资源简介

弦、弧、圆心角、弦心距间的关系
【教学目标】
1.了解圆是旋转对称图形及圆心角的概念.
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.
【重点难点】
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.
难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.
┃教学过程设计┃
教学过程 设计意图
　 一、情境导入 人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
　　二、师生互动,探究新知 1.教师出示两张透明纸,指导学生分别作半径相等的⊙O和⊙O′,然后把两张纸叠在一起,使⊙O与⊙O′重合,用图钉钉住圆心,将上面一个圆旋转任意一个角度. 指出问题：两个圆还能重合吗？ 归纳：圆是旋转对称图形,对称中心为圆心. 2.将⊙O绕圆心O旋转任意角度以后,出现一个角∠AOB,请同学们观察一下这个角有什么特点？如图： 圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角. 教师用多媒体课件出示教材图24－25. 提问：当∠AOB＝∠A′O′B′时,根据圆的旋转对称性,你能推测出,两个圆心角所对的弧AB＝弧,弦AB与弦A′B′,弦心距OM与OM′之间有怎样的关系. 指导学生利用圆的旋转对称性进行证明. 想一想：在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距之间有怎样的关系？ 总结：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所以弦的弦心距相等. 想一想：如果AB＝A′B′(或弧AB＝弧,或OM＝OM′或∠AOB＝∠A′OB′), 能否得到其余的量也相等？为什么？ 归纳：在同圆或等圆中,圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等. 教师说明：把顶点在圆心的周角等分成360份,每一份的圆心角是1°的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆周也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧. 一般地,n°的圆心角对着n°的弧,n°的弧对着n°的圆心角.也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 　　 通过学生自己的操作,充分感受圆是旋转对称图形,并且也是中心对称图形. 通过教师和学生的共同努力,得到定理,充分体现合作的价值.学生感受知识之间的密切联系. 掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 掌握弧的度数与圆心角度数之间的关系.
　　三、合作探究 探究点：圆心角定理及其推论 【类型一】 圆心角与弧的关系 如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点， ∠AOE＝60°，则∠COE的大小是(　　) A．40° B．60° C．80° D．120° 解析：∵C、D是的三等分点，∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C. 方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【类型二】 圆心角与弦、弦心距间的关系 如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________． 解析：由＝，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°. 方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了． 【类型三】 圆心角定理及其推论的应用 如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝. 解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等． 证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB，又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠1＝∠2，∴＝. 证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OA＝OB，OM＝OA，ON＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴＝.又∵＝，＝，∴＝. 图① 　 　图② 证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BND.∴AC＝BD，∴＝. 方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等. 三、板书设计 . 　　通过练习题来巩固学生所学习的知识.
　　四、课堂小结,提炼观点 让学生归纳学习内容,对学生的归纳给予合理的评价并进一步完善. 　　知识与方法的归纳,对定义认识的升华.

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