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高频考点专练04 分式
（3个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
1.分式
（1）定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0．
（2）分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．．
（3）分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母．
2.分式的乘除
①乘法法则：．分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
②除法法则：．分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
③分式的乘方：．分式乘方要把分子、分母分别乘方．
④整数负指数幂：．
3.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：．
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解．
类型1 分式有无意义及分式的值为0的条件
【例题】
1．（2025·广东广州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键．由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解： 分式有意义，
，
，
故选：C
【变式】
2．（2025·广东阳江·二模）已知分式，当 时，分式没有意义．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式没有意义的条件，属于应知应会题型，熟知基本知识是解题关键．根据分式没有意义的条件：分母为0解答即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：．
故答案为：．
3．（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】解：分式的值为0，
∴且．
解得：．
故答案为：．
4．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：，
当时，分式的值为0，
即，
解得：，
∴，
故选：D．
类型2 分式的求值
【例题】
5．（2025·广东深圳·三模）若，则 ．
【答案】3
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式的求值，直接把代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【变式】
6．（2024·广东·二模）若，则分式 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查等式性质、分式求值，根据已知可得，然后将代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
7．（2025·广东广州·二模）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数 ．
【答案】4
【知识点】分式的求值
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为；4．
类型3 分式的乘除
【例题】
8．（2023·广东汕头·二模）把式子化到最简其结果为 ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】第二个分式的分子和分母先分解因式，再化除法为乘法，然后约分即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
【变式】
9．（2024·广东惠州·一模）计算：．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的除法运算．把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果化为最简即可．
【详解】解：原式
．
10．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
（1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分．
（2）根据分式的运算，正确计算即可，
【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误，
故答案为：①；
（2）原式
．
类型4 分式的加减
【例题】
11．（2025·广东东莞·二模）化简 ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减法，平方差公式的应用，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
先把分子相减，然后约分即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【变式】
12．（2025·广东梅州·模拟预测）化简的结果为 ．
【答案】2
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键．
先通分，然后按照同分母分式加减运算法则计算并约分即可．
【详解】解：
．
13．（2025·广东深圳·一模）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握是解题的关键．
先通分再带入计算即可．
【详解】解：．
故答案为．
14．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：化简：，解：原式①，…②，③
解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程．
【答案】①；正确的化简过程见解析
【知识点】异分母分式加减法
【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤①错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可．
【详解】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①，
正确的化简过程如下：
原式
，
故答案为：①．
15．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学：第一步第二步．第三步 乙同学：第一步第二步．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
(2)请重新写出此题完整的正确解答过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】异分母分式加减法
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
本题考查了分式的异分母的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
类型5 分式的化简求值
【例题】
16．（2025·广东韶关·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤．
先对分式进行通分，再进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
将代入得，原式．
【变式】
17．（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案．
【详解】解：
．
当时，原式．
18．（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则，进行化简，然后把代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．（2025·广东韶关·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了分式化简求值，负整数指数幂，零指数幂，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据负整数指数幂，零指数幂求得代入求值即可．
【详解】
；
当，即时，
原式．
20．（2025·广东深圳·三模）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再根据，得到，整体代入法进行计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
21．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．
【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析；
(2)
【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可；
（2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可．
【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，
故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号；
正确的解答过程如下所示：
；
（2）解：当时，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为．
22．（2025·广东广州·二模）已知：
(1)化简；
(2)若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求解．
（1）先通分，化成同分母，利用同分母分式的加减法求解即可；
（2）根据题意得，再整体代入求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由题意得，
∴原式．
23．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若是9的平方根，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的平方根、分式化简求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方根的定义，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合混合法则是解题的关键．
（1）根据乘法公式，分式的性质，分式的混合运算即可求解；
（2）根据平方根的定义求出，结合分式有意义的条件得到，再代入化简后的计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵是9的平方根，
∴，
∵且，
∴且，
∴，
此时，．
24．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简A；
(2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式值为零的条件、分式化简求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先算分式的加法，再算除法即可；
（2）根据分式的值为零，可得分式的分子为零，分母不为零，求得x的值，代入求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
解得：，
∴．
25．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若数轴上点、表示的数分别为、，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式化简求值、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了分式的化简求值，数轴上两点间距离等知识，解题的关键是：
（1）先计算括号内，然后把除法转化为乘法，最后约分即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式求出，然后代入（1）中化简的结果计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵数轴上点、表示的数分别为、，且，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
综上，的值为．
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可．
【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意；
故选B．
2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 .
【详解】∵ 分式 有意义需分母 ，
∴ ，
故选： A．
3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得且且，
故选：D．
4．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
【答案】A
【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：；
故选A．
5．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案．
【详解】解：
故选：D
6．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
；
故选A．
7．（2025·河北·中考真题）若，则（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
【详解】解：
当时，原式
故选：B．
8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果．
【详解】解：∵
∴，
，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
11．（2025·湖南·中考真题）约分： ；
【答案】
【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键．
直接约去分子与分母的公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（2025·山东东营·中考真题）化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算．
先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
14．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15．（2025·安徽·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
16．（2025·江苏宿迁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键．
先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．（2025·江苏淮安·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题，7分）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
19．（2025·青海西宁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
，
，
∴原式
．
20．（2025·北京·中考真题，7分）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
21．（2025·四川遂宁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键；
先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可．
【详解】解：
，
∵a满足，即但，
∴，
∴当时，原式．
22．（2025·四川眉山·中考真题，7分）先化简，再求值：．其中x、y满足
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
23．（2025·重庆·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式=
【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴原式．
24．（2025·山东滨州·中考真题，15分）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
【答案】(1)
(2)或4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键：
（1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果；
（2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
（2）由（1），得：，
∴，
当时，．
∵与均为整数，
∴或．
∴，
又∵且，
∴且．
∴或4．
分式验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ）
A． B． C．x D．3x
【答案】A
【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可．
【详解】解：当时，，，，
根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是，
故选：A．
2．若分式的值等于0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
【详解】由题意可得：且，解得．
故选A．
【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
3．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题关键．逐项检查每个选项是否可约分，即可得到答案．
【详解】解：A、，不是最简分式，选项错误；
B、，不是最简分式，选项错误；
C、，不是最简分式，选项错误；
D、，是最简分式，选项正确；
故选：D．
5．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
【详解】解：原式
故选：A
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答．
【详解】解：，
故选：D
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故选：D．
8．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
【答案】B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
9．若分式有意义，则下列关于运算结果的说法中正确的是（ ）
A．不可能是负数 B．不可能是正数 C．不可能是0 D．有可能是0
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，根据异分母分式加法计算法则可得，再由分式有意义的条件可推出不存在这种情形，则，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵分式有意义，
∴，
∴，
∴不存在这种情形，
∴，
又∵的值可以为负，也可以为正，
∴的值可以为负，也可以为正，但不可以为0，
故选：C．
10．已知为整式，若计算的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而．
【详解】解：，
，
，
，
，
；
故选D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积．
【详解】解：∵，，
∴最简公分母为．
故答案为：．
12．化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可．
【详解】解：，
故答案为：
13．若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案．
【详解】解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数，
∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2，
∴符合题意的M可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，先理解题意得，整理得，再通分化简，即可作答．
【详解】解：依题意，
则
则
故答案为：
15．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度．
【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米，
则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时，
则她往返家里和图书馆的平均速度为，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．（9分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中．解：原式……
【答案】，，，过程见解析
【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴，
∴，
原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
17．（9分）以下是小贤化简分式的过程．
解：原式．
(1)在化简过程中的横线上依次填入的序号为________．
①；②；③；④．
(2)请在1，2，中选择一个合适的数作为x的值，代入化简的结果并求值．
【答案】(1)
(2)，当时，原式
【分析】（）利用分式的运算法则进行计算即可求解；
（）由分式有意义的条件可得且，再把代入化简后的结果中计算即可求解；
本题考查了分式的化简求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由分式有意义的条件得，且，
∴且，
把代入得，原式．
18．（9分）下面是小华化简分式的过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……
(1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步；
(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值．
【答案】(1)二、三
(2)； 时，值为7，时，值为6．
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
（1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤；
（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步，
故答案为：二、三；
（2）解：原式=
=
=
=
∵，，
∴，2，3
∴可取4，5
当时，原式（或当时，原式）
19．（9分）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
20．（9分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可打得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．（9分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据即可得出结论．熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
原式．
22．（9分）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值．
【答案】；当时，原式=1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，然后再根据分式有意义的条件选择合适的值代入化简后的分式结果求解即可．
【详解】解：
，
当，，1时，分式无意义，
故，则原式
23．（12分）已知代数式．
(1)化简．
(2)若的取值范围如图所示，且为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简求值，用数轴表示不等式的解集：
（1）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可；
（2）根据数轴，得到，得到，根据分式有意义的条件，得到，代入（1）的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）由数轴可知：，
∵为正整数，
∴，
∵，
∴，
∴当时，．
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高频考点专练04 分式
（3个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
1.分式
（1）定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0．
（2）分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．．
（3）分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母．
2.分式的乘除
①乘法法则：．分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
②除法法则：．分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
③分式的乘方：．分式乘方要把分子、分母分别乘方．
④整数负指数幂：．
3.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：．
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解．
类型1 分式有无意义及分式的值为0的条件
【例题】
1．（2025·广东广州·二模）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2025·广东阳江·二模）已知分式，当 时，分式没有意义．
3．（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ．
4．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
类型2 分式的求值
【例题】
5．（2025·广东深圳·三模）若，则 ．
【变式】
6．（2024·广东·二模）若，则分式 ．
7．（2025·广东广州·二模）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数 ．
类型3 分式的乘除
【例题】
8．（2023·广东汕头·二模）把式子化到最简其结果为 ．
【变式】
9．（2024·广东惠州·一模）计算：．
10．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
类型4 分式的加减
【例题】
11．（2025·广东东莞·二模）化简 ．
【变式】
12．（2025·广东梅州·模拟预测）化简的结果为 ．
13．（2025·广东深圳·一模）已知，，则 ．
14．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：化简：，解：原式①，…②，③
解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程．
15．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学：第一步第二步．第三步 乙同学：第一步第二步．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
(2)请重新写出此题完整的正确解答过程．
类型5 分式的化简求值
【例题】
16．（2025·广东韶关·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式】
17．（2025·广东湛江·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·广东佛山·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025·广东韶关·二模）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·广东深圳·三模）先化简，再求值：，其中x满足方程：．
21．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．
22．（2025·广东广州·二模）已知：
(1)化简；
(2)若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为，求的值．
23．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若是9的平方根，求此时的值．
24．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简A；
(2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
25．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简；
(2)若数轴上点、表示的数分别为、，且，求的值．
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
4．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
5．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
7．（2025·河北·中考真题）若，则（ ）
A． B． C．3 D．6
8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
11．（2025·湖南·中考真题）约分： ；
12．（2025·山东东营·中考真题）化简 ．
13．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ．
14．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
三、解答题（共78分）
15．（2025·安徽·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
16．（2025·江苏宿迁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
17．（2025·江苏淮安·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题，7分）先化简，再求代数式的值，其中．
19．（2025·青海西宁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中满足．
20．（2025·北京·中考真题，7分）已知，求代数式的值．
21．（2025·四川遂宁·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中a满足．
22．（2025·四川眉山·中考真题，7分）先化简，再求值：．其中x、y满足
23．（2025·重庆·中考真题，7分）先化简，再求值：，其中．
24．（2025·山东滨州·中考真题，15分）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
分式验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（ ）
A． B． C．x D．3x
2．若分式的值等于0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
3．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
9．若分式有意义，则下列关于运算结果的说法中正确的是（ ）
A．不可能是负数 B．不可能是正数 C．不可能是0 D．有可能是0
10．已知为整式，若计算的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．分式与的最简公分母是 ．
12．化简： ．
13．若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ．
14．如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ．
15．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ．
三、解答题（共75分）
16．（9分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中．解：原式……
17．（9分）以下是小贤化简分式的过程．
解：原式．
(1)在化简过程中的横线上依次填入的序号为________．
①；②；③；④．
(2)请在1，2，中选择一个合适的数作为x的值，代入化简的结果并求值．
18．（9分）下面是小华化简分式的过程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……
(1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步；
(2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值．
19．（9分）先化简，再求值：，其中，．
20．（9分）先化简，再求值：，其中．
21．（9分）先化简，再求值：，其中．
22．（9分）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值．
23．（12分）已知代数式．
(1)化简．
(2)若的取值范围如图所示，且为正整数，求的值．
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