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21.3 特殊的平行四边形
21.3.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.菱形本身具有的特殊性质：
①四条边都相等；
②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形.
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
复习导入
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
新知探究
（一）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（二）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，
∴BO 垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
O
A
B
C
D
尝试证明
新知探究
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且BD⊥AC，
∴□ABCD是菱形．
O
A
B
C
D
新知探究
分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明
四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可
知 AO = CO，还需证明 EO = FO .
新知探究
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CF .
∴∠1 = ∠2 .
又∠AOE = ∠COF，AO = CO，
∴△AOE ≌ △COF .
∴EO = FO .
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC ⊥ EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
新知探究
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，
可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
新知探究
练一练
2.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且互相垂直
平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC ⊥ BD，
∴□ABCD是菱形.
O
D
A
B
C
新知探究
用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
动手操作
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
新知探究
（三）四条边相等的四边形是菱形
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
尝试证明
新知探究
菱形的判定定理2：
四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
新知探究
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
新知探究
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形AFCE是菱形.
1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
新知探究
练一练
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结
1．下列说法正确的是(　　)
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，
则平行四边形的面积是 .
312cm2
B
课堂训练
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
课堂训练
A
B
C
D
O
E
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
课堂训练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.
求证：四边形AECF是菱形．
课堂训练
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形.
6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于
点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形.
课堂训练
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
课堂训练第2课时 菱形的判定
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
一、复习导入
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.菱形本身具有的特殊性质：
①四条边都相等；
②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形.
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
二、新知探究
（一）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
你根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
（二）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
让我们一起来证明.
已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC .
∵AC⊥BD，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=CB，
∴□ABCD是菱形.
[归纳总结]对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
[例题讲解]
【例4】如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
分析：已知 AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形. 由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF .
∴∠1=∠2 .
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO .
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
[练一练]
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ C ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵对角线AC，BD互相垂直平分，
∴AC⊥BD，AO=CO，DO=BO .
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
（三）四条边相等的四边形是菱形
[动手操作]用四根长度一样的木条，首尾顺次相接.得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
让我们一起来证明.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD= DA.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=CD，DA=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
[归纳总结]菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
[例题讲解]
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
【例4】如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，AF=FC.
∴∠1 =∠3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC.
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
又OC=OC，∠EOC=∠FOC=90°，
∴△EOC≌△FOC（ASA）.
∴EC=FC=AE=AF.
∴四边形AFCE是菱形.
[练一练]如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS).
∴HE=FE=FG=HG.
∴四边形EFGH是菱形．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列说法正确的是(　B　)
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角的平行四边形是菱形
2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm， 则平行四边形的面积是 312cm2 .
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　B　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥
AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD.
∴四边形OCED是菱形．
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF. 求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形.
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠FAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
∴BE=FA.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形.
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO =4，
∴AE=2AO=8．
五、布置作业
完成对应练习。
新课导入时让学生动手制作菱形，感知菱形判定的条件，让学生在轻松愉快的氛围中水到渠成地得到菱形的判定定理.
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用.

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