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高频考点专练01 实数及其运算
（5个知识点+7个题型+1个专练+验收卷）
1．实数的分类
（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
2．实数的相关概念
（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
（2）相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数．
一般地，a和-a互为相反数.0的相反数是0．
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等．很显然，a =0．
（3）绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
即：如果a >0，那么|a|=a；
如果a =0，那么|a|=0；
如果a <0，那么|a|=-a．
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等．很显然，a≥0．
（4）倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数．即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立．
a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等．很显然，a =±1．
（5）科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法．小于-10的数也可以类似表示．
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数．
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数．
（6）近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位．精确到十分位--精确到0.1；精确到百分位--精确到0.01；···．
3．平方根、算术数平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）．
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”．
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零．
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．
4．实数的大小比较
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，>1=1；
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则；
（5）平方法：设a、b是两负实数，则．
5．实数的运算法则
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)．
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即：a -b= a +(-b)．
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与0相乘，都得0．
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac．
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即：a÷b=a·．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0 的数，都得0．
2．实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的．
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
3．常见的几种实数运算
（1）乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂．
如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数．
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（2）零指数幂：a0=1(a≠0)．
（3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数)．
类型1 正数和负数
【例题】
1．[2025广东深圳·中考真题]节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【变式】
2．[2025广东广州·一模]《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．[2025广东·中考真题]某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
4．[2024广东深圳·二模]某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定
类型2 数轴、相反数和绝对值
【例题】
5．[2025广东佛山·一模]如图,数轴上点A表示的数的相反数是 (　　)
A．-2 B．- C．2 D．3
【变式】
6．[2025广东韶关·一模]的相反数是（ ）
A． B． C． D．
7．[2025广东阳江·二模]的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
8．[2025广东惠州·一模]如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的（ ）
A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
9．[2025广东中山市华侨中学·二模]如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是　　
A． B． C． D．3
类型3 科学记数法
【例题】
10．[2025广东·中考真题]依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
11．[2025广东韶关·一模]韶关位于广东省北部，全市总面积约为18400平方千米，居广东省第二位．数据18400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
12．[2025广东深圳·二模]据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)
A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108
13．[2025广东莞中·一模]中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　）
A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨
类型4 实数的分类
【例题】
14．[2025广东广州·中考真题]下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．3
【变式】
15．[2025广东潮实·二模]下列各数是负数的是（ ）
A．0 B．2 C． D．
16．[2024广东惠州·一模]下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
类型5 平方根和立方根
【例题】
17．[2024广东·中考真题]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【变式】
18．[2023广东深圳·二模]的结果为（ ）
A．4 B．2 C．±2 D．±4
19．[2024广东广州·一模]（ ）
A． B．2024 C． D．
20．[2024广东江门·一模]若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
类型6 实数的大小比较
【例题】
21．[2024广东深圳·中考真题]如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
【变式】
22．[2024广东广州·中考真题]四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
23．[2024广东阳江·一模]下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C．0 D．
24．[2024广东广州·二模]四个实数π，1，，中，最大的实数是（　　）
A．π B．1 C． D．
类型7 实数的运算
【例题】
25．[2025广东深圳·中考真题]计算：．
【变式】
26．[2024广东·中考真题]计算：．
27．[2025广东广州·一模]计算：
28．[2025广东深圳·一模]计算：．
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每小题3分，共42分）
1．[2025山东济南·中考真题]下列各数中为负数的是（　　）
A． B．0 C．2 D．
2．[2025河南·中考真题]在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．[2025山东·中考真题]如图，数轴上表示的点是（ ）
A． B． C． D．
4．[2025四川广元·中考真题]的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．4
5．[2025吉林·中考真题]如图，点表示的数是1.若将点向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
6．[2025山东烟台·中考真题]的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
7．[2025江西·中考真题]下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
8．[2025河北·中考真题]从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2025江西·中考真题]在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ）
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点（单位：）
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
10．[2025北京·中考真题]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．[2025重庆·中考真题]下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．[2025江苏扬州·中考真题]如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
13．[2025北京·中考真题]2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
14．[2025四川资阳·中考真题]已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
二、解答题（共18分）
15．[2025山东济南·一模，6分]计算：
16．[2025陕西西安·一模，6分]计算：
17．[2025陕西西安·二模，6分]计算：.
实数及其运算验收卷
满分：60分 得分：____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B． C． D．
3．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
4．中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．3.14
6．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
7．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
8．如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．能与相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
10．光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
二、填空题（每空3分，共30分）
11．计算： ．
12．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为，则 ．
13．写出一个无理数x，使得，则x可以是 （只要写出一个满足条件的x即可）
14．科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为 米．
15．若，则 ．
16．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
17．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
18．已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少
个．
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高频考点专练01 实数及其运算
（5个知识点+7个题型+1个专练+验收卷）
1．实数的分类
（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
2．实数的相关概念
（1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
（2）相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数．
一般地，a和-a互为相反数.0的相反数是0．
a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等．很显然，a =0．
（3）绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
即：如果a >0，那么|a|=a；
如果a =0，那么|a|=0；
如果a <0，那么|a|=-a．
a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等．很显然，a≥0．
（4）倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数．即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立．
a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等．很显然，a =±1．
（5）科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法．小于-10的数也可以类似表示．
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数．
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数．
（6）近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位．精确到十分位--精确到0.1；精确到百分位--精确到0.01；···．
3．平方根、算术数平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）．
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”．
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零．
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．
4．实数的大小比较
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，>1=1；
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则；
（5）平方法：设a、b是两负实数，则．
5．实数的运算法则
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)．
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即：a -b= a +(-b)．
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与0相乘，都得0．
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac．
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即：a÷b=a·．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0 的数，都得0．
2．实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的．
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
3．常见的几种实数运算
（1）乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂．
如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数．
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（2）零指数幂：a0=1(a≠0)．
（3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数)．
类型1 正数和负数
【例题】
1．[2025广东深圳·中考真题]节约水5吨记作吨，则浪费水2吨记作（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【知识点】相反意义的量
【答案】C
【详解】解：因为节约用水5吨记作吨，所以浪费水2吨记作吨，
故选C．
【关键点拨】用正数和负数表示具有相反意义的量时，要根据实际情况，规定哪种意义的量为正数，那么与其意义相反的量为负数，相反意义的量必须是同类量且成对出现，不要求数量一定相等.
【变式】
2．[2025广东广州·一模]《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【知识点】相反意义的量
【答案】D
【分析】理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】根据题意得：米．
故此题答案为D．
3．[2025广东·中考真题]某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ）
A． B． C． D．
【知识点】相反意义的量
【答案】A
【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作，
∴低于标准质量记作．故选A．
【关键点拨】
用正数和负数表示具有相反意义的量时，要根据实际情况，规定哪种意义的量为正数，那么与其意义相反的量为负数，相反意义的量必须是同类量且成对出现，不要求数量一定相等.
4．[2024广东深圳·二模]某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定
【知识点】正数、负数的意义
【答案】B
【分析】根据正负数的概念即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，
∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手．故选B．
类型2 数轴、相反数和绝对值
【例题】
5．[2025广东佛山·一模]如图,数轴上点A表示的数的相反数是 (　　)
A．-2 B．- C．2 D．3
【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义及求一个数的相反数
【答案】C
【详解】点A表示的数为-2,-2的相反数为2,故选C.
【变式】
6．[2025广东韶关·一模]的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】相反数的定义及求一个数的相反数
【答案】B
【分析】根据相反数的定义可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选B．
【知识归纳】 相反数的定义 ：相反数是指两个数相加等于0的数．具体来说，一个数a的相反数是-a，即a与-a的和为0.
7．[2025广东阳江·二模]的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【知识点】绝对值的定义及求一个数的绝对值
【答案】C
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可作答．
【详解】解：的绝对值是，
故选C
8．[2025广东惠州·一模]如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的（ ）
A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【答案】B
【详解】－6的相反数是6，A点表示－6，所以B点表示6.
故选B.
9．[2025广东中山市华侨中学·二模]如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是　　
A． B． C． D．3
【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义
【答案】B
【分析】如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点．
【详解】解：如图，AB的中点即数轴的原点O．
根据数轴可以得到点A表示的数是．故选B．
类型3 科学记数法
【例题】
10．[2025广东·中考真题]依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
【详解】解：3000亿．
故选D．
【变式】
11．[2025广东韶关·一模]韶关位于广东省北部，全市总面积约为18400平方千米，居广东省第二位．数据18400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：18400；
故选C．
12．[2025广东深圳·二模]据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)
A．5.3×103 B．5.3×104 C．5.3×107 D．5.3×108
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】C
【分析】按照科学记数法的表示形式求解即可．
【详解】解：5300万=53000000=.
故选C.
【方法技巧】科学记数法的表示：
一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零)．
13．[2025广东莞中·一模]中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　）
A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】B
【分析】按照科学记数法的表示形式求解即可．
【详解】6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨．
故选B．
【方法技巧】科学记数法的表示：
一个数可以用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当这个数的绝对值比10大时，n为正整数，n的值比这个数的整数位数小1；当这个数的绝对值比1小时，n为负整数，|n|就是这个数中从左边起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的零)．
类型4 实数的分类
【例题】
14．[2025广东广州·中考真题]下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．3
【知识点】实数的概念和分类
【答案】A
【分析】根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．
【详解】解：选项A，是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数，负号表明其为负数，故是负无理数；
选项B，是整数，属于有理数，不符合无理数的条件；
选项C，是整数，属于有理数，且非负数；
选项D，是正整数，属于有理数，且非负数；
综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件，
故此题答案为A．
【变式】
15．[2025广东潮实·二模]下列各数是负数的是（ ）
A．0 B．2 C． D．
【知识点】有理数的分类
【答案】D
【分析】根据正负数的定义求解即可．
【详解】解：．0既不是正数也不是负数，故该选项不符合题意；
．2是正数，故该选项不符合题意；
．，0.2是正数，故该选项不符合题意；
．是负数，故该选项符合题意；
故选D．
16．[2024广东惠州·一模]下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点】对有理数概念的理解
【答案】C
【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数．
【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个.
故此题答案为C.
类型5 平方根和立方根
【例题】
17．[2024广东·中考真题]完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【知识点】算术平方根
【答案】B
【分析】先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．
【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，
∴一个正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故选B．
【变式】
18．[2023广东深圳·二模]的结果为（ ）
A．4 B．2 C．±2 D．±4
【知识点】立方根
【答案】B
【详解】∵（2）3＝8，
∴＝2.
故选B.
19．[2024广东广州·一模]（ ）
A． B．2024 C． D．
【知识点】算术平方根
【答案】A
【详解】解：，
故选A．
20．[2024广东江门·一模]若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
【知识点】有理数的乘方、算术平方根非负性的应用
【答案】B
【详解】解：，
，即，
，
，
故此题答案为B．
类型6 实数的大小比较
【例题】
21．[2024广东深圳·中考真题]如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
【知识点】利用数轴比较有理数的大小
【答案】A
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．
【详解】解：由数轴知，，则最小的实数为a，
故此题答案为A．
【变式】
22．[2024广东广州·中考真题]四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
【知识点】有理数大小比较
【答案】A
【分析】有理数比较大小的法则：①正数都大于0; ②负数都小于0; ③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：，最小的数是，
故此题答案为A．
23．[2024广东阳江·一模]下列实数中，最大的是（ ）
A． B． C．0 D．
【知识点】实数大小比较
【答案】D
【分析】一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是．
故此题答案为D．
24．[2024广东广州·二模]四个实数π，1，，中，最大的实数是（　　）
A．π B．1 C． D．
【知识点】实数大小比较
【答案】C
【分析】首先判断出的取值范围，然后根据实数大小比较的方法判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个实数π，1，，中，最大的实数是．
故此题答案为C．
类型7 实数的运算
【例题】
25．[2025广东深圳·中考真题]计算：．
【知识点】实数的运算、零指数幂
【答案】7
【详解】原式．
【关键点拨】任何非零数的零次幂等于1．
【变式】
26．[2024广东·中考真题]计算：．
【知识点】实数的运算、负整数指数幂、零指数幂
【答案】2
【分析】根据零指数幂，绝对值，算术平方根的性质进行运算即可．
【详解】解：原式
．
27．[2025广东广州·一模]计算：
【知识点】实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．
【详解】解：原式
．
28．[2025广东深圳·一模]计算：．
【知识点】实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂
【答案】
【分析】原式先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可．
【详解】解：
．
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每小题3,分，共42分）
1．[2025山东济南·中考真题]下列各数中为负数的是（　　）
A． B．0 C．2 D．
【知识点】正数、负数的意义
【答案】D
【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数，
故此题答案为D ．
2．[2025河南·中考真题]在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【知识点】相反意义的量
【答案】B
【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个，
故选B．
【关键点拨】
用正数和负数表示具有相反意义的量时，要根据实际情况，规定哪种意义的量为正数，那么与其意义相反的量为负数，相反意义的量必须是同类量且成对出现，不要求数量一定相等.
3．[2025山东·中考真题]如图，数轴上表示的点是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【答案】A
【详解】数轴上表示的点是，故选．
4．[2025四川广元·中考真题]的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．4
【知识点】相反数的定义及求一个数的相反数、算术平方根
【答案】B
【分析】计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是．
【详解】解：∵表示4的算术平方根，且，
∴．
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是．
故此题答案为B．
5．[2025吉林·中考真题]如图，点表示的数是1.若将点向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【知识点】数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数
【答案】B
【详解】 点在数轴上向左移动3个单位长度得到点，点表示的数是1， 点表示的数为，故选.
6．[2025山东烟台·中考真题]的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【知识点】倒数、绝对值的定义及求一个数的绝对值
【答案】B
【详解】解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选B．
7．[2025江西·中考真题]下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【知识点】无理数
【答案】B
【详解】0是整数，是有限小数，是分数，它们不是无理数，是无理数，故选.
8．[2025河北·中考真题]从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】有理数的加法法则
【答案】B
【详解】解：从上升了后的温度为，
故选B．
9．[2025江西·中考真题]在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ）
晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精
熔点（单位：）
A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精
【知识点】有理数大小比较的应用
【答案】D
【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为，
∵，
∴熔点最高的是固态酒精,
故选D．
【方法技巧】比较两个负数大小的一般步骤：(1)先求出两个负数的绝对值 ；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”确定原数的大小.
10．[2025北京·中考真题]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】实数与数轴、绝对值的几何意义
【答案】D
【详解】解：由数轴得，且，
∴，，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选D．
11．[2025重庆·中考真题]下列四个数中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】D
【详解】，，，，且，， 四个数中，最大的是，故选.
12．[2025江苏扬州·中考真题]如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】实数与数轴
【答案】C
【详解】解：设点表示的数为，由图可知，
A选项：∵，即，
B选项：∵，即，
C选项：∵，即，
D选项：∵，即.
故选C．
13．[2025北京·中考真题]2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
【知识点】科学记数法表示较大的数
【答案】C
【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即小行星与地球的最近距离约为．
故选C.
14．[2025四川资阳·中考真题]已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离
【答案】A
【分析】根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可．
【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧，
当该点在点A右侧时，表示的数为；
当该点在点A左侧时，表示的数为；
因此，符合条件的数为或；
故此题答案为A．
二、解答题（共18分）
15．[2025山东济南·一模，6分]计算：
【知识点】实数的运算
【答案】
【分析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减．
【详解】解：原式
．
16．[2025陕西西安·一模，6分]计算：
【知识点】实数的运算、负整数指数幂
【答案】
【分析】先运算负整数指数幂，运用二次根式性质化简以及化简绝对值，再运算除法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
17．[2025陕西西安·二模，6分]计算：.
【知识点】化简绝对值、实数的运算、立方根、负整数指数幂
【答案】1＋
【分析】按顺序先分别进行立方根的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式＝－2×(－3)＋－1－4＝1＋.
实数及其运算验收卷
满分：60分 得分：____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
2．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
3．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
4．中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5．在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．3.14
【答案】B
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
【详解】解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
6．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【分析】将各选项的运算符号代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
，
因为，
所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意；
B．和，，故B符合题意；
C．和，相等，故C不符合题意；
D．和，相等，故D不符合题意．
故选：B．
8．如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．先判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：，
，
点符合题意．
故选：C．
9．能与相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
【详解】解：方法一：；
方法二：的相反数为；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变．
10．光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；
D. 是一个13位数,正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
二、填空题（每空3分，共30分）
11．计算： ．
【答案】0
【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
12．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为，则 ．
【答案】8
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
13．写出一个无理数x，使得，则x可以是 （只要写出一个满足条件的x即可）
【答案】答案不唯一（如等）
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数，，
③含有π的数等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案为：答案不唯一（如等）
【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
14．科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为 米．
【答案】1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
15．若，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键．
16．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
【详解】解：由题意，填写如下：
，满足题意；
故答案为：0．
17．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
18．已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
【答案】
【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案为：；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，而，
∴，，
观察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），
故答案为：．
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