资源简介

28.1圆的概念和性质
【教学目标】
1.会用圆规画圆,理解圆的描述定义,掌握圆各部分名称及圆的特征.
2.了解点与圆的位置关系,理解点到圆心的距离与半径之间的关系.
【重点难点】
重点：掌握圆各部分的名称及圆的特征.
难点：点与圆的各种位置关系,点到圆心的距离与半径r的关系.
┃教学过程设计┃
　　教学过程 设计意图
一、创设情境,导入新课 教师：前面我们已经学习过两种常见的几何图形,三角形、四边形.大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？ 学生：折叠、平移、旋转、推理证明等方法. 教师：好！大家总结得很详细,今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆,圆的性质与应用同样需要通过折叠、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究. 在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？ 　　利用简单的问题导出本节课的学习课题,有利于提高学生对本节课的学习兴趣,为更好地学习圆的对称性作准备.
二、师生互动,探究新知 教师：大家看教材,你能用自己的语言口述圆的定义吗？ 学生看教材. 学生：将线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转一周,另一个端点P运动所形成的封闭曲线叫做圆. 看教材练习第1题. 教师：你能举出一些圆形物体的实例吗？学生甲：太阳、盘子等. 学生乙：车轮、表盘等. 活动：利用圆规画一个⊙O,使⊙O的半径r＝3cm. 教师：在平面内任意取一点P,点与圆有哪几种位置关系？ 学生：圆内、圆上和圆外. 教师：分别在圆内、圆上、圆外各取一个点,量出这些点到圆心的距离,并比较它们与圆半径的大小. 你有什么发现？ 学生小组讨论,教师参与. 师生共同努力完成： 如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么 点P在圆内 d＜r, 点P在圆上 d＝r, 点P在圆外 d＞r. 教师：请大家看教材内容,我们来认识一下弧、弦、直径等与圆有关的概念.请你把重要的信息写下来. 教师点拨,学生看教材写： 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 如右图,以A、B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦,弦CD是⊙O的一条直径. 大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧,也不是优弧. 直径是弦,但弦不一定是直径. 教师还要说明弓形,等圆,等弧的定义.
用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,通过学生的自我学习或者小组学习完成对定义的深化. 通过小组交流,教师点拨,实现知识系统化.
　　三、合作探究 探究点一：与圆相关的概念 【类型一】 圆的有关概念的理解 有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C. 方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条． 【类型二】 利用圆的相关概念进行线段的证明 如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC. 解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论． 证明：∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝OA，OD＝OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD. 方法总结：“同圆的半径相等”“公共角”“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，将复杂问题简单化，使问题迎刃而解． 【类型三】 利用圆的相关概念进行角的计算 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数． 解析：要求∠AOC的度数，由图可知∠AOC＝∠C＋∠E，故只需求出∠C的度数，而由AB＝2DE知DE与⊙O的半径相等，从而想到连接OD构造等腰△ODE和等腰△OCD. 解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，OC，OD是⊙O的半径，AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°，∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°. 方法总结：本题考查了圆的相关概念与等腰三角形的综合，解题时结合题设条件，运用半径构造出等腰三角形，根据等腰三角形的性质求解． 探究点二：点与圆的位置关系 【类型一】 判断点和圆的位置关系 如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内．∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上．∵AC＝＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外； (2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，∴3cm＜r＜5cm. 方法总结：平面上一点P与⊙O(半径为r)的关系有以下三种情况：(1)点P在⊙O上，OP＝r；(2)点P在⊙O内，OPr. 【类型二】 点和圆的位置关系的应用 如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O与点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区． 方法总结：解决实际问题时，应选取合适的数学模型，结合所学知识求解．本题应用到的是点和圆及三角形三边关系的相关知识． 　　主要是通过练习题来巩固学生所学习的知识,提高小组合作能力和水平.
　　四、课堂小结,提炼观点 今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？还有什么问题吗？ 　　通过简短的总结,让学生对本节知识形成整体框架.

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