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21.3 特殊的平行四边形
21.3.3 正方形
第2课时 正方形的判定
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
(难点)
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 对边平行，
四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对称性 不是轴对称图形 轴对称 轴对称 轴对称
复习导入
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
新知探究
尝试证明
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，
∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
新知探究
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
新知探究
尝试证明
对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
新知探究
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
正方形
①有一个直角
②对角线相等
先判定矩形
正方形
①一组邻边相等
②对角线垂直
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
新知探究
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
新知探究
练一练
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
新知探究
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
新知探究
1. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，
并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG，
∴矩形 EFBG 是正方形．
A
D
B
C
E
F
G
新知探究
练一练
2.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形．
∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
新知探究
练一练
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且
一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
课堂训练
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
课堂训练
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是______________（只填写序号）．
②③或①④
课堂训练
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.
DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
课堂训练
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
课堂训练第2课时 正方形的判定
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
复习导入
完成下面的表格：
二、新知探究
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形.
让我们一起来尝试证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又AC⊥DB，
∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
让我们一起来尝试证明：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴AO=BO=CO=DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
[归纳总结]正方形判定的几条途径：
[练一练]
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
[例题讲解]
【例6】如图，E，F，G，H 分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形.
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°－(∠1+∠3) =90°.
∴四边形 EFGH 是正方形.
[练一练]
1.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形EFBG的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
又EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE=∠BGE=90°，
∴四边形EFBG是矩形．
∵BE为∠ABC的平分线，
∴EF=EG，
∴矩形EFBG是正方形．
2.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB，CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA=OC，OE=OF．
∵DE=BF，
∴OE+DE=OF+BF，即DO=BO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠ADO=45°，
∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形ABCD是正方形．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列命题正确的是（ D ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ C ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件___AB=BC(答案不唯一)___，可得出该四边形是正方形．
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___②③或①④___（只填写序号）．
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证：四边形CEDF为正方形.
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC.
∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课借助生活情境引出课题，学习正方形的判定.课题内容涉及以前学过的各种几何知识，对学生的综合能力要求较高.部分学生在学习时不能熟练运用以前学过的知识,或掌握不牢，或不能灵活运用.对此应采取循序渐进的方式，从易到难，从简单到复杂，逐步培养学生的信心.总的来说本课时内容较难，今后还应通过适当的训练加强学生解决问题的能力.

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