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第8章 8.4 因式分解
题型1 因式分解的意义 题型2 因式分解-提公因式法
题型3 因式分解-运用公式法 题型4 提公因式法与公式法的综合运用
题型5 因式分解-十字相乘法等 题型6 因式分解的应用
▉题型1 因式分解的意义
【知识点的认识】
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2y+xy2＝xy（x+y）
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
▉题型2 因式分解-提公因式法
【知识点的认识】
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．计算（﹣2）2021+（﹣2）2020的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣22020 C．22020 D．2
▉题型3 因式分解-运用公式法
【知识点的认识】
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
4．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
5．分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
6．因式分解：a2+4a+4＝　 ．
7．若（﹣7m+A）（4n+B）＝16n2﹣49m2，则A＝　 ，B＝　 ．
▉题型4 提公因式法与公式法的综合运用
【知识点的认识】
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
8．分解因式：3a2﹣12a+12＝　 ．
9．因式分解：
（1）6a﹣3a2b＝　 　 ；
（2）m3﹣4m＝ 　 ；
（3）x2﹣10x+25＝　 ；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝　 　 ．
10．因式分解：
（1）9a（x﹣y）+3b（x﹣y）；
（2）4xy3﹣x3y；
（3）2a3﹣4a2b+2ab2；
（4）（x﹣y）2+4xy．
▉题型5 因式分解-十字相乘法等
【知识点的认识】
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
11．因式分解：
（1）4x2﹣20xy+25y2；
（2）x2﹣11x+28；
（3）x3﹣x；
（4）（y﹣x）2+6（x﹣y）+9．
12．已知x2+3x+2可以分解成（x+2）（x+1），对照模型将x2+ax+b分解时，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结是（x﹣2）（x﹣3），求a+b的值．
▉题型6 因式分解的应用
【知识点的认识】
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
13．已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（　　）
A．﹣5 B．4 C．5 D．25
14．已知：a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
16．利用因式分解简便计算57×99+44×99﹣99正确的是（　　）
A．99×（57+44）＝99×101＝9999
B．99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900
C．99×（57+44+1）＝99×102＝10098
D．99×（57+44﹣99）＝99×2＝198
17．若a2+2a﹣4＝0，则代数式a3+5a2+2a+1＝　 　 ．
18．若x2+x﹣1＝0，则x3+2x2+2025＝　 　 ．
19．若x2﹣x﹣1＝0，则代数式﹣x3+2x2+2023的值为 　 　 ．
20．已知m，n同时满足m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1，则m2﹣4n2的值是 　 　 ．
21．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＝4，则称这个正整数为“师一优数”．例如，5﹣1＝4，24＝52﹣12，24就是一个师一优数．若将师一优数从小到大排列，则第3个师一优数是 　 ；第251个师一优数是 　 　 ．
22．已知：a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+1＝　 ．
23．三个字母a、b、c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4且a2+b2+c2＝37，ab+bc+ac的值为 　 　 ．
24．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数：若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[1.5]＝0.5，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+2，则代数式（b﹣a）2﹣3a+3b的值为 　 　 ．
25．已知x2﹣3x﹣1＝0，则多项式x3﹣x2﹣7x+5的值为　 ．
26．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
（1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为 ；
（2）若（2025﹣y）（2y﹣4043）＝2，求代数式4（2025﹣y）2+（2y﹣4043）2的值；
（3）观察图3，
①从图3中得到（a+2b+c）2＝ ；
②根据得到的结论，解决问题：已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，abc，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值．
27．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5．
解：原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．
解：a2+6a+5＝a2+2a 3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4，
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2；
（2）将x2﹣3x+66变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣3x+66的最小值；
【探究】若M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
28．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13＝32+22所以13是“完美数”．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　 ；
判断：45 　 　 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知s＝x2+4y2﹣6x+4y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
（3）如果数m，n都是“完美数”，m≠n，试说明mn也是“完美数”．
29．通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图2所表示的数学等式为　 ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20、求出阴影部分的面积．
30．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y；
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
31．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
32．阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值．
解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0，
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，
∴y＝4，x＝4．
根据你的观察，探究下列问题：
已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值．第8章 8.4 因式分解
题型1 因式分解的意义 题型2 因式分解-提公因式法
题型3 因式分解-运用公式法 题型4 提公因式法与公式法的综合运用
题型5 因式分解-十字相乘法等 题型6 因式分解的应用
▉题型1 因式分解的意义
【知识点的认识】
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2y+xy2＝xy（x+y）
【答案】D
【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下：
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B．该等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
D．x2y+xy2＝xy（x+y），是因式分解，符合题意．
故选：D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【答案】B
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
▉题型2 因式分解-提公因式法
【知识点的认识】
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．计算（﹣2）2021+（﹣2）2020的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣22020 C．22020 D．2
【答案】B
【解答】解：（﹣2）2021+（﹣2）2020
＝（﹣2）2020×（﹣2+1）
＝﹣22020．
故选：B．
▉题型3 因式分解-运用公式法
【知识点的认识】
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
4．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：当x+y＝3，x﹣y＝1时，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，
故选：C．
5．分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【答案】A
【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故选：A．
6．因式分解：a2+4a+4＝　（a+2）2 ．
【答案】（a+2）2
【解答】解：原式＝（a+2）2，
故答案为：（a+2）2．
7．若（﹣7m+A）（4n+B）＝16n2﹣49m2，则A＝　4n ，B＝　7m ．
【答案】4n；7m
【解答】解：∵（﹣7m+A）（4n+B）＝16n2﹣49m2，
∵16n2﹣49m2＝（4n+7m）（4n﹣7m），
∴A＝4n，B＝7m，
故答案为：4n，7m．
▉题型4 提公因式法与公式法的综合运用
【知识点的认识】
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
8．分解因式：3a2﹣12a+12＝　3（a﹣2）2 ．
【答案】3（a﹣2）2
【解答】解：原式＝3（a2﹣4a+4）
＝3（a﹣2）2．
故答案为：3（a﹣2）2．
9．因式分解：
（1）6a﹣3a2b＝　3a（2﹣ab）　 ；
（2）m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）　 ；
（3）x2﹣10x+25＝　（x﹣5）2 ；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝　（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）　 ．
【答案】（1）3a（2﹣ab）；
（2）m（m+2）（m﹣2）；
（3）（x﹣5）2；
（4）（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【解答】解：（1）6a﹣3a2b＝3a（2﹣ab），
故答案为：3a（2﹣ab）；
（2）m3﹣4m＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）；
（3）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，
故答案为：（x﹣5）2；
（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b），
故答案为：（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
10．因式分解：
（1）9a（x﹣y）+3b（x﹣y）；
（2）4xy3﹣x3y；
（3）2a3﹣4a2b+2ab2；
（4）（x﹣y）2+4xy．
【答案】（1）3（x﹣y）（3a+b）；（2）xy（2y+x）（2y﹣x）；（3）2a（a﹣b）2；（4）（x+y）2．
【解答】解：（1）原式＝3（x﹣y）（3a+b）；
（2）原式＝xy（4y2﹣x2）
＝xy（2y+x）（2y﹣x）；
（3）原式＝2a（a2﹣2ab+b2）
＝2a（a﹣b）2；
（4）原式＝x2﹣2xy+y2+4xy
＝x2+2xy+y2
＝（x+y）2．
▉题型5 因式分解-十字相乘法等
【知识点的认识】
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
11．因式分解：
（1）4x2﹣20xy+25y2；
（2）x2﹣11x+28；
（3）x3﹣x；
（4）（y﹣x）2+6（x﹣y）+9．
【答案】（1）（2x﹣5y）2；（2）（x﹣4）（x﹣7）；（3）x（x+1）（x﹣1）；（4）（x﹣y+3）2．
【解答】解：（1）4x2﹣20xy+25y2
＝（2x﹣5y）2．
（2）x2﹣11x+28
＝（x﹣4）（x﹣7）．
（3）x3﹣x
＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）．
（4）（y﹣x）2+6（x﹣y）+9
＝（x﹣y）2+6（x﹣y）+9
＝（x﹣y+3）2．
12．已知x2+3x+2可以分解成（x+2）（x+1），对照模型将x2+ax+b分解时，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结是（x﹣2）（x﹣3），求a+b的值．
【答案】﹣11．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，甲看错了a值，
∴b＝﹣6，
∵（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，乙看错了b值，
∴a＝﹣5，
∴a+b＝﹣5+（﹣6）＝﹣11．
▉题型6 因式分解的应用
【知识点的认识】
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
13．已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（　　）
A．﹣5 B．4 C．5 D．25
【答案】A
【解答】解：因为x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
所以原式＝﹣1×5＝﹣5．
故选：A．
14．已知：a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：∵a＝2017x+2015，b＝2017x+2016，c＝2017x+2017，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
则原式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]6＝3，
故选：D．
15．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
16．利用因式分解简便计算57×99+44×99﹣99正确的是（　　）
A．99×（57+44）＝99×101＝9999
B．99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900
C．99×（57+44+1）＝99×102＝10098
D．99×（57+44﹣99）＝99×2＝198
【答案】B
【解答】解：57×99+44×99﹣99，
＝99×（57+44﹣1），（提公因式法）
＝99×100，
＝9 900．
故选：B．
17．若a2+2a﹣4＝0，则代数式a3+5a2+2a+1＝　13　 ．
【答案】13．
【解答】解：∵a2+2a﹣4＝0，则a≠0，
∴a2+2a＝4，a3+2a2＝4a，
∴a3+5a2+2a+1＝a3+2a2+3a2+2a+1
＝4a+3a2+2a+1
＝3（a2+2a）+1
＝3×4+1
＝13；
故答案为：13．
18．若x2+x﹣1＝0，则x3+2x2+2025＝　2026　 ．
【答案】2026．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x3+2x2+2025
＝x3+x2+x2+2025
＝x（x2+x）+x2+2025
＝x+x2+2025
＝1+2025
＝2026，
故答案为：2026．
19．若x2﹣x﹣1＝0，则代数式﹣x3+2x2+2023的值为 　2024　 ．
【答案】2024．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴﹣x3+2x2+2023
＝﹣x（x2﹣x）+x2+2023
＝x2﹣x+2023
＝1+2023
＝2024
故答案为：2024．
20．已知m，n同时满足m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1，则m2﹣4n2的值是 　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：∵m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1，
∴m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）＝5×（﹣1）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
21．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＝4，则称这个正整数为“师一优数”．例如，5﹣1＝4，24＝52﹣12，24就是一个师一优数．若将师一优数从小到大排列，则第3个师一优数是 　40　 ；第251个师一优数是 　2024　 ．
【答案】40，2024．
【解答】解：由题知，
令满足“师一优数”的两个正整数分别为a和a﹣4，
则“师一优数”可表示为：a2﹣（a﹣4）2＝（a+a﹣4）（a﹣a+4）＝8（a﹣2），
又因为a﹣4＞0，
所以a＞4，且a为正整数，
则当a＝5时，第1个“师一优数”为24；
当a＝6时，第2个“师一优数”为32；
当a＝7时，第3个“师一优数”为40；
…，
由此可见，第n个“师一优数”可表示为：8（n+2），
当n＝251时，
8（n+2）＝2024，
即第251个“师一优数”为2024．
故答案为：40，2024．
22．已知：a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+1＝　10　 ．
【答案】10．
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴a2﹣b2﹣6b+1
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b+1
＝3（a+b）﹣6b+1
＝3a﹣3b+1
＝3（a﹣b）+1
＝3×3+1
＝10，
故答案为：10．
23．三个字母a、b、c可取任意实数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4且a2+b2+c2＝37，ab+bc+ac的值为 　﹣18　 ．
【答案】﹣18．
【解答】解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
把a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4及a2+b2+c2＝37代入，
可得：2（ab+bc+ac）+37＝1，
所以ab+bc+ac＝﹣18．
故答案为：﹣18．
24．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数：若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[1.5]＝0.5，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+2，则代数式（b﹣a）2﹣3a+3b的值为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：根据题意得，a﹣1＝b+1+2，则b﹣a＝﹣4，
∴（b﹣a）2﹣3a+3b＝（b﹣a）2+3（b﹣a）＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
25．已知x2﹣3x﹣1＝0，则多项式x3﹣x2﹣7x+5的值为　7　 ．
【答案】7
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x3﹣x2﹣7x+5＝（x2﹣3x﹣1）（x+2）+7＝7；
故答案为：7．
26．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．
（1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为 　　 ；
（2）若（2025﹣y）（2y﹣4043）＝2，求代数式4（2025﹣y）2+（2y﹣4043）2的值；
（3）观察图3，
①从图3中得到（a+2b+c）2＝ a2+4b2+c2+2ac+4ab+4bc ；
②根据得到的结论，解决问题：已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，abc，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值．
【答案】（1）；（2）41；（3）①a2+4b2+c2+2ac+4ab+4bc；②26．
【解答】解：（1）若2a+b＝6，4a2+b2＝24，
所以（2a+b）2＝62＝36，
即4a2+4ab+b2＝36，
4ab＝36﹣24＝12，
所以ab＝3，
图中阴影部分的面积是：．
故答案为：．
（2）因为（2025﹣y）（2y﹣4043）＝2，
所以有：
4（2025﹣y）2+（2y﹣4043）2
＝[2（2025﹣y）]2+（2y﹣4043）2
＝（4050﹣2y）2+（2y﹣4043）2
＝（4050﹣2y+2y﹣4043）2﹣2（4050﹣2y）×（2y﹣4043）
＝49﹣2×2×（2025﹣y）（2y﹣4043）
＝49﹣2×2×2
＝49﹣8
＝41．
（3）①（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+2ac+4ab+4bc．
故答案为：a2+4b2+c2+2ac+4ab+4bc．
②因为a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，abc，
所以（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+2ac+4ab+4bc，
即52＝13+2ac+4ab+4bc，
所以2ac+4ab+4bc＝12，
所以ac+2ab+2bc＝6，
因为（ac+2ab+2bc）2＝a2c2+4a2b2+4b2c2+4a2bc+4abc2+8ab2c＝36，
4a2b2+a2c2+4b2c2
＝36﹣（4a2bc+4abc2+8ab2c）
＝36﹣4abc（a+2b+c）
＝26．
27．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5．
解：原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）．
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．
解：a2+6a+5＝a2+2a 3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4，
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣12x+　36　 ＝（x﹣　6　 ）2；
（2）将x2﹣3x+66变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣3x+66的最小值；
【探究】若M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
【答案】【应用】（1）36，6；（2）．
【探究】M＞N．
【解答】解：【应用】（1）x2﹣12x+36＝（x﹣6）2，
故答案为：36，6．
（2）x2﹣3x+66
＝x2﹣3x
，
因为，
所以，
所以当时，x2﹣3x+66的最小值是．
【探究】
因为M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a，
M﹣N
＝5a2+9a+6﹣（4a2+5a）
＝5a2+9a+6﹣4a2﹣5a
＝a2+4a+6
＝a2+4a+4+2
＝（a+2）2+2，
因为（a+2）2≥0，
有（a+2）2+2＞0，
所以M﹣N＞0，
所以M＞N．
28．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13＝32+22所以13是“完美数”．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　5（答案不唯一）　 ；
判断：45 　是　 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知s＝x2+4y2﹣6x+4y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
（3）如果数m，n都是“完美数”，m≠n，试说明mn也是“完美数”．
【答案】（1）5（答案不唯一），是；
（2）k＝10；
（3）见解答．
【解答】解：（1）∵5＝22+12，
∴5是“完美数”，
∵45＝32+62，
∴45是“完美数”；
故答案为：5（答案不唯一），是；
（2）∵s＝x2+4y2﹣6x+4y+k
＝（x2﹣6x+9）+（4y2+4y+1）+k﹣10
＝（x﹣3）2+（2y+1）2+k﹣10，
∵s为“完美数”，
∴k﹣10＝0，
∴k＝10；
（3）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，
∴mn＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
∴mn是完美数．
29．通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图2所表示的数学等式为　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20、求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）45；
（3）20．
【解答】解：（1）由题意得：正方形的面积＝边长×边长＝各个部分面积的和，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴112＝a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2＝45．
（3）由题意得：S阴＝S△BCD+S正CEFG﹣S△BGF，
∴S阴a2+b2（a+b）b（a2﹣ab+b2）（a2+2ab+b2﹣3ab）（a+b）2ab．
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴10220＝20．
答：阴影部分的面积为20．
30．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y；
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
31．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
x3+5x2+5x+18
＝x（x2+3x）+2x2+5x+18
＝x+2x2+5x+18
＝2（x2+3x）+18
＝2+18
＝20．
32．阅读材料：若x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，求x、y的值．
解：∵x2﹣2xy+2y2﹣8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣8y+16）＝0，
∴（x﹣y）2+（y﹣4）2＝0，
∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，
∴y＝4，x＝4．
根据你的观察，探究下列问题：
已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴1＜c＜5，
∵c为正整数，
∴c＝2或3或4．

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