资源简介

向量的减法运算、加法运算
【知识梳理】
知识点一　向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
知识点二　向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
知识点三：相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
知识点四：向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.
3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一：向量加法法则
1．（23-24高一下·重庆涪陵）如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
2．（23-24高一下·河北张家口）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的几何运算逐一判断.
【详解】对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确；
故选：D.
3．（2024高一下·全国）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：C
题型二：向量加法的运算律
4．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是( )
①；
②；
③.
A．②③ B．② C．① D．③
【答案】B
【分析】根据向量加法的运算律判断即可.
【详解】对于①，，正确；
对于②，，错误；
对于③，，正确.
故选：B
5．（21-22高一下·广东梅州·期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；
【详解】解：
故选：B
6．（21-22高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以，，，，都等于，
故选：A
题型三：向量加法法则的几何应用
7．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果
【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，
则．
故选：C.
8．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用图形结合向量线性运算即可.
【详解】.
故选：A.
9．（22-23高一下·山西阳泉·期末）菱形中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.
【详解】因为菱形中，，若，
所以为等边三角形，且，
因为，
所以.
故选：B.
题型四：相反向量
10．（21-22高二下·浙江嘉兴·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．等长且方向相反的两个向量是相反向量 B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量 D．互为相反向量的两个向量是共线向量
【答案】B
【分析】利用相反向量的定义判断选项AB；利用零向量的性质判断选项C；利用共线向量的定义判断选项D.
【详解】解：相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；
零向量的相反向量是零向量，故C正确；
共线向量是指方向相同或相反的向量，互为相反向量的两个向量方向相反，故D正确，
故选：B．
11．（20-21高一下·安徽滁州·期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.
【详解】因为，所以四边形是平行四边形，
所以，互相平分，所以，即与为相反向量.
故选：B
12．（20-21高一下·安徽安庆·期末）设点分别是的三边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.
【详解】由已知可得
，
故选：A.
题型五：向量减法法则
13．（23-24高一下·四川成都·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量减法运算化简.
【详解】根据平面向量减法运算可得
.
故选：A
14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法与减法原则求解即可.
【详解】，
，
，
.
故选：A.
15．（2023高三·全国·专题练习）下列各式化简结果正确的是（　　）
A．＋＝
B．＋＋＋＝
C．＋－＝0
D．－－＝
【答案】B
【分析】根据向量的加减法运算法则求解.
【详解】对A，＋，A错误；
对B，＋＋＋＝＋＋
＝＋＝,B正确；
对C，＋－＝，C错误；
对D，－－＝－＝,D错误；
故选:B.
题型六：向量减法的运算律
16．（22-23高一下·天津和平）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B
17．（20-21高一·全国·课后作业）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案.
【详解】
故选：D.
18．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.
【详解】A：，不符合题意；
B：因为，，
若，即，可得，
即点与点重合，显然这不一定成立，
所以与不一定相等，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B
题型七：向量减法法则的几何应用
19．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，
对于B，因为，故B错误，
对于C，因为E是的中点，所以，故C错误
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D
20．（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加减法运算求解即可.
【详解】连接，如图所示：

因为，
所以，
所以，所以.
故选：B
21．（21-22高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：B．
题型八：向量加减法的综合问题
22．（23-24高一下·全国）化简下列各式：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案.
【详解】（1）．
（2）.
（3）.
23．（2023高一·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】由向量的三角形法则求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
24．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
【高分演练】
一、单选题
25．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（ ）
A．与的长度必相等； B．；
C．与一定不相等； D．是的负向量．
【答案】C
【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断．
【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意；
B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意；
C．当时，，此时，选项错误，符合题意；
D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意；
故选：C．
26．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中，，则.
故选：C
27．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在正六边形中，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算即可求解.
【详解】设正六边形的中心为，
所以，又因为，，
所以.
故选：A
28．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.
【详解】D，E为边上的三等分点，所以，
所以D选项正确；
若，则不成立，C选项错误；
方向不同不能相等，A选项错误；
方向相反不能相等，B选项错误.
故选：D.
29．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断.
【详解】，，则，
是等边三角形.
故选：A
30．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可.
【详解】，（1）是；
，（2）不是；
，（3）是；
，（4）不是；
，（5）是，
所以化简结果为的个数为3.
故选：C
31．（22-23高一下·海南·期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，
则，
因为，且，
则有 .
故选：D.
32．（22-23高一下·山东青岛·期末）中，点为上的点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，因为，
由向量的线性运算法则,
可得
因为，所以，所以.
故选：D.
二、多选题
33．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据向量的加法法则可逐一判断．
【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确；
对于B项，，B错误；
对于C项，，C正确；
对于D项，，D正确．
故选：ACD
34．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解.
【详解】作出图形，如图所示：
因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误；
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确；
因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确；
因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确；
故选：BCD.
35．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（ ）
A．若，则存在，使得
B．若非零向量，满足，则
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可.
【详解】对于，由平面共线向量定理可知, 正确;
设 ，则 ,
对于, 因为非零向量 满足 ,
即，所以四边形为矩形， ，故 B正确;
对于 ， 因为在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边,
故 , 故 正确， 错误.
故选: .
36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.

A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误.
故选：AC
三、填空题
37．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于
【答案】
【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.
【详解】由向量加法的运算法则，可得
.
故答案为：
38．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则：
① ；
② ；
③ ．
【答案】
【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可.
【详解】①．
②．
③．
故答案为：；；.
39．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ．
【答案】 8
【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解.
【详解】
在矩形中，因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为：，8.
40．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 .
【答案】①②③⑤
【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可.
【详解】因为任意向量加上零向量等于这个向量，故①正确；
由向量的运算律及相反向量的性质可知②③是正确的；
向量的线性运算结果应为向量，故④错误；
由向量的加法运算律，加上一个向量等于减去这个向量的相反向量，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤
41．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 .
【答案】2
【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解.
【详解】，
又，
.
故答案为：2.
四、解答题
42．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，已知向量
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示；
(5)用表示
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）直接根据图形和向量线性运算即可得到答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
（4）.
（5）
43．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
44．（2023高一·全国·课后作业）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．

【答案】证明见详解
【分析】根据题意结合向量减法分析证明.
【详解】因为
，
又因为为平行四边形，则为的中点，可得，
所以，
即.
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