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专题1　三角函数的化简与求值
导言　高考对三角函数的化简与求值的考查，基础方面需掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式，重点考查三角恒等变换，聚焦考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想．它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问．
1 [人教A版必修一P229习题5.5T7改编]设θ∈，若cos θ＝，则sin 2θ等于(　　)
A. B. C. D.
2 [2025上海卷]已知tan α＝1，则cos ＝________．
3 [苏教版必修二P57习题10.1(1)T6改编]已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β＝________．
4 [苏教版必修二P64例1改编]已知tan α，tan β是方程x2＋5x－6＝0的两根，则tan (α＋β)＝________．
以上4道题你做对了　　　　道，做错题目的原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点指引
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
②sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
③cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
④cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
⑤tan (α＋β)＝；
⑥tan (α－β)＝.
2. 二倍角公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan2α＝.
3．注意三角公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，需能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件合理选用公式．
重点1　三角函数的化简
已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)等于(　　)
A. －3m B. － C. D. 3m
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
变式训练　已知sin (3α－β)＝m sin (α－β)，tan (2α－β)＝n tan α，则m，n的关系为(　　)
A. m＝2n B. n＝
C. n＝ D. n＝
题后反思
1. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．
2. 转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括函数名称变换、角的变换、“1”的变换、和积变换等. 在求解过程中，要充分关注角的范围．
重点2　三角函数的求值
已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
变式训练1　[2025全国二卷]已知0＜α＜π，cos ＝，则sin 等于(　　)
A. B. C. D.
变式训练2　[2025金陵中学期中]设α∈，β∈，且tan α＝，sin β＝，则α＋2β等于(　　)
A. B. C. D.
题后反思
1. “给角求值”问题的解题关键在于确定角的象限，注意三角函数的正负取值，然后正确利用公式．
2. “给值求值”问题的解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化从而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧．
3. “给值求角”问题的基本解题方法：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角. 解题过程中需多加注意角的范围，合理选用角的某个三角函数是关键．
重点3　三角恒等变换的应用
[2025兴化中学月考]已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P.
(1) 求的值；
(2) 若β是三角形的内角，且sin β＝，求sin (2α－β)的值．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
变式训练　[2025南通中学月考]若f(x)＝sin (2x＋)＋sin ＋cos 2x＋a的最大值为1.
(1) 求常数a的值；
(2) 若＜β＜，且f(β)＝－1，求角β的大小．
题后反思　三角恒等变换往往进行多角度考查，如结合三角函数的定义，三角函数的图象与性质，进行化简求值. 解题过程中需多加注意角的范围，合理利用公式，科学进行转化化归，从未知向已知靠拢．
1 [2025信阳一中模拟]已知2tan α＝tan 2θ，tan (α－θ)＝－8，则tan θ的值为(　　)
A. 3 B. 2
C. －2 D. －3
2 [2025盐城考前模拟]若2sin (α－β)＝cos αcos β≠0，2cos (α－β)＝cos (α＋β)，则tan (α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 (多选)[2025如东中学月考]已知α为锐角，若cos 2α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin 2α＝
B. tan α＝
C. ＝4
D. sin ＋cos ＝
4 [2025前黄中学月考]已知α，β为锐角，且α＜β，使得①α＋2β＝；②tan ·tan β＝2－同时成立，则α＝________，β＝________．
专题1　三角函数的化简与求值
基础活动
1. D　解析：因为θ∈，所以sin θ＝＝，故sin2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.
2. 0　解析：由tan α＝1，得sin α＝cos α，则cos ＝(cos α－sin α)＝0.
3. －　解析： 因为cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，sin αsin β＝－，所以tan αtan β＝＝－.
4. －　解析：解法1　解方程，得tan α＝－6，tan β＝1或tan α＝1，tan β＝－6，故tan (α＋β)＝＝＝－.
解法2　由根与系数的关系，得tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝－6，故tan (α＋β)＝＝－.
优选活动
例1　A　思路引导：本题考查了两角和与差的余弦公式，切化弦．根据条件可得cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，tan αtan β＝，观察两式特征，可利用方程思想求出cos αcos β，sin αsin β的值，从而可得cos (α－β)的值．
解析：通解　由cos (α＋β)＝m，得cos αcos β－sin αsin β＝m[防范失误②].由tan αtan β＝2，得＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，则sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
速解(特值法)　因为tan αtan β＝2，取α＝，sin β＝，cos β＝，所以cos (α＋β)＝(cos β－sin β)＝－＝m[防范失误③]，则cos (α－β)＝(cos β＋sin β)＝＝－3cos (α＋β)＝－3m.
发现：两题的条件与结论互换，正向使用两角和与差的余弦公式，切化弦，注重和差公式的形式和结构上的联系．
变式训练　D　解析： 因为sin (3α－β)＝sin [(2α－β)＋α]＝sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α，sin (α－β)＝sin [(2α－β)－α]＝sin (2α－β)cos α－cos (2α－β)sin α，由题意，得sin (2α－β)cos α＋cos (2α－β)sin α＝m sin (2α－β)cos α－m cos (2α－β)sin α，所以＝，即＝＝n.
例2　－　思路引导：本题考查了两角和的正弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，弦化切，换元思想，整体思想．思路1：根据已知条件，结合两角和与差的正切公式tan (α＋β)＝，正向使用公式，再结合同角的平方和关系即可得到答案. 思路2：根据已知条件是正切关系，求两角和的正弦，联想到弦化切的方法．思路3：根据根与系数的结构形式，将tan α，tan β换元处理，结合同角三角函数关系求解．思路4：对于填空题，可采用特殊值法求sin (α＋β).
解析：解法1(通法)　由题意，得tan (α＋β)＝＝＝－2.因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以α∈，β∈，k∈Z，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k∈Z，m∈Z，所以sin (α＋β)<0[防范失误①].由＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
解法2(弦化切)　因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0[防范失误①].又cos α＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝＝＝＝－[防范失误③].
解法3(换元法)　设tan α＝x1，tan β＝x2，x1>0，x2>0[防范失误①]，则sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝[防范失误④]，故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝＝－.
解法4(特值法)　由题意，得tan (α＋β)＝＝＝－2，α＋β为第三象限角或第四象限角或落在y轴负半轴上的角．设在一直角三角形中，角θ是不同于直角的一个角，tan θ＝2，令两条直角边长分别为2，1，则斜边长为＝3，sin θ＝，故sin (α＋β)＝－.
发现：两题的条件本质一样，只是呈现的方式不同. 正向使用两角和与差的正切公式，注重整体思想的应用．
变式训练1　D　解析：解法1　因为0＜α＜π，cos ＝，所以0＜＜，所以sin ＝＝＞＝sin，则＞，即＜α＜π.又sin α＝2sin cos ＝，则cos α＝－＝－，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝.
解法2　因为cos α＝2cos2－1＝－，0<α<π，所以sinα＝＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝(sin α－cos α)＝.
变式训练2　D　解析：因为sin β＝，β∈，所以cos β＝＝，则tanβ＝＝，则tan 2β＝＝.又tanα＝，故tan (α＋2β)＝＝1.因为2β∈(0，π)，tan 2β＞0，所以2β∈.又α∈，则α＋2β∈(0，π)，所以α＋2β＝.
例3　思路引导：本题考查了三角函数的定义，三角恒等变换．题干关键：角α终边过点P.(1) 利用三角函数的定义求得tan α＝－2，根据＝，利用商数关系求解；(2)由sin β＝，得到cos β＝±，由定义得到sin α＝，cos α＝－，再利用两角差的正弦公式求解．
解：(1) 由题意知，点P到原点的距离为r＝1，
所以sin α＝，cos α＝－，则tan α＝－2，
所以＝＝＝－[防范失误③].
(2) 因为β是三角形的内角，且sin β＝，
所以cos β＝±[防范失误①].
由(1)知，sin α＝，cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－，
当cosβ＝时，sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝－；
当cos β＝－时，sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝1.
发现：两题都是已知角的三角函数值，通过两角和与差的展开式来进行求值．
变式训练　解：(1) f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋cos 2x＋a＝2sin 2x·cos ＋cos 2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋a＝2sin ＋a.
因为－1≤sin ≤1，
所以2＋a＝1，即a＝－1.
(2) 因为f(β)＝2sin －1＝－1，
所以sin ＝.
又＜β＜，则<2β＋<，
所以2β＋＝，即β＝.
自主活动
1. C　解析：因为2tan α＝tan 2θ＝，所以tanα＝，则tan(α－θ)＝＝＝－8，整理，得tan3θ＝－8，解得tanθ＝－2.
2. A　解析：因为2sin (α－β)＝cos αcos β，所以2sin αcos β－2cos αsin β＝cos αcos β，化简，得tan α－tan β＝.因为2cos (α－β)＝cos (α＋β)，所以2cos αcos β＋2sin αsin β＝cos αcos β－sin αsin β，整理，得cos αcos β＝－3sin αsin β，则tan αtan β＝－，故tan (α－β)＝＝＝.
3. AC　解析：因为cos 2α＝，α为锐角，所以sin 2α＝，故A正确；tan α＝＝＝，故B错误；＝＝＝4，故C正确；由tan α＝，易得sin α＝，cos α＝，则sin (α＋)＋cos (α＋)＝sin ＝cos α＝×＝，故D错误．故选AC.
4. 　　解析：由题意，得＋β＝，则tan ＝＝＝，所以tan ＋tan β＝3－.又α，β为锐角，且α<β，所以tan ＝2－，tan β＝1，则tan α＝＝＝，所以α＝，β＝.

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