55n，
故选：B．
8．下列等式中，能够成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A、44，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、30，故此选项符合题意；
D、是最简二次根式，不能化简，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．下式中正确的是（　　）
A．5 B．5
C． D．5
【答案】D
【解答】解：无意义，则A不符合题意，
（）2＝5，则B不符合题意，
5，则C不符合题意，
（）2＝5，则D符合题意，
故选：D．
10．计算：　　 ．
【答案】．
【解答】解：
，
故答案为：．
11．计算：　　 ．
【答案】
【解答】解：，
故答案为：．
12．计算 （a≥0）的结果是　8a ．
【答案】8a．
【解答】解：原式
＝8a，
故答案为：8a．
13．若，且a+b＝2，整数a的值可以是　0（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）．
【解答】解：根据题意得a≥0，b≥0且a+b＝2，
∴整数a的值可以是0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
▉题型3 分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
14．在下列根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：2，则A不符合题意，
，则B不符合题意，
是最简二次根式，则C符合题意，
，则D不符合题意，
故选：C．
15．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，② 1，③b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①，原计算错误；
② 1，正确；
③b，正确．
故选：B．
16．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A.是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B.，所以不是最简二次根式，因此选项B不符合题意；
C.3，所以不是最简二次根式，因此选项C不符合题意；
D.，所以不是最简二次根式，因此选项D不符合题意．
故选：A．
17．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　）
A．+或× B．×或÷ C．+或﹣ D．﹣或÷
【答案】A
【解答】解：，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是：+或×，
故选：A．
18．2的一个有理化因式是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：A． （2）＝6﹣2，那么不是2的一个有理化因式，故A不符合题意．
B．根据二次根式的乘法法则，2不是2的一个有理化因式，故B不符合题意．
C．（2）（2）＝6﹣4＝2，2是2的一个有理化因式，故C符合题意．
D．根据二次根式的乘法法则，2不是2的一个有理化因式，故D不符合题意．
故选：C．
19．比较大小： 　＜　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜．
【解答】解：，，
∵，
∴，
故答案为：＜．
20．对于有理数a和b，定义了一种新运算：，例如，则3※为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得：，
即3※为．
故答案为：．
21．化简：
①；
②；
③．
【答案】①；
②；
③．
【解答】解：①；
②；
③．

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