资源简介

向量的数乘运算 向量的数量积
【知识梳理】
知识一　向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识二　向量数乘的运算律
.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识三　向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
知识四　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识点五、　向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
知识点六、　投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
知识点七、　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知识点八、　平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【题型归纳】
题型一：向量的数乘运算
1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】因为点在线段上，且，
所以，，，故A正确，BCD错误.
故选：A.
2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
.
故选：D
3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，，可求.
【详解】由，有，即，
则，所以.
故选：B
题型二：平面向量的混合运算
4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
5．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量数乘运算求解.
【详解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
6．（22-23高一·全国·课前预习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
题型三：向量的线性运算的几何应用
7．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可.
【详解】，
.
故选：D
8．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做
因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形.
可得,
所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形，
又，所以分别是中点，
所以．
故选：C
9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；根据向量加法的三角形法则即可判断B，根据向量减法的三角形法则即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D.
【详解】对于A，因为在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，D错误.
故选：B.
题型四：三角形的心的向量表示
10．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
11．（22-23高一下·广东广州·期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解.
【详解】因为，则点P为的重心，
取的中点D，
则，整理得，
所以，可得.
故选：D.
12．（22-23高三上·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
【答案】A
【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.
【详解】解：设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.
故选：A
题型五：向量的数量积的定义和几何意义
题型六：数量积的运算
13．（22-23高一下·河南）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可.
【详解】
如图所示，取的中点，则，
由题意易知，
不难发现在上的投影为，所以.
故选：A
15．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.
【详解】，
,
，
，
，
.
故选：D
16．（24-25高一下·全国）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.
【详解】设向量，的夹角为.因为，则，
所以，则，解得，所以.
故选：C.
17．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12 B．8 C．4 D．14
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】,
故选：D
18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求.
【详解】因为，，向量与的夹角为，
所以，
所以.
故选：A.
题型七：数量积和模关系问题
19．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据代入计算可得结果.
【详解】∵，且，间的夹角为，
∴.
故选：C.
20．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】A
【分析】利用平方的方法化简已知条件，再利用平方的方法求得正确答案.
【详解】由两边平方并化简得，
所以.
故选：A
21．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．1或4
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积定义以及运算律计算可得结果.
【详解】根据题意可知，平面向量两两夹角可以为或，
当夹角为时，可得，
当夹角为时，可得
；
综上可得1或4.
故选：D
题型八：向量夹角的计算
22．（24-25高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出与，根据向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为，，，
所以，
则

，
所以．
故选：A.
23．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出，，，计算出，得到答案.
【详解】
，
其中，故，
，故，
所以，
所以与夹角为.
故选：C
24．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案
【详解】，故，
则，所以与的夹角等于.
故选：D
题型九：垂直关系的向量表示
25．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】由题意知，
由知.
故选：D
26．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律及模的性质化简求解即可.
【详解】因为，，
所以，
即①，
又，所以②，
由①②可得，，
即.
故选：C
27．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，所以，
又，所以，即，
所以，
则，解得（负值已舍去）.
故选：B
题型十：已知模求参数问题
28．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】将两边同时平方，得，而，，，
因此，即依题意，又，所以.
故选：A
29．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得.
【详解】与的夹角为钝角，
，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，
所以取值范围为.
故选：D
30．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
即，解得.
故选：A.
题型十一：求向量投影
31．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可.
【详解】因为在方向上的投影向量为，且，
可得，即，
又因为在方向上的投影向量为，
可得，即.
故选：D.
32．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由已知，且，
则，
解得，
故在上的投影向量是＝.
故选：B.
33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可．
【详解】因为，所以，
所以，即，
在中，，，则，
所以在方向上的投影向量为，
故选：C．
题型十二：向量的数量积综合问题
34．（23-24高一下·内蒙古包头）已知平面向量、满足，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当实数为何值时，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；
（2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.
【详解】（1）因为，，与的夹角为．
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
化为，解得.
35．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果；
（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，又，得到，
又，所以在方向上的投影向量为.
（2）由（1），
所以，
得到.
36．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．

(1)用向量表示；
(2)求的大小．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解；
（2）利用平面向量的数量积公式即可求解．
【详解】（1）由可知，，
则，
所以；
又为边上的中线，所以．
（2）由得，
又，所以向量与的夹角为，则，
由图形可知，的大小等于向量与的夹角，
又，
，
，
所以，
又，所以．
【高分演练】
一、单选题
37．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可.
【详解】.
故选：D
38．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正方形的边长为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解.
【详解】．
故选：C．
39．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量公式得出结合角的范围得出夹角即可.
【详解】依题意．
又．
故选：C.
40．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根据投影的数量的定义计算即可.
【详解】根据投影的数量的定义，设的夹角为，
可得向量在方向上的投影的数量是，
故选:A．
41．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算性质推导出，，，即可得出结论.
【详解】因为，
则，所以，，
同理可得，，
所以，是的垂心.
故选：D.
42．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（ ）
A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解.
【详解】是非零向量且满足，，
，，
即，，
，
，且，又，
所以，
∴是等边三角形.
故选：B．
43．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解.
【详解】由题意可知：，，，
且，
则，
，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：A.
44．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.
【详解】由，得，且，
而三点共线，则，即，
所以，
所以.
故选：A.
45．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可.
【详解】因为，，，所以，
如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心，
所以，故是等腰三角形，
在中，，在中，由三线合一性质得是的中点，
所以，
同理可得，又，
所以，
，
解得，，故，故C正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可．
二、多选题
46．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若，均为单位向量，则
B．若，则
C．若且，则与共线
D．若四边形是平行四边形，则
【答案】ABC
【分析】根据单位向量及模的定义可对A判断；利用向量的垂直可对B判断；利用共线向量定义可对C判断；因为四边形是平行四边形，可对D判断．
【详解】A：因为，均为单位向量，所以，故A正确；
B：因为，所以，故B正确；
C：向量与非零向量共线的充要条件为：存在唯一一个实数使，
对于，此时不唯一，但与也共线，故C正确；
D：因为是平行四边形，所以，故D错误．
故选：ABC．
47．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（ ）
A．
B．对于任意一点，都有
C．对于任意一点，都有
D．
【答案】BCD
【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D.
【详解】由题意，知为的重心，
因为F是AB的中点，所以，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
由B选项可知，
，所以，故C正确；
因为，
同理，，
三式相加可得，故D正确.
故选：BCD
48．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件判断即得；对于B，根据投影向量的定义易得；对于C，利用向量数量积的运算律计算求得即可排除；对于D，利用向量数量积的运算律计算推得即可排除.
【详解】对于A，由，可得，故A正确；
对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确；
对于C，由，解得，因，故，即C错误；
对于D，由，得，即，故，即D错误.
故选：AB.
49．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】利用向量的数量积计算可判断AD；易得判断B；利用投影向量的定义求得投影向量判断C.
【详解】由题意可得，故A错误；
，故B正确；
在的投影向量为，故C正确；
对于D：设与的夹角为，，
当在方向上的投影向量的模最大时，的数量积最大，
故点与点重合时，的数量积最大，
所以.
故选：BCD.
50．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．是在上的投影向量
【答案】AD
【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断.
【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，，，，
所以，
所以，即，所以B错误，
对于C，因为，
所以
，所以C错误，
对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以，
所以在上的投影向量为，所以D正确.
故选：AD
三、填空题
51．（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ．
【答案】2
【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可.
【详解】．
故答案为：2.
52．（24-25高一下·全国·课后作业）若，和的夹角为，则在方向上的投影的数量为 ．
【答案】
【分析】应用投影数量定义计算求解即可.
【详解】在方向上的投影的数量为.
故答案为：.
53．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ；
【答案】5
【分析】利用平面向量的数量积求模.
【详解】因为，所以.
由.
所以.
故答案为：5
54．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．

【答案】 96
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解.
【详解】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，，
所以．又，
所以．
故答案为：，96
四、解答题
55．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角.求：
(1)在方向上的投影向量；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)88
(3)156
【分析】（1）应用投影向量公式计算即可；
（2）应用数量积公式及运算律计算求解；
（3）应用数量积公式及运算律计算求解.
【详解】（1）在方向上的投影向量为.
（2）
.
（3）
.
56．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且.
(1)若，求实数的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合数量积的运算律，利用向量模的运算求得，然后利用向量垂直的运算列式求解即可.
（2）结合数量积的运算律，利用向量夹角运算公式求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
又，所以，
由，得，
即.
所以，解得.
（2），，
设与的夹角为，则，
所以与的夹角的余弦值为.
57．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知，与的夹角为
(1)求与的值；
(2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量乘法以及模长公式即可求解；
（2）根据向量夹角为钝角列不等式即可求解.
【详解】（1）因为与的夹角为，所以,
,
.
（2）因为与的夹角为钝角，
所以，
即，又当时，与反向，
所以若与的夹角为钝角，的取值范围是．
58．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值；
（2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解.
【详解】（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
……①
因为菱形，且，故.
所以.
故①式.
故.
59．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.

(1)若点为边上的中点，
（i）用，表示，；
（ii）求，，，及的余弦值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)（i），；（ii）3，；；.
(2).
【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得；
（2）由数量积结合二次函数即可求得.
【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点，
可得，；
（ii）由，，，
则，，
可得
；
由，
可得；
由，
可得；
；
（2），
设，由题意可知，，
由此得到，
由，，可得，
即的取值范围为
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