资源简介

一次函数
一、教学目标
1.认识一次函数和正比例函数的概念，掌握正比例函数表达式的特点，掌握正比例函数的图象和性质，发展抽象能力、几何直观和应用意识等核心素养。
2.经历思考、探究过程，发展总结归纳能力；体验数形之间的联系，逐步学会利用数形结合思想分析、解决有关问题，体会解决问题策略的多样性，发展实践能力。
3.积极参与数学活动，体会数学与人类生活的密切联系，提高学习数学的积极性和好奇心。
二、重点难点
（一）重点
一次函数和正比例函数的概念及表达式的特点，正比例函数的图象和性质。
（二）难点
正比例函数的图象和性质。
三、教学准备
课件
四、导入新课
写出下列各题中 x 与 y 之间的函数表达式：
(1) 汽 以 60 km/h 的速度匀速 驶， 驶路程 y （单位： km ）与 驶时间 x （单位： h ）之间
的关系；
(2) 圆的周 C （单位： cm ）与它的半径 r （单位： cm ）之间的关系；
(3) 某 池有 15 ，现打开进 管进 ，进 速度为 5 /h ， x h 后这个 池内有 y。
解：
(1) 由“路程 = 速度 × 时间”，得 y = 60x 。(2) 由圆的周 公式，得 C = 2πr 。
(3) 这个 池每时增加 5 的 ， x h 后增加 5x 的 ，故可得 y = 15 + 5x 。
教师说明： 类似于 y = 60x ， C = 2πr ， y = 15 + 5x 这种形式的函数在现实世界中还有很多，它
们都具备什么样的特征呢？今天我们就来研究 下。
设计意图： 根据所给的情境问题写出简单的函数表达式，帮助学 巩固旧知，体会数学在实际 活中的应 ，同时也为新知的学习打好基础。
五、高效课堂
（一）活动一：抽象出一次函数与正比例函数的概念
教师用课件出示下列函数表达式并组织学生活动：观察这些函数的表达式，它们有什么共同特点？
y = 60x C = 2πr y = 15 + 5x h = 30t + 1800 S = 300t y = 2x y = -2x y = 2x + 4
学生先独立观察、思考，再在小组内讨论、交流，教师指名学生汇报，其他学生补充，集体交流、评价。
学情预设： 这些函数的表达式都是关于自变量的一次式，可以写成 （， 为常数，且 ）的形式。
教师给出一次函数和正比例函数的概念：
一般地，形如 （， 为常数，且 ）的函数叫作一次函数。当 时，一次函数 就成为 （ 为常数，且 ）。形如 （ 为常数，且 ）的函数叫作正比例函数。
教师提问： 这里为什么强调 是常数，且 ？
学生思考并交流，教师指名学生汇报，其他学生补充，集体交流、点评。
学情预设： 当 时，含有未知数 的项变成 ，就没有自变量了。
教师追问1： 上面的函数中，哪些是正比例函数？
学情预设： ，，，， 是正比例函数。
教师追问2： 一次函数与正比例函数有何区别与联系？
学生先独立思考，再在小组内交流，教师指名学生汇报，其他学生补充，集体交流，教师完善。
提示：
当等式右边是含有自变量的单项式时，它是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊情形，即正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
设计意图： 通过观察函数表达式的共性，抽象出一次函数与正比例函数的概念，并通过比较得出一次函数与正比例函数之间的联系与区别，加深学生对概念的理解和掌握，发展学生的抽象能力。
（二）活动二：探究正比例函数的图象和性质
教师用课件出示正比例函数 ，， 和 的图象并组织学生活动：观察这些图象，它们有什么共同的特点？
学生观察并交流，教师指名学生汇报，集体点评，教师完善。
提示：
一般地，正比例函数 （ 为常数，且 ）的图象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数 （ 为常数，且 ）的图象叫作直线 。
教师说明： 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只要先描出两点，再过这两点画直线即可。
例题
在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象：
教师出示例题并组织学生活动：在同一平面直角坐标系中作出这三个函数的图象，并观察它们的特点。
学生先独立画图，再在小组内交流，教师巡视、指导并指名学生汇报、展示，集体点评。
分析： 因为正比例函数 （ 为常数，且 ）经过原点 ，所以画图时可以取 ， 两点。
解： 列表
… …
… …
… …
… …
过点 （0，0），（1，画直线，得 的图象；
过点 （0，0）， 画直线，得 的图象；
过点 （0，0）， 画直线，得 的图象。
教师组织学生进行操作：
仿照例题，在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
学生独立画出三个函数的图象，教师巡视、指导并指名学生汇报、展示，集体点评。
教师组织学生探究：观察例题和操作中函数的图象。
(1) 请说出正比例函数 和 的图象经过的象限。
学情预设： 正比例函数 的图象经过第一、三象限， 的图象经过第二、四象限。
(2) 当 ＞0 时，正比例函数 （ 为常数，且 ）的图象经过哪几个象限？ 呢？
学情预设： 当 ＞0时，正比例函数 的图象经过第一、三象限；当 时，正比例函数 的图象经过第二、四象限。
(3) 当 ＞0时，函数图象从左向右看，变化趋势是怎样的？当自变量 增大时，函数值 是怎样变化的？ 呢？
学情预设： 当 ＞0时，函数图象从左向右看呈上升趋势，自变量 增大时，函数值 随之增大；当 时，函数图象从左向右看呈下降趋势，自变量 增大时，函数值 随之减小。
(4) 的大小对正比例函数 （ 为常数，且 ）的图象有什么影响？
学情预设： 越大，图象上升（或下降）的趋势越陡，函数值 随自变量 的增大而增大（或减小）的速度越快。（几何画板展示）
教学提示： 每个问题都留足让学生讨论、交流的时间，然后教师讲评。
教师小结：
一般地，正比例函数 （ 为常数，且 ）有下列性质：
1.当 ＞0 时， 随 的增大而增大（图象自左向右上升）；
2.当 时， 随 的增大而减小（图象自左向右下降）；
3. 越大， 随 的增大而增大（或减小）的速度越快。
设计意图： 让学生在操作画图的基础上，归纳得出正比例函数的图象和性质，培养学生比较、分析、概括、归纳的能力。
六、课堂评价
1.下列函数中，是正比例函数的为（）
A.
B.
C.
D.
答案： B
点拨： B选项中， 符合 （）的形式，是正比例函数；A选项自变量次数为2，C选项是反比例函数，D选项是一次函数非正比例函数。
2.下列关于正比例函数 的说法中，正确的是（）
A. 当 时，
B. 它的图象是一条过原点的直线
C. 随 的增大而减小
D. 它的图象经过第二、四象限
答案： B
点拨： A选项， 时 ，错误；B选项，正比例函数图象均为过原点的直线，正确；C选项，， 随 增大而增大，错误；D选项，，图象过第一、三象限，错误。
3.已知正比例函数 。求：
(1) 为何值时，函数图象经过第一、三象限；
(2) 为何值时， 随 的增大而减小；
(3) 为何值时，点 （1，3）在该函数图象上。
答案：
(1) 由 ＞0，解得 ＞-2；
(2) 由 ，解得 ；
(3) 将 （1，3）代入得 ，解得 。
设计意图： 精选与所学重难点对应的练习题，加深学生对所学内容的理解，有针对性地练习所学习的内容，发展学生的应用意识。
七、课堂总结
1.引导学生回顾：本节课掌握了一次函数、正比例函数的概念及表达式特征，正比例函数的图象（过原点的直线）和性质。
2.鼓励学生分享：学习过程中的体会、收获，以及数形结合思想的运用感受。
八、板书设计
一次函数（第1课时 ）
1.概念
一次函数：（， 为常数，且 ）
正比例函数：（ 为常数，且 ）
注： 正比例函数是特殊的一次函数（）
2.正比例函数的图象
经过原点的直线（两点法作图：、）
3.正比例函数的性质
：图象过一、三象限， 随 增大而增大
：图象过二、四象限， 随 增大而减小
越大，图象升降越陡，函数值变化越快
例题： 画 、、 的图象
九、教学反思
数形结合：引导学生从“数”（表达式）到“形”（图象），再从“形”到“数”（性质），渗透数形结合思想，为后续函数学习铺垫。
探究归纳：通过观察、作图、讨论，让学生自主归纳性质，体现“特殊到一般”的推理过程，培养观察、概括、逻辑思维能力。
联系实际：以生活情境导入，让学生体会数学与生活的联系，提升应用意识。

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