资源简介

2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
教学设计
课标摘录 1.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
教学目标 1.能够准确理解并熟练掌握等边三角形的三种判定方法。 2.深入理解含 30° 角的直角三角形的性质。 3.在小组合作学习中，培养学生合作交流意识和团队协作精神，提升学生的数学表达能力。
教学重难点 重点:等边三角形的判定方法和含 30° 角的直角三角形的性质的推导过程及应用。 难点:灵活运用等边三角形的判定方法和含 30° 角的直角三角形的性质解决实际问题，尤其是在复杂图形中准确识别和运用相关知识。
教学策略 教学过程中，讲授法、演示法、探究法、小组合作学习法相结合。通过讲授法讲解基本概念和定理，利用演示法直观展示几何图形的变化，引导学生进行探究和小组合作学习，让学生在自主探索和合作交流中掌握知识。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
新知初探 探究一　等边三角形的判定 问题1 ：一个三角形满足什么条件就是等边三角形 （学生回答） 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 问题2：你能证明这些定理吗？（学生独立思考后口述） 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知： 若AB=AC , ∠A=60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A=60 °. ∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠B=∠C. ∴AB=AC=BC. 问题3：证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 学生独立完成. 【归纳】等边三角形的判定定理： 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 任务一　意图说明 对等腰三角形中一个角为 60° 的情况进行分类讨论，培养学生全面、严谨的思维习惯。动画演示直观呈现图形变化过程，帮助学生突破理解难点。小组交流和代表发言，让学生在总结归纳中深化对判定方法的理解，同时锻炼语言表达和概括能力，教师的点评和补充则确保知识的准确性和完整性。　
探究二　含30角的直角三角形的性质 活动1尝试·思考 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 猜想验证：已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°， ∠A=30°.求证:BC= AB. 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB； ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB.(等式性质) 归纳总结:定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) 推论：BC:AC:AB=1: :2 活动2 典型例题 例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 分析：这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝AC. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高． 求证：CD＝AB. 证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角)， ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴CD＝AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． ∴CD＝AB. 活动3随堂练习 1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是(A) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__． 任务二　意图说明 通过实验操作，让学生亲身体验知识的发现过程，培养学生的观察能力和数据分析能力。多次测量不同大小的直角三角形，使学生感受到结论的普遍性，增强学生对规律的认同感，激发学生进一步探究其理论依据的兴趣 。例题和巩固练习培养学生的逻辑推理能力和几何证明能力，让学生学会运用转化思想，将复杂问题转化为已学知识解决，拓宽学生的解题思路。教师详细讲解和规范书写格式，有助于学生养成严谨的学习态度，提高几何证明的规范性和准确性。 　　
板书设计
教学反思 本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，参与积极．本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力．

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