资源简介

垂径定理
【教学目标】
1.能理解圆的轴对称性和垂径定理及其逆定理.
2.能运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
【重点难点】
重点：垂径定理及其逆定理.
难点：垂径定理及其逆定理的证明.
┃教学过程设计┃
　　教学过程 设计意图
一、创设情境,导入新课 你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？ 通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题. 　　结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透,并引入新知识.
二、师生互动,探究新知 1.实验发现 实验：用纸剪一个圆(课前让学生做好),沿着圆的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么？由此你得到了什么结论？ 结论：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线. 2.探究活动1：垂径定理 如下图,在圆形纸上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为E,再将纸片沿CD对折. 思考：①上图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？ ②你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说一说你的想法. 通过讨论,可得下面定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 验证：你能用逻辑的方法验证垂径定理吗？ 例1　已知,如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E. 求证：AE＝EB,弧AD=弧DB (或弧AC=弧CB) 分析：如图,连接OA、OB,则OA＝OB.可通过证明Rt△OAE和Rt△OBE全等,结合轴对称证明. 3.探究活动2：垂径定理的推论. 你能写出垂径定理的逆命题吗？这个逆命题正确吗？ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 若AB是⊙O的一条弦,且AP＝BP,过点P作直径CD,则AB⊥CD,弧AC=弧BC, 弧AD=弧BD. 思考：平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦吗？ 教师引导学生先写出垂径定理的逆命题,再判断出此逆命题是正确的. 根据逆命题画出图形,写出已知,求证. 引导学生仿照垂径定理的证明来证明这个命题. 指出思考的问题是正确的,也是垂径定理的逆定理. 最后教师归纳垂径定理及其逆定理. 例2　出示教材例3,并让学生解决. 让学生亲自动手,进行实验、探究,得出圆的轴对称性. 让学生亲自动手,进行实验、探究,得出圆的轴对称性. 通过该问题引导学生探究、发现垂径定理,初步感知. 引导学生自主、合作探究,培养学生逻辑推理能力. 学会用类比的方法解决问题,掌握垂径定理的逆定理. 　 　会利用垂径定理解决问题.
　　三、合作探究 探究点一：垂径定理及应用 【类型一】利用垂径定理求线段长 如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm 　　　　B．3cm C．4cm 　　　　D．4cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2cm，∴AB＝4cm.故选D. 方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题． 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理的应用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，在Rt△ADO中，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250. 方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 【类型三】 动点问题 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长． 解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm． 方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况． 探究点二：垂径定理的推论的应用 【类型一】利用垂径定理的推论求角 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D. 【类型二】 利用垂径定理的推论求边 如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(　　) A．9 B．8 C．6 D．4 解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直径CD过弦AB的中点E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8.故选B. 方法总结：垂径定理的推论虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手． 进一步巩固所学知识,加深对定理的理解.
　　四、课堂小结,提炼观点 本节课你有什么收获？你还有什么疑惑？
　　五、布置作业,巩固提升 在直径为20cm的圆柱形油桶内装入一些油后,截面如图,如果油面宽AB＝12cm,那么油的最大深度是多少？ 　　分层教学,加深认识,深化提高.

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