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21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
学习目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
的判定方法.（重点）
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点）
情境导入
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？
情境导入
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.
A
B
C
D
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
新知探究
（一）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
动手画一画
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
新知探究
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
表示平行且相等.
AB∥CD
AB = CD
活动：
分析给出的条件，讨论证明过程中还需要什么条件，并进行证明.
AD∥BC
AD = BC
（两组对边分别平行）
（两组对边分别相等）
新知探究
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 BD.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
4
3
AB∥CD
AD∥BC
新知探究
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴△ABC ≌△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
AB = CD
AD = BC
新知探究
几何语言：
平行四边形的判定方法5
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
提示：同一组对边平行且相等.
新知探究
归纳总结
等腰梯形
A
B
C
D
问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
新知探究
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴ EB DF .
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ DE BF .
D
A
B
C
E
F
只需证四边形 EBFD 是
平行四边形.
新知探究
（二）平行四边形的性质与判定的综合运用
1. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列 条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④
A　　　
新知探究
练一练
2. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：四边形 ABCD
是平行四边形.
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
新知探究
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在 直线 AD
的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC． 求证： 四边形 BFCE
是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，
∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ACE ≌△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.∴四边形 BFCE 是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
新知探究
如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 PQ 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
BQ = AP
CQ = PD
新知探究
思维拓展
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD
上截出一个平行四边形.
新知探究
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课堂小结
1.在 ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行
四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（　　）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
B
课堂训练
2. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比
是3：2，则较大边的长度是（　 ）
A．8cm B．10cm
C．12cm D．14cm
C
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行
四边形共有____个.
9
课堂训练
4.如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于
点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)，
∴CD＝FA.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形.
课堂训练
5.如图， ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，
BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．
证明：连接EG，GF，FH，HE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.
∵BG＝DH，∴AH＝CG，
又AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG，
∴HE＝GF，
同理可得：EG＝FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分.
课堂训练第2课时 平行四边形的判定（2）
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.（重点）
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点）
一、情境导入
（多媒体演示）数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.
那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？
二、新知探究
（一）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
不是.
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
不是.
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
不是.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
[验证]如图，在四边形ABCD中，ABCD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
方法1：
证明：连接 BD.
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又AB=CD，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB.（SAS）
∴∠3=∠4.
∴AD∥BC.
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
方法2：
证明：连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
[归纳总结]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
提示：同一组对边平行且相等.
问题4 如果一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
等腰梯形属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形．
（二）平行四边形的性质与判定的综合运用
[例题讲解]
【例5】如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证DEBF .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ABCD.
∴ EBDF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴ DEBF.
[练一练]
1.如图，在 ABCD 中，点 E，F分别在边AD，BC上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形AFCE是平行四边形的是（ A ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；④∠BAF＝∠DCE．
A.① B.② C.③ D.④
2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥EF，AD=EF，
EF∥BC，EF=BC.
∴AD∥BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在 直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC.求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ACE≌△DBF (SAS).
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
[思维拓展]
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=6cm.P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线PQ在四边形ABCD上截出一个平行四边形？
解：设点P，Q运动的时间为ts.
依题意，得AP=tcm，CQ=2tcm.
则BQ=(6－2t)cm，PD=(9－t)cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当BQ=AP 时，四边形APQB是平行四边形，
此时6－2t=t，解得t=2.
②当CQ=PD 时，四边形CQPD是平行四边形，
此时2t=9－t，解得t=3.
综上所述，经过2s或3s，直线PQ在四边形ABCD上截出一个平行四边形.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.在 ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（　B ）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（　 C ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有__9__个.
4.如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
又∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA).
∴CD＝FA.
又CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形.
5.如图， ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF， BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．
证明：连接EG，GF，FH，HE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB.
∵BG＝DH，
∴AH＝CG.
又AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG.
∴HE＝GF.
同理可得EG＝FH，
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课以生活中的实际问题入手，再通过一题多解的方式来进一步探究平行四边形的判定，并引导学生灵活选择判定方法.
从本节课的授课过程来看，一题多解能够调动学生发散思维.

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