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9.3 分式方程
题型1 分式方程的解 题型2 解分式方程
题型3 分式方程的增根 题型4 由实际问题抽象出分式方程
题型5 分式方程的应用
▉题型1 分式方程的解
【知识点的认识】
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
1．若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数a之和为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，，
解得：a＞﹣5，
，
解得：，
∵关于y的分式方程方程有整数解，
∴a+1＝±1或a+1＝±2或a+1＝±4，
解得：a＝0或a＝﹣2或a＝1或a＝﹣3或a＝3或a＝﹣5，
∵，
∴a≠﹣3，
∵a＞﹣5，
∴a＝0或a＝﹣2或a＝1或a＝3，
∴满足条件的整数a之和为0+（﹣2）+1+3＝2．
故选：C．
2．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k＜﹣9 C．k＞﹣9且k≠6 D．k＞6且k≠9
【答案】C
【解答】解：
去分母，得：k﹣1＝2（x﹣5）+x，
解得：，
∵解为正数，
∴x＞0，
∴x＞0，
∴，
解得：k＞﹣9，
∵x﹣5≠0，
∴x≠5，
∴，
∴k≠6，
∴k的取值范围是k＞﹣9且k≠6，
故选：C．
3．如果关于x的分式方程3有非负整数解，关于y的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的m的和是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：去分母得：x﹣m﹣1＝3x﹣6，
解得：x，
由解为非负整数解，得到0，且2，即m≤5且m≠1，
不等式组整理得：，
由不等式组只有2个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，即﹣10，
解得：2≤m＜6，
则符合题意m＝3，5（当m＝2或4时，原分式方程没有整数解，舍），之和为8，
故选：C．
4．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
【答案】B
【解答】解：去分母得，a＝x+1，
∴x＝a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选：B．
5．若关于x的不等式组有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且仅有五个整数解，得到﹣10，
解得：﹣4≤a＜3，
3，
分式方程去分母得：x+a﹣2＝3x﹣3，
解得：x，
∵关于x的分式方程3的解为整数，
∴为整数，且1≠0，
解得：a+1是2的倍数，且a≠1．
则所有满足条件的a为：﹣3，﹣1，
∴所有满足条件的a和为：﹣4．
故答案为：﹣4．
▉题型2 解分式方程
【知识点的认识】
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设撕坏的一角■＝x，则原式可表示为：根据图片信息列出方程可得：
，
，
，
，
，
故选：A．
7．当x＝　﹣4　 时，分式的值为2．
【答案】﹣4．
【解答】解：由题意得2，
去分母得：x﹣2＝2x+2，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，x+1≠0，
则x＝﹣4时，分式的值为2，
故答案为：﹣4．
8．若9＝0，那么　6　 ．
【答案】6
【解答】解：方程的两边同乘x2，得
1﹣6x+9x2＝0，
解得x．
检验：把x代入x20．
∴原方程的解为：x．
∴6，
故答案为6．
9．解分式方程：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2＝x2﹣4﹣x2﹣2x，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
10．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝4；
（2）x．
【解答】解：（1）原方程去分母得：2x+1＝3x﹣3，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
故原方程的解为x＝4；
（2）原方程去分母得：2x（5x﹣2）+5（2x+5）＝（2x+5）（5x﹣2），
整理得：6x+25＝21x﹣10，
解得：x，
检验：当x时，（2x+5）（5x﹣2）≠0，
故原方程的解为x．
11．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）﹣30；（2）原方程的解为x＝11．
【解答】解：（1）
＝1+1﹣32
＝﹣30；
（2），
去分母，得3（x﹣1）＝2（x+4），
去括号，得3x﹣3＝2x+8，
移项，得3x﹣2x＝8+3，
解得x＝11，
经检验，x＝11是原方程的解，
∴原方程的解为x＝11．
12．计算：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x＝1；
（2）x＜﹣1．
【解答】解：（1），
方程两边同时乘（2x﹣3），得x﹣5＝4（2x﹣3），
去括号，得x﹣5＝8x﹣12，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2），
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x≤8，
∴不等式组的解集为x＜﹣1．
13．以下是某同学解分式方程的部分过程：
解：整理，得第一步 去分母，得…
（1）该同学解法中第一步的依据是 　分式的基本性质　 ；
（2）将该同学的解答过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质；（2）见解析．
【解答】解：（1）该同学解法中第一步的依据是：分式的基本性质；
故答案为：分式的基本性质；
（2）方程两边同乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：，
检验：当时，x﹣2≠0，
∴是原方程的解．
14．解方程：（1）；
（2）．
【答案】（1）分式方程无解；
（2）x＝﹣3．
【解答】解：（1），
方程两边都乘4﹣x，得x﹣1＝3+8﹣2x，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
所以x＝4是增根，
即分式方程无解；
（2），
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x（x﹣1）﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣3是分式方程的解．
▉题型3 分式方程的增根
【知识点的认识】
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
15．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：，
去分母，得：m＝m（x+5）﹣1，即：，
∵有增根，
∴x+5＝0，即：，解得：m＝﹣1，
故选：C．
▉题型4 由实际问题抽象出分式方程
【知识点的认识】
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
16．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．x+（x﹣2）＝1.2
【答案】C
【解答】解：依题意得，
故选：C．
17．为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则设B型单车每辆车的价格为（x﹣30）元，
由题意得，，
故选：A．
18．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要x小时，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，且甲制作一件手工艺品需要x小时，
∴乙制作一件手工艺品需要（x﹣4）小时．
根据题意得：．
故选：C．
19．小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多0.5度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了20千米，且A款一共消耗了30度电，B款一共消耗了29度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是（x﹣0.5）度，
依题意得，，
故选：D．
20．某鲜牛奶加工厂的生产车间原有38人，包装车间原有42人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调x人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是 　　 ．
【答案】
【解答】解：根据题意得，
．
故答案为：
21．某校组织学生进行劳动实践活动，用500元购进甲种劳动工具，用1200元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具的数量是甲种的2倍，且单价贵了4元，设甲种劳动工具的单价为x元，则x满足的方程为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设甲种劳动工具的单价为x元，则乙种劳动工具的单价是（x+4）元，
由题意可得，，
故答案为：．
22．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　30　 ．
【答案】30．
【解答】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，
∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米．
依题意，得：30．
故答案为：30．
23．李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共1h，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲：1
乙：9
①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义：
甲：x表示 　李维步行速度　 ；
乙：y表示 　李维步行的时间　 ；
②补全甲、乙两人所列的方程；
（2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）．
【答案】（1）①李维步行速度，李维步行的时间；②1，9；
（2）李维步行的速度为6km/h．
【解答】解：（1）①甲所列方程中x表示李维步行速度，
乙所列方程中y表示李维步行的时间，
故答案为：李维步行速度，李维步行的时间；
②甲所列方程为1，
乙所列方程为9；
（2）设李维步行速度为xkm/h，则公交车行驶速度为9xkm/h，
根据题意，得：1，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
答：李维步行的速度为6km/h．
▉题型5 分式方程的应用
【知识点的认识】
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
24．甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（　　）
A．10小时 B．12小时 C．14小时 D．16小时
【答案】D
【解答】解：设乙单独完成任务需x小时，甲单独完成任务需（x+4）小时，
由题意，得，
解这个方程，得x＝16．
经检验，x＝16是原方程的解．
所以乙单独完成这项任务需要16小时．
故选：D．
25．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（　　）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
【答案】B
【解答】解：设现在孙子的年龄是x岁，根据题意得
，
解得x＝12，
即现在孙子的年龄是12岁．
故选：B．
26．某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x+10）元．
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，
∴x+10＝50．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（200﹣a）件，
根据题意得：（45﹣40）a+（60﹣50）（200﹣a）≥1600，
解得：a≤80．
答：A种纪念品最多购进80件．
27．我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若又甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工1天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，求甲、乙两队最多合作多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙单独完成需x天
由题意得，
解得 x＝90，
经检验x＝90是分式方程的解，
答：乙单独约需90天．
（2）设甲、乙两队合作a天，
∵甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天，
∴甲、乙两队合作一天完成工程的，
∴3.5a+2[a+90（1）]≤186
解得：a≤12，
∴a的最大值为12，
答：最多合做12天．
28．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．
（1）求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？
（2）根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨a%，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调a%，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值．
【答案】（1）2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米；
（2）10．
【解答】解：（1）设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米，
依题意得：，
解得：，
答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米；
（2）依题意得：1.6（1+a%）×（9400﹣200）+1.6（1a%）×（8600+900）＝32437，
解得：a＝10．
答：a的值为10．
29．“安庆是我家，创建靠大家”．在去年争创全国文明城市的活动中，我市“青年志愿团”决定义务清除重达120吨的垃圾．开工后，附近居民主动参加到义务活动中，使得清除垃圾的速度是原计划的2.5倍，结果提前4小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时清除多少吨垃圾．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设“青年志愿团”原计划每小时清除x吨垃圾，
根据题意得4，
解得x＝18．
经检验x＝18是原分式方程的根．
答：“青年志愿团”原计划每小时清除18吨垃圾．
30．为了开展“红色教育”主题学习活动，提高学生的爱国主义意识，某校周末组织学生去太原解放纪念馆研学，已知该校到纪念馆全程共140km，由于天气原因，校车的平均速度比平时正常行驶的平均速度少20km/h，而所用时间是平时正常行驶所用时间的，求校车平时正常行驶的速度．
【答案】该校车平时正常行驶的速度是70km/h．
【解答】解：设校车平时正常行驶的速度为xkm/h，则校车这次的平均速度为（x﹣20）km/h，
根据题意得，
解得x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，
答：该校车平时正常行驶的速度是70km/h．
31．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；
信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x天．
由题意可列：
解得：x＝40
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲队单独完成这项工程需要40天；
（2）
因为：
全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）×24＝132万元
单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5＝140万元
单独用乙队完成这项工程需要：60×2＝120万元，但60＞50．
所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．
32．甲、乙两辆客车分别从相距40千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了25千米，如果乙车每小时比甲车多走2千米，求甲乙两车速度．
【答案】甲车的速度是3千米/小时，乙车的速度是5千米/小时．
【解答】解：设甲车每小时行驶x千米，乙车每小时行驶（x+2）千米，
由题意：，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝5，
答：甲车的速度是3千米/小时，乙车的速度是5千米/小时．
33．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，
依题意，得：10，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝600．
答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．
（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作（y）天，
依题意，得：7000（yy）+5000（y）≤79000，
解得：y≥1，
∴y6．
答：两工程队最多可以合作施工6天．9.3 分式方程
题型1 分式方程的解 题型2 解分式方程
题型3 分式方程的增根 题型4 由实际问题抽象出分式方程
题型5 分式方程的应用
▉题型1 分式方程的解
【知识点的认识】
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
1．若整数a使得关于x的不等式组至少有2个整数解，且使得关于y的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数a之和为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4
2．已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k＜﹣9 C．k＞﹣9且k≠6 D．k＞6且k≠9
3．如果关于x的分式方程3有非负整数解，关于y的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的m的和是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
4．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0
5．若关于x的不等式组有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为 　 　 ．
▉题型2 解分式方程
【知识点的认识】
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　）
A． B． C． D．
7．当x＝　 　 时，分式的值为2．
8．若9＝0，那么　 　 ．
9．解分式方程：．
10．解方程：
（1）；
（2）．
11．（1）计算：；
（2）解方程：．
12．计算：
（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
13．以下是某同学解分式方程的部分过程：
解：整理，得第一步 去分母，得…
（1）该同学解法中第一步的依据是 　 　 ；
（2）将该同学的解答过程补充完整．
14．解方程：（1）；
（2）．
▉题型3 分式方程的增根
【知识点的认识】
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
15．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
▉题型4 由实际问题抽象出分式方程
【知识点的认识】
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
16．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．x+（x﹣2）＝1.2
17．为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
18．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要x小时，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
19．小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多0.5度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了20千米，且A款一共消耗了30度电，B款一共消耗了29度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
20．某鲜牛奶加工厂的生产车间原有38人，包装车间原有42人，因为某个业务的需要，从生产车间抽调x人到包装车间，要使包装车间的人数比生产车间的人数的2倍还多5人才能够顺利完成任务，依题意列出的方程是 ．
21．某校组织学生进行劳动实践活动，用500元购进甲种劳动工具，用1200元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具的数量是甲种的2倍，且单价贵了4元，设甲种劳动工具的单价为x元，则x满足的方程为 ．
22．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得 ．
23．李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共1h，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲：1
乙：9
①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义：
甲：x表示 　 　 ；
乙：y表示 　 　 ；
②补全甲、乙两人所列的方程；
（2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）．
▉题型5 分式方程的应用
【知识点的认识】
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
24．甲、乙两位打字员承担一项打字任务，已知有如下信息：
信息一：甲单独完成这项任务所需要的时间比乙单独完成这项任务所需要的时间多4小时；
信息二：甲5小时完成这项任务的工作量与乙4小时完成这项任务的工作量相等．
根据以上信息可知，乙单独完成这项任务需要（　　）
A．10小时 B．12小时 C．14小时 D．16小时
25．爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是（　　）
A．11岁 B．12岁 C．13岁 D．14岁
26．某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
（2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
27．我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若又甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工1天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，求甲、乙两队最多合作多少天？
28．近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元．
（1）求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？
（2）根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨a%，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调a%，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值．
29．“安庆是我家，创建靠大家”．在去年争创全国文明城市的活动中，我市“青年志愿团”决定义务清除重达120吨的垃圾．开工后，附近居民主动参加到义务活动中，使得清除垃圾的速度是原计划的2.5倍，结果提前4小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时清除多少吨垃圾．
30．为了开展“红色教育”主题学习活动，提高学生的爱国主义意识，某校周末组织学生去太原解放纪念馆研学，已知该校到纪念馆全程共140km，由于天气原因，校车的平均速度比平时正常行驶的平均速度少20km/h，而所用时间是平时正常行驶所用时间的，求校车平时正常行驶的速度．
31．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；
信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
32．甲、乙两辆客车分别从相距40千米的A、B两站同时出发，相向而行，相遇时乙车行驶了25千米，如果乙车每小时比甲车多走2千米，求甲乙两车速度．
33．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．
（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？

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