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第十九章二次根式单元小结教学评一体化设计
（人教版新教材八年级数学）
一、教学案
（一）课题
第十九章二次根式单元小结
（二）课时安排
1课时（45分钟）
（三）学科素养目标
1.数学抽象：梳理二次根式的概念、性质及运算法则，形成完整的知识体系，提升抽象概括与知识整合能力。
2.逻辑推理：通过回顾二次根式的运算逻辑，明确性质与运算的内在关联，能清晰阐述运算依据，强化推理表达能力。
3.数学运算：熟练掌握二次根式的化简、加减、混合运算及公式应用，规范运算步骤，减少典型错误，提升运算准确性与熟练度。
4.数学建模：能运用二次根式相关知识解决几何边长、面积等实际问题，体会知识的应用价值，完善运算建模思想。
5.反思与迁移：总结单元学习中的易错点、重难点，形成“观察—化简—运算—检验”的思维习惯，能迁移知识解决同类问题。
（四）教学重难点
1.教学重点
（1）梳理二次根式的核心概念、性质及运算法则，构建完整的单元知识网络。
（2）熟练进行二次根式的化简、加减、混合运算，掌握乘法公式的灵活应用。
（3）明确同类二次根式的判断方法，规范二次根式加减运算的步骤。
2.教学难点
（1）灵活运用二次根式的性质进行化简，避免化简不彻底、符号错误等问题。
（2）混合运算中运算顺序、公式应用与同类二次根式合并的综合运用。
（3）解决与二次根式相关的实际应用题，实现知识的迁移与应用。
（4）辨析并纠正单元学习中的典型易错点（如非同类二次根式合并、公式误用等）。
（五）教学方法
1.梳理归纳法：引导学生自主回顾单元知识点，通过提问、小组讨论，归纳整合知识，形成知识网络。
2.讲练结合法：针对重难点、易错点设计典型例题，示范讲解后搭配分层练习，及时巩固提升。
3.易错辨析法：收集单元学习中的典型错题，引导学生分析错误原因，总结纠正方法，强化记忆。
4.小组合作法：组织小组讨论知识梳理思路、错题辨析及实际问题解法，促进互助学习与思维碰撞。
（六）教学过程
1.回顾导入（5分钟）
（1）提问导入：回顾本单元我们学习了二次根式的哪些核心内容？请同学们自主思考，尝试列举关键点。
（2）梳理引入：结合学生回答，简要引导，明确本节课核心的——梳理单元知识、突破重难点、纠正易错点、提升应用能力，导入单元小结课。
2.知识梳理（20分钟）
（1）核心概念梳理（手动编号，清晰呈现）
①二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数，且被开方数必须是非负数（）。
②最简二次根式：满足两个条件——不含分母；不含开得尽方的因数或因式。
③同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）核心性质梳理
①双重非负性：（），即二次根式的结果是非负数，被开方数也是非负数。
②平方性质：（）；，当时，；当时，。
③乘除性质：（，）；（，）。
④加减性质：二次根式加减的本质是合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并。
（3）运算法则梳理
①化简运算：先将二次根式化为最简二次根式（分母有理化、开尽方），再进行后续运算。
②加减运算：步骤为——一化简、二判断（同类二次根式）、三合并（只把系数相加减，根式部分不变）。
③混合运算：运算顺序与整式混合运算一致——先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的；乘法公式（平方差、完全平方）可灵活运用简化运算。
（4）知识网络构建：引导学生结合上述梳理，手动绘制简单知识网络，明确概念、性质、运算的内在关联，教师补充完善。
3.重难点突破与易错辨析（12分钟）
（1）典型例题示范（覆盖重难点）
例1化简：（侧重化简与加减运算，强调最简二次根式）
解：原式
例2计算：（侧重混合运算与公式应用）
解：原式
（2）易错点辨析（结合典型错题）
①错误1：（纠正：非同类二次根式，被开方数不同，不能合并）
②错误2：（纠正：忽略双重非负性，当时，，如）
③错误3：化简时，直接写成（纠正：需分母有理化，）
④错误4：混合运算时，先算加减再算乘除（纠正：遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序）
4.课堂小结与作业布置（8分钟）
（1）课堂小结：师生共同回顾，明确3点核心——①知识体系：概念、性质、运算的内在关联；②易错点：化简不彻底、公式误用、同类二次根式判断错误；③核心方法：先化简、再运算、后检验。
（2）作业布置：结合导学案课后作业，分层落实，巩固单元知识。
（七）板书设计
第十九章二次根式单元小结
一、核心概念
1.二次根式：（）
2.最简二次根式：无分母、无开尽方因数/因式
3.同类二次根式：最简后被开方数相同
二、核心性质
1.双重非负性：，
2.（）；
3.；（，）
三、运算法则
1.加减：化简→判断→合并（同类二次根式）
2.混合：先乘方→再乘除→最后加减（用公式简化）
四、易错点
1.非同类二次根式不能合并
2.化简彻底、符号正确
3.运算顺序不颠倒
二、导学案
（一）学习目标
1.梳理二次根式的概念、性质及运算法则，构建完整的单元知识网络。
2.熟练掌握二次根式的化简、加减、混合运算，能灵活运用乘法公式简化计算。
3.能准确判断同类二次根式，规范运算步骤，避免典型易错点。
4.能运用二次根式知识解决几何、实际应用问题，提升知识迁移与应用能力。
5.总结单元学习经验，养成规范运算、主动纠错的良好习惯。
（二）学习重难点
1.学习重点
（1）二次根式的概念、性质及运算法则的梳理与整合。
（2）二次根式的化简、加减及混合运算，同类二次根式的判断与合并。
2.学习难点
（1）二次根式性质的灵活运用，尤其是的应用。
（2）混合运算中运算顺序、公式应用与同类二次根式合并的综合运用。
（3）解决与二次根式相关的实际应用题，辨析并纠正典型易错点。
（三）学习过程
1.课前预习：自主回顾本单元知识点，完成下列梳理（手动填写）
（1）二次根式的定义：________________________
（2）最简二次根式的条件：①________；②________
（3）同类二次根式的定义：________________________
（4）写出二次根式的2个核心性质：________________________
（5）二次根式加减运算的步骤：________________________
2.课堂探究一：知识梳理整合
结合课堂讲解，完善下列知识梳理，构建知识网络
（1）核心概念
①二次根式：（），被开方数必须是非负数，二次根式的结果也是非负数。
②最简二次根式：不含分母，且不含开得尽方的因数或因式（如不是最简，化简为才是最简）。
③同类二次根式：先将二次根式化为最简，再看被开方数，被开方数相同即为同类（如与，化简后均含，是同类二次根式）。
（2）核心性质
①双重非负性：若，则，（常用结论）。
②平方性质：；；（需分情况讨论的正负）。
③乘除性质：；。
（3）运算法则
①化简运算：分母有理化（如）、开尽方（如）。
②加减运算：先化简，再找同类二次根式，最后合并系数（如）。
③混合运算：遵循运算顺序，灵活用公式（如平方差：；完全平方：）。
3.课堂探究二：易错点辨析与典型例题
（1）易错点纠正（手动标注错误原因）
①错误：（错误原因：________________________）
②错误：（错误原因：________________________）
③错误：（错误原因：________________________）
（2）典型例题练习（规范书写步骤）
例1化简：解：________________________
例2计算：解：________________________
4.课堂探究三：实际应用
例题：已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，求该三角形的斜边长和面积。
解：________________________
5.课堂小结
（1）知识梳理：本节课我们梳理了二次根式的________、________和________，构建了完整的知识网络。
（2）易错点提醒：运算时要注意________、________和________，避免出现典型错误。
（3）核心方法：二次根式运算的核心是“________、________、________”，确保运算准确规范。
（四）课后作业（分层作业）
1.基础题（侧重概念、性质与基础运算）
（1）判断下列式子是否为二次根式：①②③（是打√，否打×，并说明理由）
（2）化简下列二次根式：①②③④
（3）判断下列各组是否为同类二次根式：①与②与③与
（4）计算：
（5）计算：
（6）已知，求的值。
2.提高题（侧重混合运算与公式应用）
（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
（4）化简：
3.拓展题（侧重实际应用与综合运用）
（1）一个矩形的长为，宽为，求该矩形的周长和面积。
（2）一个等腰三角形的腰长为，底边长为，求该三角形的周长。
（3）已知正方形的对角线长为，求该正方形的边长和面积。
（4）一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，求另一条直角边长和三角形的面积。
三、测评练习及答案
测评练习
（满分100分，时间40分钟）
1.选择题（每题3分，共15分）
（1）下列式子中，是二次根式的是（）
A.
B.
C.
D.（）
（2）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A.
B.
C.
D.
（3）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）
A.与
B.与
C.与
D.与
（4）计算的结果是（）
A.
B.
C.
D.
（5）下列运算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
2.填空题（每题4分，共20分）
（1）若有意义，则的取值范围是________。
（2）化简：________；________。
（3）计算：________；________。
（4）若，则________。
（5）计算：________。
3.解答题（共65分）
（1）化简下列各式（每题5分，共15分）
①
②
③
（2）计算下列各式（每题6分，共24分）
①
②
③
④
（3）实际应用题（每题8分，共16分）
①已知一个矩形的长为，宽为，求该矩形的周长和面积。
②一个直角三角形的两条直角边长分别为和，求该三角形的斜边长和面积。
（4）拓展题（10分）
已知，，求的值。
测评练习参考答案
1.选择题（每题3分，共15分）
（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D
2.填空题（每题4分，共20分）
（1）（2）；（3）；（4）1（5）1
3.解答题（共65分）
（1）化简（每题5分，共15分）
①解：原式（5分）
②解：原式（5分）
③解：原式（5分）
（2）计算（每题6分，共24分）
①解：原式（6分）
②解：原式（6分）
③解：原式（6分）
④解：原式（6分）
（3）实际应用题（每题8分，共16分）
①解：周长（4分）
面积（4分）
②解：斜边长（4分）
面积（4分）
（4）拓展题（10分）
解：∵，
∴
∴
∴（10分）
导学案课后作业答案
1.基础题答案
（1）①×（被开方数为负，无意义）；②√（，被开方数非负）；③√（被开方数）
（2）①；②；③；④
（3）①√（，与被开方数相同）；②√（，与被开方数相同）；③√（，与被开方数相同）
（4）原式
（5）原式
（6）∵，，且和为0∴，∴，∴
2.提高题答案
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
3.拓展题答案
（1）周长；面积
（2）周长
（3）边长；面积（或面积）
（4）另一条直角边长；面积

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