资源简介

垂径定理
教学目标：
1、利用圆的轴对称性研究垂径定理以及逆定理；
2、运用垂径定理及其逆定理解决问题；
3、经历运用圆的轴对称知识探索圆的相关性质的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法；
4、培养学生的类比思想和数学的严谨性。
教学重点：
利用圆的轴对称性研究垂径定理以及逆定理。
教学难点：
垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线。
教学过程：
一、引入：
让学生请观察下列三个银行标志，有何共同点？
（让学生讨论并交流图片的共同点，怎么得到的）
提问：
（1）我们采用什么操作方法研究轴对称图形？ （ 折叠 ）
（2）把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做( 轴对称图形 )，这条直线叫做( 对称轴 ) 。
二、合作探究：
1.圆的对称性：
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。（通过刚才学生的讨论以及折纸让学生总结圆的对称性）
2.如图,AB是⊙O的弦, 将圆形纸片沿CD对折.通过折叠活动，
发现直径CD⊥AB,设垂足为E;
你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
（通过事先发给学生的圆，让学生动手折叠，
并让学生总结哪些相等的线段和相等的弧）
3、引导学生用符号语言把上面的结论写出来。
即：
CD是⊙O的直径，且,,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
（引导学生总结上面得到的结论--垂径定理）
4、垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
三、问题：
1、刚才垂径定理前提条件是什么？结论是什么？
条件：弦和直径垂直；结论：直径平分弦。
2、如果把结论和条件互换成不成立？
讨论问题2
这句话对吗
平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
（引导学生分析弦与直径的位置关系，左图中把AB看作弦，把CD看作直径。）
定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、理解应用：
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
解析：引导学生分析圆心到弦的距离是什么，
应该过O作弦AB的垂线OE交AB于点E。
注：OE的长叫做弦AB的弦心距。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1m)
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，
交AB于点D，则CD=7.2m ，由垂径定理，得
设⊙O的半径为R m，在Rt△OAD中，AO=R,OD=R-7.2，AD=18.7
由勾股定理，得
解方程，得
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m。
练习巩固：
1.判断下列说法是否正确？
(1).垂直于弦的直径平分这条弦。（ ）
(2).平分弦的直径垂直于这条弦。（ ）
(3).弦的垂直平分线必过圆心。 （ ）
巩固：
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中，
（1）最长的弦= cm
（2）最短的弦= cm
（3）弦的长度为整数的共有（ ）
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条
3、如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
则折痕AB的长为(　　)．
A、2cm B、 cm C、2 cm D、2cm
4、如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE＝EB，CE＝ED.
∴AE－CE＝BE－DE.
∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，
∴AC＝BD
小结：1、这节课你有什么收获？
2、还有哪些疑问？

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