资源简介

20.1　勾股定理及其应用
第3课时　利用勾股定理作图、计算
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第3课时　利用勾股定理作图、计算 授课人
教学 目标 1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数,进一步理解、感受数轴上的点与实数的一一对应关系.了解利用勾股定理证明“HL”定理的方法. 2.经历用勾股定理求直角三角形边长的过程,理解并掌握在数轴上通过画线段的方法表示无理数. 3.运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题,并从中进一步体会数形结合思想与转化思想. 4.培养学生的思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值.
教学 重点 　运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,运用勾股定理进行作图与计算.
教学 难点 理解实数与数轴上的点的一一对应关系,在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、三角尺,多媒体:PPT课件、电子白板
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示,,,,…的点吗 现在我们利用勾股定理来探究一下这个问题. 利用目的明确的操作探究问题引入新课,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究与应用 【探究1】 利用勾股定理证明“HL”定理 1.回忆“HL”定理的内容. 2.写出已知、求证、证明. 教师提出问题,师生共同画图,写出已知、求证、证明.教师应引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等. 【应用举例】 例1　已知:如图20-1-62所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 图20-1-62 [解析] 要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只能找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'. 证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°, 根据勾股定理,BC=,B'C'=. 又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 通过证明“HL”定理,使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用,提高学生应用勾股定理解决问题的能力.
【探究2】 怎样在数轴上画出表示的点 1.你能画出长度为的线段吗 呢 呢 如教材第28页的图20.1-12. 学生们独立动手画图,先按照图20.1-12的方法画出长为,,,,…的线段,再按照同样的方法在数轴上画出表示的点. 2.继续思考有没有其他方法呢 将13写成两个正整数a,b的平方和的形式,即13=a2+b2,而13=4+9,令a2=4,b2=9,则a=2,b=3,所以长为的线段是直角边长分别为2,3的直角三角形的斜边. 通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.
活动 二: 探究 与 应用 学生在数轴上画出表示的点. 教师根据巡视情况指导步骤如下: (1)如图20-1-63,O为数轴原点,在数轴上找出表示3的点A,则OA=3; (2)过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2; (3)连接OB,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴的正半轴交于点C,则点C即为表示的点. 图20-1-63 学生自由作图,教师适当指导. 总结:在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般拆分的两条线段的长是正整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径作弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点. 【应用举例】 例2　如图20-1-64,数轴上点A所表示的数为a,求a的值. 图20-1-64 解:∵图中的直角三角形的两直角边长分别为1和2, ∴斜边长为=, 即数轴上表示-1的点到点A的距离是, ∴点A所表示的数为-1,即a的值为-1. 例3　你能在数轴上画出表示的点吗 解:如图20-1-65所示. 作法:(1)在数轴上找出表示1的点A,则OA=1; (2)过A作直线l垂直于OA,在直线l上取点B,使AB=4; (3)连接OB,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴正半轴的交点C即为表示的点. 图20-1-65 例4　如图20-1-66,AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD为边向外作正方形,正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4.请写出关于S1,S2,S3,S4的等式, 图20-1-66 [答案:S1-S3=S2-S4] 　　利用一个目的明确的操作探究问题引入新课,培养学生的动手操作能力、抽象概括能力,激发学生的学习兴趣. 引导学生主动探究,养成良好的思维习惯,培养与他人合作交流的意识,激发学生强烈的求知欲.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例5　如图20-1-67,在长方体盒子的点A处有一只昆虫,在点B处有它最喜欢吃的食物,它想从点A出发,沿盒子表面爬行到点B处吃食物,则它如何爬行才能使所爬的路程最短 如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么最短路程为多少 图20-1-67 [解析] 将其中含有一点的面展开,与含另一点的面在同一平面内即可,主要可以分为三种情形: (1)将右侧面展开与上底面在同一平面内,可得其路程s1=; (2)将上底面展开与后面在同一平面内,可得其路程s2=; (3)将前面展开与右侧面在同一平面内,可得其路程s3=. 然后比较s1,s2,s3的大小,即可得到最短路程. 变式　如图20-1-68,一个实心长方体的长、宽、高分别为4,2,1,一只蚂蚁从长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处,怎样走路线最短 最短路线长为多少 图20-1-68 通过此例师生共同总结规律:当两条较短的棱长之和与最长的棱长作为一个直角三角形的直角边长时,路线长最短. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 此题意在考查学生的数学建模能力及解决实际问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【当堂训练】 1.如图20-1-69,点A表示的实数是 (D) 图20-1-69 A. B. C.- D.- 2.如图20-1-70,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上.若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧,弧交数轴正半轴于点M,则点M表示的数为 (C) 图20-1-70 A.2 B.-1 C.-1 D. 　　当堂训练,及时反馈学习效果.
活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图20-1-71所示,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为 (B) 图20-1-71 A.16　　　B.12+4　　　C.7+7　　　D.5+11 4.如图20-1-72,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,弧交最上方的网格线于点D,则CD的长为 (C) 图20-1-7 A.　　　　B.0.8　　　　C.3-　　　　D. 5.请在如图20-1-73所示的数轴上画出表示,-的点. 图20-1-73 解:如图20-1-74所示,点A即为表示的点,点B即为表示-的点. 图20-1-74 　　实际应用题意在考查学生的数学建模能力及解决实际问题的能力. 让学生学会思考,培养学生的归纳能力和语言表达能力.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课继续学习勾股定理的应用,新授部分先后有三个主要环节,分别是证明“HL”定理,在数轴上画出表示无理数的点,相关图形的计算.讲课过程中应找到这三个环节之间的衔接点,使之过渡自然流畅,并能很好地体现知识之间的联系与转化. ②[讲授效果反思] 在教学过程中,学生接触的新题型较多,大多有一定难度,应坚持“宁精勿滥”的原则,精选典型题目,同时有效发挥学生的主体作用,引导学生积极参与,尽量达到较好的学习效果. ③[师生互动反思] 教学中教师要引导学生积极地发表自己的看法,梳理所学到的知识,加深对知识的理解和巩固. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　 　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第2课时　勾股定理在实际生活中的应用 授课人
教学 目标 1.联系实际,归纳抽象,应用勾股定理解决实际问题. 2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法. 3.会用勾股定理解决简单的实际问题,体会数形结合的思想. 4.在解决问题的过程中更好地理解勾股定理,培养学生学好数学的信心.
教学 重点 　勾股定理的应用.
教学 难点 实际问题向数学问题的转化.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、三角尺,多媒体:PPT课件、电子白板
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题1:勾股定理的内容是什么 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形:c=,a=,b=. 问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)已知a=b=5,求c;(2)已知a=1,c=2,求b; (3)已知c=17,b=8,求a;(4)已知b=15,∠A=30°,求a,c. 师生活动:学生总结,师生共同补充、完善,总结出: (1)使用勾股定理时,应先画好图形,应用数形结合的思想解题. (2)理清边之间的关系,已知两直角边长求斜边长,直接用勾股定理,结合算术平方根的意义求出斜边长;已知斜边长和一直角边长,求另一直角边长,用勾股定理的变形式. 　　学生回忆并回答,为突破本节难点作准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图20-1-39,学校有一个长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路(假设2步为1 m)却踩伤了花草 (温馨提示:爱护花草,人人有责) 　图20-1-39 解:他们原来走的路长为3+4=7(m), 走“捷径”的路长为=5(m), 故少走的路长为7-5=2(m). 又∵2步为1 m,∴他们仅仅少走了4步路. 这个问题是勾股定理的一个简单应用,那么它还有哪些应用呢 今天我们就来探索一下吧! 　　利用学生身边发生的实际问题引出本节课要研究的内容,使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程,从而激发学生强烈的好奇心和求知欲. 在考查勾股定理的同时,融入情感教育.
活动 二: 探究与应用 【探究1】 木板进门问题 例1　一个门框的尺寸如图20-1-40所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么 图20-1-40 师生共同分析:木板横着或竖着都不能从门框内通过,只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度,求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过. 引导学生对上面的问题进行展示交流——知识点,做题的方法、技巧、心得及困惑. 教师可这样引导:请分析比较木板的尺寸和门的尺寸,如何判断木板能不能直接从门框内通过 (1)如果木板长为3 m,宽为0.8 m,能否直接从门框内通过 (2)如果木板长为3 m,宽为1.5 m,能否直接从门框内通过 (3)如果木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过 还可以分析比较哪两个长度 再追问:这两个长度一个是木板的短边长,另一个是门框的对角线的长,能求吗 如何求 学习小组互相讨论、交流、补充、展示.注意过程要书写规范. 解:连接AC.在Rt△ABC中,根据勾股定理, AC2=AB2+BC2=12+22=5,AC=≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过. 总结:木板进门问题的解决需要综合考虑木板的长、宽和门的长、宽、对角线. 　　使学生明确:本题可以转化为求门框的对角线的长,也就是已知两直角边长,求斜边长,从而用勾股定理解决. 细化问题,引导学生将实际问题转化为数学问题,并在转化的过程中能对解题过程有所估计. 将实际问题转化为数学问题,建立几何模型,画出图形,分析已知量、待求量,让学生掌握解决实际问题的一般思路. 通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例2　长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为　3　cm.
【探究2】 梯子靠墙问题 例3　如图20-1-41,一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处,底端位于地面的点B处,点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗 图20-1-41 解:当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时,设梯子的底端由点B移动到点D,顶端由点A下滑到点C.可以看出,AC=OA-OC. 在Rt△AOB中,根据勾股定理,OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76,OA=2.4. 在Rt△COD中,根据勾股定理,OC2=CD2-OD2=2.52-(0.7+0.8)2=4,OC=2. 所以,AC=OA-OC=2.4-2=0.4. 因此,当梯子底端向外移动0.8 m时,梯子顶端并不是下滑0.8 m,而是下滑0.4 m. 总结:梯子靠在竖直的墙上,构成直角三角形,当梯子移动的时候又构成另一个直角三角形,利用勾股定理可以直接求线段的长度. 　　应用迁移、巩固提高,培养学生解决问题的能力. 通过运用勾股定理解决实际问题,培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力,使学生更加深刻地认识数学的本质:数学来源于生活,并服务于生活.
【拓展提升】 例4　有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿长与门高. 解:设门高为x尺,则竹竿长为(x+1)尺. 根据勾股定理可得x2+42=(x+1)2, 即x2+16=x2+2x+1,解得x=7.5. x+1=8.5. 故门高为7.5尺,竹竿长为8.5尺. 变式　如图20-1-42,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B处,再由B处跑到C处.已知两只猴子所经过的路程都是15 m,求树高AB. 图20-1-42 [答案:12 m] 　　使学生掌握利用勾股定理建立方程模型解决实际问题的方法. 使学生明确:在解决有关直角三角形的实际问题时,若情况复杂,比如不能直接求边长,这时可利用勾股定理建立方程解决问题,渗透方程思想.
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如果梯子的底端离一幢楼5米,那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是 (A) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 2.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面后还多1 m,当他把绳子的下端拉开4 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高度为 (B) A.7 m B.7.5 m C.8 m D.9 m 3.如图20-1-43,由于台风的影响,一棵树在离地面6 m处折断,树顶落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前的高度是(C) A.8 m　　　　B.10 m　　　　C.16 m　　　　D.18 m 图20-1-43 4.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.”翻译成数学问题是:如图20-1-44所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.若设AC=x,则可列方程为　x2+32=(10-x)2　. 图20-1-44 5.如图20-1-45,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,过点C作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于点D,经测量∠ABD=135°,BD=800米,则应在直线l上距离点D多远的C处开挖 (≈1.414,结果精确到1米) 图20-1-45 解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,∴∠BDC=45°=∠DBC,∴BC=CD. 在Rt△DCB中,由勾股定理,得CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002, ∴CD=400≈566(米). 答:应在直线l上距离点D约566米的C处开挖. 　　通过当堂训练,进一步巩固所学,检测学习效果.
【课堂总结】 今天我们学习了哪些内容 请同学们回忆本节课所学到的内容,谈谈你的收获与体会,有什么好方法告诉大家. 　　梳理本节所学知识点,突出重点.
【教学反思】 ①[教学流程反思] 教师首先复习勾股定理的知识,然后把实际生活中的一些问题抽象为直角三角形的模型,根据勾股定理来求解线段长度的问题. ②[讲授效果反思] 教师通过运用勾股定理解决一系列富有层次、探究性的实际问题,培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力,使学生更加深刻地认识数学的本质:数学来源于生活,并服务于生活. ③[师生互动反思] 教师应重点关注学生的探究精神以及合作、交流意识. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　 错题题号　　　　　　 　　　　 　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
置疑探究　电视机的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台65英寸(165 cm)的电视机,小华测量电视机的屏幕后,发现屏幕的长为144 cm,宽为81 cm.她觉得一定是售货员搞错了,你同意她的想法吗
引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.
悬念激趣　如图20-1-29,某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而是沿岸边自A处跑到离B处最近的C处,然后从C处游向B处.若救生员在岸边行进的速度是5 m/s,在海中行进的速度是2 m/s,请你分析救生员的选择是否合理.
图20-1-29
[教学提示] 设计实际问题情境,激发学生的学习兴趣,提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力,培养学生“用数据说话”的科学态度.引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中,找出要求什么才能说明道理,然后分别求得两种不同情况下的数据,进行比较.允许学生通过小组合作的方式进行互助交流,教师及时进行鼓励,并择优展示.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题一——教材第31页习题20.1第10题
如图20-1-30,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 此题源自《九章算术》,原文是:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.(丈、尺是长度单位,1丈=10尺.)
图20-1-30
【模型建立】
在现实生活中,存在很多近似直角三角形的模型,例如折断的树木.如果不能直接求边长,这时可以利用勾股定理作为相等关系建立方程求解.
【变式变形】
1.公元12世纪,印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记有一首“莲花问题”的诗歌,在中东和西欧国家广泛流传,该诗为“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲.出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边.渔人观看忙向前,花离原位二尺远.能算诸君请解题,湖水如何知深浅 ”请你根据图20-1-31求出湖水的深度.
图20-1-31
解:设湖水的深度为x尺,则红莲的高度为(x+0.5)尺.
由勾股定理,得x2+22=(x+0.5)2,解得x=3,即湖水的深度为3尺.
2.我国明代杰出的数学家程大位在他所著的《算法统宗》里记载一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几 ”诗的意思告诉我们:当秋千静止时,秋千的踏板离地的距离为一尺,将秋千的踏板往前推两步,这里的每一步合五尺,秋千的踏板与人一样高,这个人的身高为五尺,这时秋千的绳索呈直线状态,求这个秋千的绳索有多长.
[答案:14.5尺]
教材母题二——教材第26页例3
如图20-1-32,一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处,底端位于地面的点B处,点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗
图20-1-32
【模型建立】
梯子靠在墙壁上,构成直角三角形,当移动梯子的时候又构成另一个直角三角形,利用勾股定理可以直接求线段的长度.
【变式变形】
1.如图20-1-33所示,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙上时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙上时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为 (C)
图20-1-33
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
2.如图20-1-34,一架长为10米的梯子斜靠在一面竖直的墙上,梯子的顶端与地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子底端的滑动距离　大于　1米.(填“大于”“小于”或“等于”)
图20-1-34
3.如图20-1-35,一架长25米的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上,梯子底端C离墙7米.
(1)这个梯子的顶端A距地面有多高
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到点A',那么梯子的底端在水平方向滑动了几米
图20-1-35
[答案:(1)24米　(2)8米]
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 直接利用勾股定理求边长
方法指引:通过对等式a2+b2=c2变形,可以得出直角三角形三边之间的关系:c=,b=,a=.在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,可直接应用勾股定理求解.注意:挖掘实际问题中的直角,把实际问题转化为有关直角三角形的问题,应用勾股定理计算后回答实际问题.
例1　一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近到建筑物底端5米处,消防车的云梯最大可伸长13米,则云梯可以到达该建筑物的最大高度是(云梯底端距地面的高度忽略不计)(A)
A.12米　　　　　　　B.13米　　　　　　　C.14米　　　　　　　D.15米
例2　如图20-1-36,一架25 m长的云梯AB斜靠在一竖直的墙,AO上AO=24 m.
(1)求这个梯子的底端距墙有多远;
(2)如果梯子的底端向墙外侧移动了8 m,那么梯子的顶端向下滑动的距离是多少
图20-1-36
[答案:(1)7 m　(2)4 m]
【评价角度2】 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题
例　《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少.如图20-1-37,设门高AB为x尺.根据题意,可列方程为　(x-6.8)2+x2=102　.(1丈=10尺,1尺=10寸)
图20-1-37
　　【评价角度3】 利用勾股定理求平面上两点间的距离
例　如图20-1-38,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为　25　海里(结果保留根号).
图20-1-3820.1　勾股定理及其应用
第3课时　利用勾股定理作图、计算
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
实际情境　如图20-1-46,有一个圆柱,它的高是12 cm,底面圆的周长是18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
图20-1-46
(1)尝试在圆柱侧面上画出几条从点A到点B的路线,你觉得哪条路线最短呢
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么 你画对了吗
(3)蚂蚁从点A出发,想去点B处吃食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
[教学提示] 将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题,并利用勾股定理求解实际问题引入新课.使学生在活动中体验数学建模思想,增强学生的探究能力、操作能力、分析能力,发展空间观念.学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后汇总各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案路线长度的计算方法,通过具体计算,比较出最短路线.要让学生通过探究发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到长方形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学知识解决实际问题的方法.
置疑探究　操作与探究:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗 为了研究这个问题,请完成如下探究:
图20-1-47
1.根据图20-1-47填空:
x= 　;y= 　;z=　2　;w= 　.
2.按照图中的规律一直作下去,你能说出第n个小直角三角形的各边长吗
3.利用勾股定理,是否可以在数轴上画出表示,,,,…的点 试一试.
4.13可以写成哪两个整数平方和的形式 现在你能在数轴上画出表示的点吗 动手画一画吧!
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——教材第29页练习第1题
在数轴上画出表示的点.
【模型建立】
可以利用数轴和垂直于数轴的直线构造直角三角形的方法在数轴上找到表示无理数的点.
【变式变形】
1.如图20-1-48所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是(A)
图20-1-48
A.-1 B.--1
C.+1 D.
2.如图20-1-49,数轴上点A表示的数为1,AB⊥OA,且AB=OA.以原点O为圆心,OB的长为半径画弧,交数轴的负半轴于点C,则点C表示的数为(D)
图20-1-49
A.-1　　　　　　B.1-　　　　　　C.　　　　　　D.-
3.问题背景:
在△ABC中,AB,BC,AC的长分别为,3,,求这个三角形的面积.
小军同学在解答这道题时,先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1),再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的格点处),如图20-1-50①所示.这样不需要求出△ABC某条边上的高,借用网格就能计算出它的面积了.
(1)请你直接写出△ABC的面积:　　　　;
思维拓展:
(2)在△MNP中,MP,NP,MN的长分别为,2,,请你利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的格点三角形MNP,并直接写出△MNP的面积.
图20-1-50
解:(1)4.5　[解析] 如图20-1-51①,S△ABC=S长方形MONC-S△CMA-S△AOB-S△BNC=4×3-×4×1-×2×1-×3×3=4.5.故答案为4.5.
图20-1-51
(2)格点三角形MNP如图②所示,S△MNP=S长方形MOAB-S△MON-S△PAN-S△MBP=5×3-×5×1-×2×4-×3×1=7,即△MNP的面积是7.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点
方法指引:在数轴上画表示无理数的点的步骤(如图20-1-52所示):
图20-1-52
(1)把c转化为两个正整数a,b的平方和,即=;
(2)以原点O为圆心,在数轴上截取OA=a;
(3)过点A作数轴的垂线AM,在AM上截取AB=b;
(4)连接OB,根据勾股定理,得OB=;
(5)以原点O为圆心,OB的长为半径画弧,交数轴正半轴于点C,则点C表示的数就是无理数.
注:以原点O为圆心,OB的长为半径画弧,交数轴负半轴于一点,该点表示的数是无理数-.
例1　 如图20-1-53,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为　(-1,0)　.
图20-1-53
例2　如图20-1-54,A是数轴上表示实数a的点.
图20-1-54
(1)用直尺和圆规在数轴上画出表示实数的点P;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较和a的大小,并说明理由.
解:(1)如图20-1-55所示,点P即为所求.
图20-1-55
(2)a>.理由如下:由图可知点A在点P的右侧,∴a>.
【评价角度2】 适当添加辅助线利用勾股定理解题
方法指引:在由小正方形构成的网格图中,利用格点构造几何图形,往往需要求以格点为端点的线段长,一般分以下三步完成:①在网格图中找到以所求线段为一边的直角三角形;②通过网格确定另外两边的长度;③利用勾股定理计算所求线段的长度.其中,在网格图中充分利用格点构造直角三角形是解题的关键.在平面直角坐标系中求线段的长度与在网格图中求线段的长度,都体现了数形结合思想的应用,并且二者有很多相通之处.
例1　如图20-1-56,在平面直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),C(1,3),D(4,4),E(5,2),则∠BAC　=　∠DAE(填“>”“=”或“<”).
图20-1-56
例2　如图20-1-57,已知网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B都在格点上,以点A为圆心,AB的长为半径作弧,弧交最上方的网格线于点D,则ED的长为 (A)
图20-1-57
A.　　　　　　　　B.3　　　　　　　　C.2　　　　　　　　D.
【评价角度3】 利用勾股定理求立体图形表面上两点之间的最短路程
方法指引:确定立体图形表面上的最短路程问题,其解题思路是将立体图形的表面展开,转化为平面图形,并借助勾股定理解决.当长方体的长、宽、高不同时,不同表面上两点之间的路程分三种情况讨论,展开方式不同,两点之间的路程也可能不同.
例　如图20-1-58所示,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C的距离为5.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,求这只蚂蚁要爬行的最短路程.
图20-1-58
解:分以下三种情况:
图20-1-59
(1)当蚂蚁沿长方体的右侧面和前面走时,将长方体的右侧面和前面展开组成一个长方形,如图20-1-59①所示,由勾股定理,得AB==25,即路程l1=25;
(2)当蚂蚁沿长方体的右侧面和上底面走时,将长方体的右侧面和上底面展开组成一个长方形,如图②所示,由勾股定理,得AB==5,即路程l2=5;
(3)当蚂蚁沿后面和上底面走时,将长方体的后面和上底面展开组成一个长方形,如图③所示,由勾股定理,得AB==5,即路程l3=5.
因为l1【评价角度4】 利用勾股定理解决几何变换问题
方法指引:在折叠、旋转等问题中,常常将条件集中于一个直角三角形,然后利用勾股定理构造方程,求线段的长.比如解有关“折叠”问题时,首先要弄清楚折叠图形的前后联系,并与勾股定理、方程联系起来,将待求线段与有关线段归结到同一个直角三角形中,用勾股定理构造方程使问题得以解决.
例1　如图20-1-60,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=9,M是BC上的点,且CM=3,将长方形纸片ABCD沿过点M的直线折叠,使点D落在AB上的点P处,点C落在点C'处,折痕为MN,则线段AN的长是　4　.
图20-1-60
例2　如图20-1-61,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,E,F分别是边BC,CD上的点,EF⊥AE,将△ECF沿EF翻折得△EC'F,连接AC'.当BE= 或　时,△AEC'是以AE为腰的等腰三角形.
图20-1-6120.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理及其验证
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
置疑探究　勾股定理被评为对社会有重大影响的十大科学发现之一,到目前有几百种证明方法,许多人为之痴迷.詹姆斯·加菲尔德是美国第20任总统,1876年4月1日,他在《新英格兰教育日志》上发表了一种勾股定理的证明方法,他的方法直观、简捷、易懂、明了,人们为了纪念他,就把这一证法称为“总统证法”.
问题:你了解勾股定理吗 你想探索一下詹姆斯·加菲尔德是怎样利用图20-1-1验证勾股定理的吗
图20-1-1
悬念激趣　相传2500多年前,古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他宾客都尽情欢乐,只有毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发呆.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑回家去了.原来,他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系.那么他发现了什么呢 今天我们就来研究这个问题.
图20-1-2
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——教材第31页习题20.1第13题
如图20-1-3,分别以等腰直角三角形ABC的边AB,AC,BC为直径画半圆.求证:所得两个月牙形图案AGCE和BHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ABC的面积.
图20-1-3
【模型建立】
我们知道,勾股定理反映了直角三角形的三条边之间的关系:a2+b2=c2,而a2,b2,c2又可以分别看成是以a,b,c为边长的正方形的面积,因此,勾股定理也可以表述为分别以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积之和,等于以斜边为边的正方形的面积,如图20-1-4,即S1+S2=S3.类比推出,图20-1-3中,半圆ACE的面积+半圆BCF的面积=半圆ABC的面积.
图20-1-4
【变式变形】
变式方向:将等腰直角三角形ABC变为一般直角三角形.
1.如图20-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,分别以它的三边为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为　30　.
图20-1-5
2.如图20-1-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以边AC,BC,AB为直径作半圆,则这三个半圆的面积S1,S2,S3之间有什么关系
图20-1-6
[答案:S1+S2=S3]
变式方向:将半圆改为其他图形.
3.如图20-1-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分别以边BC,AC,AB为边向外作等边三角形,那么三个等边三角形的面积S1,S2,S3之间是否满足S1+S2=S3 为什么
图20-1-7
解:满足.理由:根据等边三角形的性质和勾股定理,不难求得等边三角形BCD的高为a,于是S1=·a·a=a2.
同理,S2=b2,S3=c2,∴S1+S2=a2+b2=(a2+b2).
∵a2+b2=c2,∴S1+S2=c2=S3.
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 利用勾股定理求图形的面积
例1　如图20-1-8,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为　100　.
图20-1-8
例2　如图20-1-9是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积是　10　.
图20-1-9
例3　如图20-1-10①,分别以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1,S2,S3;如图②,分别以直角三角形的三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4= (C)
图20-1-10
A.86　　　　　　　　　B.64　　　　　　　　　C.54　　　　　　　　　D.48
　　【评价角度2】 勾股定理的验证
方法指引:勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的,这种方法是以数形转换为指导,图形拼补为手段,以各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的.注意以下几点:(1)探索勾股定理时找面积相等是关键;(2)由面积之间的等量关系,并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理;(3)拼图法是探索勾股定理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理.另外掌握几种勾股定理的证明方法(比如赵爽证法、总统证法等)对解决这类题目也很有帮助.
例1　在勾股定理的学习讨论中,我们已经学会了运用如图20-1-11所示的图形验证勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是 (C)
图20-1-11
A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想
例2　如图20-1-12是用硬纸板做成的两直角边长分别为a,b,斜边长为c的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图;
(2)证明勾股定理.
图20-1-12
解:方法一:(1)如图20-1-13①所示.
(2)证明:∵大正方形的面积可表示为(a+b)2,又可表示为c2+4×ab,
∴(a+b)2=c2+4×ab,即a2+2ab+b2=c2+2ab,∴a2+b2=c2,
即直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
图20-1-13
方法二:(1)如图②所示.
(2)证明:∵大正方形的面积可表示为c2,又可表示为4×ab+(b-a)2,
∴c2=4×ab+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2,
即直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
　　【评价角度3】 利用勾股定理求边长
方法指引:利用勾股定理求直角三角形的边长可分三步:(1)分:分清哪条边是斜边,哪些边是直角边;(2)代:代入a2+b2=c2;(3)化简.注意:若条件中无法确定斜边、直角边,则要分类讨论.
例1　若直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为 或　.
例2　在△ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高为3,则BC边的长为　9或1　.20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理及其验证
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 第1课时　勾股定理及其验证 授课人
教学 目标 1.探索用拼图的方法验证勾股定理,并利用这个定理进行简单的计算. 2.在勾股定理的探索过程中,发展学生合情推理的能力,体会数形结合思想.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性. 3.通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维. 4.通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情..
教学 重点 　探索和证明勾股定理.
教学 难点 用拼图的方法证明勾股定理.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、三角尺,多媒体:PPT课件、电子白板
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面我们学习了有关三角形的知识,我们知道,三角形有三个角和三条边. 问题:三个角的数量关系明确吗 三条边的数量关系明确吗 师生活动:教师引导,学生回答. 我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是有两边相等的特殊三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向.直角三角形作为一种特殊的三角形,它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.对于直角三角形的三条边,它们之间有什么特殊关系呢 在《周髀算经》的开篇,商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形,并指出“两矩共长二十有五”,意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和,恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图20-1-14,直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形,所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看,这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 　图20-1-14 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系 这就是我们要研究的问题. 　　学生回忆并回答,为突破本节难点作准备. 通过回顾一般三角形到直角三角形的相关边角关系,又进一步提出直角三角形的三边存在怎样的等量关系.从形的角度,观察正方形的面积关系,从而得到直角三角形的直角边长和斜边长的关系.
活动 二: 探究与应用 【探究1】 一般直角三角形的三边关系 (1)如图20-1-15,每个小方格的面积均为1,图中正方形A1,B1,C1的面积之间有什么关系 A2,B2,C2呢 A3,B3,C3呢 图20-1-15 (2)想一想,怎样利用小方格计算各个正方形的面积 A1的面积B1的面积C1的面积1455A2的面积B2的面积C2的面积491313A3的面积B3的面积C3的面积9253434直角三角形 的三边关系两条直角边长的平方和等于斜边长的平方
活动 二: 探究与应用 师生活动:教师参与学生活动,指导、倾听学生交流.针对不同认知水平的学生,引导其用不同的方法得出大正方形的面积. 学生分组交流,展示求面积的不同方法,如:在大正方形周围补出四个全等的直角三角形从而得到一个更大的正方形,通过图形面积的和差,得到大正方形的面积;或者将大正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形,求得大正方形的面积. 学生利用表格有条理地呈现数据,归纳得到以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和,等于以斜边为边的正方形的面积. 问题3:以格点为顶点,在方格纸中任意画一个直角三角形,类似地作出三个正方形,这三个正方形的面积有什么关系 由此,你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗 师生活动:师生共同讨论、交流、逐步完善,得到猜想:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 教师应重点关注:学生能否主动参与探究活动,在讨论中发表自己的见解,倾听他人的意见,对不同的观点进行质疑,从中获益. 师生总结:勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 【应用举例】 例1　如图20-1-16,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,求最大正方形E的面积. 图20-1-16 [答案:625] 例2　如图20-1-17,根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 图20-1-17 解:(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,AB2=AC2+BC2=82+62=100,所以AB=10. (2)在Rt△DEF中,根据勾股定理,DE2+EF2=DF2,从而DE2=DF2-EF2=172-152=64,所以DE=8. 变式　如图20-1-18,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=1,则△ABC三边的比值是多少 图20-1-18 [答案:AB∶AC∶BC=1∶1∶] 师生总结:通过对等式变形,可以得出直角三角形(其中∠C=90°)三边之间的关系:c=,b=,a=.在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题,渗透方程思想. 　　鼓励学生勇于面对数学活动中的困难,尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法,并通过对方法的反思,获得解决问题的经验. 让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,从交流中获益. 应用举例,让学生对本节课的知识进行最基本的运用,为下节课勾股定理的应用作好铺垫. 培养学生规范解题的能力.
活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 面积法验证勾股定理 (1)观察赵爽弦图(如图20-1-19),思考:如何利用此图的面积验证勾股定理 图20-1-19 (2)仿照教材中赵爽的思路,只剪两刀,怎样将如图20-1-20所示的边长分别为a,b的两个连在一起的正方形拼成一个新的正方形 图20-1-20 (3)怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢 教师展示图片,提出问题. 学生观察图形可得大正方形的面积=四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积,再由代数式恒等变形能得到a2+b2=c2,即验证了勾股定理. 教师指导学生阅读教材第24页和第25页,了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明勾股定理的. 学生在弦图验证的基础上,参照教材开展拼图活动,以小组为单位,合作探究. 有的学生会盲目动手,如沿中间小正方形的对角线分割等.让学生自己思考、总结、更正,在不断摸索中找到解决问题的正确方法. 引导学生拼图的关键是构造以a,b为直角边长的直角三角形. 鼓励学生代表做示范演示,展示分割、拼接的过程,如图20-1-21: 图20-1-21 再利用多媒体动画演示. 学生容易想到:未剪之前,图形面积是a2+b2,在拼图过程中,构造了以a,b为直角边长的直角三角形,得到的斜边长为c.拼接之后新的正方形的边长为c,面积为c2.从而得到直角三角形三边的关系:a2+b2=c2,再次验证勾股定理. 教师总结:赵爽通过对图形的分割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神,是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标,就是以此图为原型设计的(如图20-1-22). 图20-1-22 　　通过探究活动,调动学生的积极性,激发学生探求新知的欲望.给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生发表自己的见解,感受合作的重要性. 让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,亲身体验勾股定理的探索与验证,使学生对定理的理解更加深刻,体会数形结合思想,发展创造性思维能力.由传统数学课堂向实验数学课堂转变. 通过拼图活动,使学生对勾股定理的理解更加深刻,体会数学中的数形结合思想. 发散思维,学会举一反三.
活动 二: 探究 与 应用 思考:你了解哪些验证勾股定理的方法 解:方法一:(赵爽弦图法) 图20-1-23 如图20-1-23. ∵S大正方形=c2,S小正方形=(b-a)2, 且S大正方形=4S直角三角形+S小正方形, ∴c2=4×ab+(b-a)2. 整理,得a2+b2=c2. 方法二:(毕达哥拉斯证法) 图20-1-24 如图20-1-24. ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=2ab+c2, ∴a2+b2+2ab=c2+2ab,∴a2+b2=c2. 方法三:(“总统证法”) 图20-1-25 如图20-1-25. ∵S梯形=(a+b)(a+b)=(a+b)2, S梯形=ab+ab+c2=ab+c2, ∴(a+b)2=ab+c2, ∴a2+b2+ab=ab+c2, ∴a1+b2=c2,∴a2+b2=c2. 　　
活动 三: 课堂 总结 反思 【小结】 框架图式总结,更容易形成知识网络.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列说法中,正确的是 (C) A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 B.在直角三角形中,两边长和的平方等于第三边长的平方 C.在Rt△ABC中,∠C=90°,则a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中,∠B=90°,则a2+b2=c2 2.如图20-1-26,数字代表所在正方形的面积,则B所代表的正方形的面积是 (C) 图20-1-26 A.12 B.13 C.144 D.194 3.已知直角三角形的斜边长为10,一直角边长是另一直角边长的3倍,则直角三角形中较长的直角边长为 (D) A. B.2.5 C.7.5 D.3 4.图20-1-27中阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为　36 cm2　. 图20-1-27 5.如图20-1-28,根据所给条件分别求出下列各直角三角形中未知边的长. 图20-1-28 [答案:(1)15　(2)12　(3)13] 　　通过当堂训练,进一步巩固所学,检测学习效果.
【课堂总结】 (1)勾股定理; (2)勾股定理的证明方法. 　　梳理本节所学知识点,突出重点.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 整节课以“问题情境—分析探究—得出猜想—实践验证—总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.新课导入通过讲故事来进一步激发学生的学习兴趣,使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态. ②[讲授效果反思] 根据教材的特点,本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的. ③[师生互动反思] 本节课运用的教学方法是“启发探索”式,采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式,为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间,使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识,从而形成自觉实践的氛围,达到收获的目的. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.

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