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第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
1.平方根
第1课时 平方根
1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)
2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、问题引入
填空：(1)32= ， （-3）2= ；
(2)（）2= ，（-）2=________；
(3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．
探究点一：平方根的概念及开方运算
【类型一】 平方根的概念及表示方法
下列语句正确的是 （ ）
A.-2是-4的平方根 B.100的平方根是10
C.的平方根是 D.
解析：根据平方根的意义逐项判断即可得出答案，故选C.
【类型二】 开方运算
求下列各数的平方根：
(1)1； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)106； (5).
解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
解：(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根为±，即±＝±.
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01.
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4.
(4)∵(±103)2＝106，∴106的平方根是±103，即±＝±103.
(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．
求下列各式中x的值：
(1)x2＝361; (2)81x2－49＝0； (3)49(x2＋1)＝50; (4)(3x－1)2＝(－5)2.
解析：若x2＝a(a≥0)，则x＝±，先把各题化为x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.
解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝±＝±19；
(2)整理81x2－49＝0，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝，∴开平方得x＝±＝±；
(4)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－.综上所述，x＝2或－.
方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．
探究点二：平方根的性质
【类型一】 被开方数的非负性
下列各数中，没有平方根的是（　　）
A．-22 B．（-2）2 C．-（-2） D．|-2|
解析：将各选项进行化简，再根据被开方数为非负数即可得出答案，故选A.
【类型二】 利用平方根的性质求字母的值
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
三、板书设计
1．平方根的概念：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±.
2．平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．
第2课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)
3．了解算术平方根的性质．(难点)
一、情境导入
在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，若知道画布的边长，你能计算出它们的面积吗？若知道画布的面积，你能求出它们的边长吗？
表一：已知一个正数，求这个正数的平方.
正方形的边长 1 2 0.5
正方形的面积
表二：已知一个正数的平方，求这个正数．
正方形的面积 1 4 0.25
正方形的边长
表一和表二中的两种运算有什么关系？
二、合作探究
探究点一：算术平方根的概念
【类型一】 算术平方根的概念
下面的说法正确的有（　　）
①5是25的算术平方根；②9是3的算术平方根；③6是的算术平方根；④-1是1的算术平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据算术平方根的概念可知，正确的只有①，故选A.
【类型二】 求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2； (3)0.36； (4).
解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；
(2)∵()2＝＝2，∴2的算术平方根是；
(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
(4)∵＝，＝9，32＝9，∴的算术平方根是3.
方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型三】 利用算术平方根的定义求值
已知2a-1的平方根为±3，3a+b-1的算术平方根为4．
(1)求a、b的值；
(2)求a+2b的算术平方根．
解析：先根据平方根、算术平方根的定义，求出2a-1，3a+b-1的值，再求a，b的值.
解：(1)由题意得2a-1=9，3a+b-1=16，解得a=5，b=2.
由(1)知a=5，b=2，则a+2b=9.因为9的算术平方根为3，所以a+2b的算术平方根为3.
方法总结：根据平方根与算术平方根的定义分别求出字母的值，再求对应式子的值即可.
探究点二：算术平方根的性质
【类型一】 含算术平方根式子的运算
计算：＋－.
解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：＋－＝7＋5－15＝－3.
方法总结：解题时容易出现如＝＋的错误．
【类型二】 算术平方根的非负性
已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．
解析：算术平方根和完全平方都具有非负性，即≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．
解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.
方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.
探究点三 算术平方根的应用
有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm、宽为6cm的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？
解析：利用已知得出新正方形的面积，进而根据算术平方根的定义，求出新正方形边长．
解：设正方形的边长为x 厘米．依题意得：x2=9×9+24×6，即x2=225，∴x=15．
答：正方形的边长为15厘米．
三、板书设计
算术平方根
2.立方根
1．了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点)
2．了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根．(难点)
一、问题引入
如图所示是一个正方体魔方， 已知该魔方的体积为216立方厘米，则该魔方的棱长多少？根据正方体的体积公式得a3＝216，那么a叫做216的什么呢？
二、合作探究
探究点一：立方根的概念及性质
【类型一】 立方根的概念
下列说法正确的是（ ）
A.1的立方根是±1 B.-16的立方根是-4
C.只有非负数才有立方根 D.0的立方根是0
解析：根据立方根的定义，可知所有数都有立方根且是唯一的，故A，C错误；另-16的立方根是，而不是-4.而0的立方根、平方根均为其本身.故选D.
【类型二】 求一个数的立方根
求下列各数的立方根．
(1)－27；　(2)0.008；　(3).
解析：根据立方根的定义，把题中各数分别化为一个数的立方即可．
解：(1)∵(－3)3＝－27，∴＝－3；
(2)∵(0.2)3＝0.008，∴＝0.2；
(3)∵()3＝，∴＝.
方法总结：任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同．
【类型三】 立方根与平方根的综合问题
已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2求其算术平方根即可．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4.∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27，把x＝6代入解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10.
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根．
探究点二：开立方运算
【类型一】 开立方运算
计算：
(1)；　　　 　(2)； (3)－；　　　(4)＋.
解析：本题实质是求各数的立方根．
解：(1)＝－5；
(2)＝0.4；
(3)－＝－(－3)＝3；
(4)＋＝＋＝－＝1.
方法总结：进行开立方运算时，要注意符号，当被开方数是带分数时，应先将它化成假分数再求立方根．
求下列各式中的x的值．
(2)
解析：先把各题化为x3＝a的形式，再求x.其中(2)中可将(2x－1)看作一个整体，先通过开立方求出这个整体的值，然后解方程求出x.
解：(1)整理得开立方，得
(2)开立方，得解得
【类型二】 立方根的实际应用
已知球的体积公式是V＝πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm3，求这个小皮球的半径r.
解析：将公式变形为r3＝，从而求r.
解：由V＝πr3，得r3＝，∴r＝.∵V＝113.04cm3，π取3.14，∴r≈＝＝3(cm)．故这个小皮球的半径r约为3cm.
方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．
三、板书设计
1．每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”．
2．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
3．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
10.2 实数
第1课时 实数的概念及分类
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；(重点)
2．进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；(重点)
3．理解实数与数轴的关系，并进行相关运用．(难点)
一、情境导入
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？如果把“225”改为其他数字，如“200”，这时怎样确定边长？
二、合作探究
探究点一：无理数的概念
在下列实数中：，3.14，0，，π，，0.1010010001…，无理数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，，0.1010010001….故选C.
方法总结：常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数；第二类是化简后含有π的数；第三类是无限不循环的小数．
探究点二：实数的相关概念及分类
【类型一】 实数的概念
下列几种说法正确的有（　　）
①无理数都是无限小数；②实数可分为有理数和无理数；③实数分为正实数和负实数；④无理数包括正无理数、0和负无理数．
A．①②③④ B．②③ C．①④ D．①②
解析：实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数、0、负实数三类．而有理数分为整数和分数．故①②是正确的；③中除了正实数和负实数外，还有0；④中，0是有理数.故选D.
【类型二】 实数的分类
把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.，，，|－5|，，0，，－，，－（－3.14），，3.1212212221….
(1)有理数集合{　　　　　　　…}；
(2)无理数集合{　　　　　　　…}；
(3)整数集合{　　　　　　　…}；
(4)负实数集合{　　　　　　　…}．
解析：依据实数分类，需注意：①将数据中含绝对值或多个符号的数字进行化简：②含根号的数字也需注意是否能开得尽方；③如，这种分子是有理数、分母是无理数的数字，属无理数.
解：(1)有理数集合{－3.，，|－5|，0，－，，－（－3.14），…}.
(2)无理数集合{，，，，3.1212212221…}.
(3)整数集合{，|－5|，0，－，…}.
(4)负实数集合{－3.，，－，…}．
方法总结：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．
探究点三：实数与数轴上的点
如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.7，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵≈1.732，∴和5.7之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.
方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.∴点C所表示的实数为－2－.
方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值．
三、板书设计
第2课时 实数的大小比较和运算
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．了解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义；(重点)
2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，并能进行实数的大小比较和估算．(重点、难点)
一、情境导入
如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，小明想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？
二、合作探究
探究点一：实数的性质
分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)；　　 (2)；　 　(3).
解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．
解：(1)∵＝－4，∴的相反数是4，倒数是－，绝对值是4.
(2)∵＝15，∴的相反数是－15，倒数是，绝对值是15.
(3)的相反数是－，倒数是，绝对值是.
方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同．
探究点二：实数的大小比较和估算
【类型一】 估算无理数的取值范围
估算－2的值(　　)
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
解析：因为42<19<52，所以4<<5，所以2<－2<3.故选B.
方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
【类型二】用估算法比较数的大小
通过估算比较下列各组数的大小：
(1)与1.5; (2)与2.1.
解析：(1)先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小；(2)先估算的大小或求2.1的立方，比较26与2.13的大小．
解：(1)因为6>4，所以>，所以>2，所以>＝1.5，即>1.5；
(2)因为26<27，所以<.即<3，但接近于3，所以>2.1.
方法总结：比较两数的大小常用方法有：①作差作商比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
【类型三】 确定无理数的整数与小数部分
已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
解析：本题综合考查有理数与无理数的关系．因为2<<3，所以的整数部分是2，所以a＝2，是无限不循环小数，它的小数部分应是－2，所以b＝－2，再将a，b代入代数式求值．
解：因为2<<3，a是的整数部分，所以a＝2.因为b是的小数部分，所以b＝－2.所以(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(－2＋2)2＝－8＋8＝0.
方法总结：解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
探究点三：实数的运算
【类型一】 利用运算法则进行计算
计算下列各式的值：
(1) (2)
(3)2－5－(－5)； (4)|－|＋|1－|＋|2－|.
解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．
解：(1)＝-3+3+＝．
＝-（-5）×+3×＝4+2＝6．
(3)2－5－(－5)＝2－5－＋5＝(2－)＋(5－5)＝．
(4)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，所以|－|＋|1－|＋|2－|＝(－)－(1－)＋(2－)＝－－1＋＋2－＝(－)＋(－)＋(2－1)＝1.
方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．
【类型二】 利用实数的性质结合数轴进行化简
如图，一只蚂蚁从点B沿着数轴向右爬行2个单位长度到达点A，若点B表示的数为 ．
设点A所表示的数为m．
(1)直接写出m的值；
(2) 求|m-2|+|1-m|-m的值．
解析：（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出m的值；（2）将m的值代入|m-2|+|1-m|-m，比较去绝对值，再进行求值计算．
解：(1)∵点B表示的数为 ，点B距离点A 2个单位长度，∴m=2-．
(2)将m=2-代入|m-2|+|1-m|-m中，得|m-2|+|1-m|-m=|2--2|+|1-（2-）|-（2-）=+-1-2+=3-3．
方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：
|a|＝
三、板书设计
1．实数的性质
有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义．
2．实数的大小比较
正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．
3．实数的运算
第10章小结与复习
【学习目标】
1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质，会求一个数的平方根、算术平方根和立方根；
2．理解无理数的意义，知道实数分为有理数和无理数，会求一个实数的相反数和绝对值，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系；
3．会比较简单的无理数的大小，并能掌握无理数的运算．
【学习重点】
理解并掌握平方根和算术平方根、立方根的意义，熟练掌握无理数的运算．
【学习难点】
用估算法来比较两个数的大小，会估算无理数的数值范围．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
学法指导：一定要从性质出发．
知识链接：任何实数的立方根只有一个，其开方后数的符号不会发生改变．
情景导入　生成问题
知识结构我能建
自学互研　生成能力
1．定义：如果x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根，则x＝±．
典例1：求下列各数的平方根：
(1)100；(2)0.49；(3)1；(4)(－6)2.
解：(1)±10；(2)±0.7；(3)±；(4)±6.
2．平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根只有一个，就是它本身；(3)负数没有平方根．
典例2：(1)要使±有意义，则a的取值范围为a≥2；
(2)平方根是它本身的数有0．
3．算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作.
典例3：下列各式中，正确的是(　C　)
A.＝±4　　　　　　　　　B．±＝4
C.＝－3 D.＝－2
典例4：(1)若|x＋2|＋＝0，则xy＝－6；
(2)算术平方根是它本身的数是0、1；
(3)若一个正数的平方根是2a－1和－a＋2，则a＝－1，这个正数是9．
学法指导：必须自己动手才有切身体会．
知识链接：1.三类非负数：(1)|a|≥0；(2)a2≥0；(3)≥0(a≥0)．
2．非负数有以下性质：
(1)非负数有最小值零；(2)有限个非负数之和仍然是非负数；(3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
定义：如果x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根，则x＝．
典例5：求下列各数的立方根：
(1)0.125；(2)64；(3)－；(4)－.
解：(1)0.5；(2)4；(3)－；(4)－2.
1．无理数：无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．
2．数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示．即实数与数轴上的点一一对应．
典例6：在实数3.14，，，0，，，0.123456…，0.3· 中无理数的个数为(　B　)
A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
1.＝|a|＝
2．几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0．
典例7：如果＝5－3x，则x的取值范围为x≤．
典例8：(a＋2)2＋|b－1|＋＝0，则a＋b＋c＝2．
交流展示　生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　平方根
知识模块二　立方根
知识模块三　实数
知识模块四　非负数性质的应用
课后反思　
第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．(重点)
2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点)
一、情境导入
问题：某国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：这颗行星距离地球多远？(1年＝3.1536×107s)
3×105×3.1536×107×100＝3×3.1536×105×107×102＝9.4608×105×107×102.
问题：“105×107×102”等于多少呢？
二、合作探究
探究点：同底数幂的乘法运算
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算：(1)23×24×2；
(2)－a3·(－a)2·(－a)3；
(3)mn＋1·mn·m2·m.
解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：(1)原式＝＝28.
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8.
(3)原式＝＝.
方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
计算：
(1)(x－y)2·(y－x)5；
(2)
解析：将底数看成一个整体进行计算．
解：(1)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
(2)原式＝
方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
(a－b)n＝
【类型三】 运用同底数幂的乘法求代数式的值
若求2a＋b的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．
解：∵∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
【类型四】 同底数幂的乘法法则的逆用
已知am＝3，an＝21，求的值．
解析：把变成am·an，代入求值即可．
解：∵am＝3，an＝21，∴＝am·an＝3×21＝63.
方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把变成am·an.
三、板书设计
1．同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即(m，n都是正整数)．
2．同底数幂的乘法法则的运用及逆用.
2.幂的乘方
1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．(重点)
2．掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用．(难点)
一、问题引入
已知一个正方体的棱长为102 cm,求这个正方体的体积.
方法一：102×102×102= ； 方法二：（102）3= ．
将102改为an,请直接写出计算结果： （an）3= ．
你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试．
二、合作探究
探究点一：幂的乘方
【类型一】 直接应用幂的乘方法则进行计算
计算：
(1)(a3)4； (2)(-xm－1)2； (3)[-(24)3]3 ； (4)[(m－n)3]4.
解析：直接运用(am)n＝amn计算即可．
解：(1)(a3)4＝a3×4＝a12.
(2
(3)[-(24)3]3＝-24×3×3＝-236.
(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
【类型二】 含幂的乘方的混合运算
计算：
(2)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；
(3)
解析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则运算求解．
解：(1)
(2)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10＝－a2·a2·a6＋a10＝－a10＋a10＝0.
(3)
方法总结：先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
探究点二：幂的乘方法则的逆运算
【类型一】 根据幂的乘方的关系，求代数式的值
已知则代数式的值为 ．
解析：由得，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式＝7＋3＝10.
方法总结：根据幂的乘方与积的乘方公式转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．
【类型二】 方程与幂的乘方的应用
已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
【类型三】 运用幂的乘方法则比较数的大小
请看下面的解题过程：
“比较2100与375的大小，解：∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375”．请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
解析：首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．
解：∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.
方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．
三、板书设计
幂的乘方
1.幂的乘方的运算公式：(am)n＝amn(m，n为正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2.幂的乘方法则的逆运用.
3.积的乘方
1．掌握积的乘方的运算法则；(重点)
2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
问题引入
探究：根据所学知识，探究计算（2a2）3的过程：
（2a2）3＝(2a2)·(2a2)·(2a2) →幂的定义
＝（2×2×2）×（a2·a2·a2）→乘法的交换律与结合律
＝23×（a2）3→幂的定义
＝8a6.→幂的乘方
运用：试计算：= ．
二、合作探究
探究点一：积的乘方
【类型一】 直接运用积的乘方法则进行计算
计算：(1)(－2ab)4； (2)－(3x2y)2； (3)(－ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2.
解析：直接运用积的乘方法则计算即可．
解：(1)(－2ab)4＝(－2)4a4b4＝16a4b4.
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2.
(3)(－ab2c3)3＝(－)3a3b6c9＝－a3b6c9.
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
【类型二】 含积的乘方的混合运算
计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9.
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．
【类型三】 积的乘方与幂的乘方结合求代数式的值
已知xn=5，yn=3.
(1)求的值；
(2)求的值．
解析：先进行积的乘方，再逆用幂的乘方法则求值．
解：(1)＝x2n·y2n＝(xn)2·(yn)2＝52×32＝225.
(2)＝x2n·y3n＝(xn)2·(yn)3＝52×33＝675.
【类型四】 积的乘方的实际应用
太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)
解析：将R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝πR3≈×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
探究点二：积的乘方的逆用
【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算
计算：()99×()100.
解析：将()100转化为()99×，再逆用积的乘方公式进行计算．
解：原式＝()99×()99×＝(×)99×＝.
方法总结：对公式an·bn＝(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．
【类型二】 正逆用积的乘方与幂的乘方求值
如果5n=a，2n=b，用含a,b的式子表示20n.
解析：将20n转化为（5×22）n，再用积的乘方法则、幂的乘方法则逆用即可得出答案.
解：20n＝（5×22）n＝5n×22n＝5n×（2n）2＝ab2.
方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键.
三、板书设计
1．积的乘方法则：
积的乘方等于各因式乘方的积．
即(ab)n＝anbn(n是正整数)．
2．积的乘方的逆运用.
4.同底数幂的除法
1．理解并掌握幂的运算性质4，能直接运用其进行计算；
2．掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题．(重点、难点)　
一、情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
二、合作探究
探究点一：同底数幂的除法
【类型一】 运用同底数幂的除法进行运算
计算：
(1)(－x)10÷(－x3)÷(－x)5；
(2)(－xy)13÷(－xy)8；
(3)(x－2y)3÷(2y－x)2；
(4)(a2＋1)7÷(a2＋1)4÷(a2＋1).
解析：（1）将－x3写成(－x)3后利用同底数幂的除法法则即可进行计算，(2)应把(－xy)看作一个整体；(3)把(x－2y)看作一个整体，2y－x＝－(x－2y)；(4)把(a2＋1)看作一个整体.
解：(1))(－x)10÷(－x3)÷(－x)5=(－x)10÷(－x)3÷(－x)5==(－x)2=x2；
(2)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(3)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
(4)(a2＋1)7÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)7－4－2＝(a2＋1)1＝a2＋1.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则计算．
【类型二】 含同底数幂除法的混合运算
计算：
(1)a a7－(－3a4）2+a10÷a2；
(2)(p－q)4÷(p－q)3 (q－p)5；
(3)(－2a)3+(a4）2÷(－a)5；
(4)2(x4)3－(x7)2÷x2．
解析：(1)(3)(4)先算乘方，再算乘除，最后合并同类项；（2）将（p－q）看作一个整体，再从左到右依次运算.
解：(1)a a7－(－3a4)2+a10÷a2＝a8－9a8+a8＝－7a8．
(2)(p－q)4÷(p－q)3 (q－p)5＝－(p－q)4-3+5＝－(p－q)6．
(3)(－2a)3+(a4)2÷(－a)5＝－8a3+a8÷（－a5)＝－8a3－a3＝－9a3．
(4)2(x4)3－(x7)2÷x2＝2x12－x14÷x2＝2x12－x12＝x12．
探究点二 同底数幂的除法法则的应用
【类型一】 已知同底数幂除法的恒等式，求字母的值
若32 92a+1÷27a+1=81，求a的值.
解析：以3,9,27,81为底的幂，都可以转化成以3为底的幂，它们实际上是同底数幂.
解：∵32 92a+1÷27a+1=81，∴32 34a+2÷33a+3=34，∴2+4a+2-3a-3=4，解得a=3．
方法总结：当出现恒等式但底数又不同时，可以观察底数，找出底数之间的相互关系（换为同底数幂），再根据运算法则进行计算，最后得出等式，求出未知数的值.
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
已知ax=-2，ay=3．
(1)求ax-y的值；
(2)求a3x-2y的值．
解析：先逆用同底数幂的除法，对ax-y，a3x-2y进行变形，再代入数值进行计算．
解：(1)ax-y＝ax÷ay＝-2÷3＝-.
(2)a3x-2y＝a3x÷a2y＝（ax）3÷（ay）2＝＝.
【类型三】 同底数幂除法的实际应用
声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．
解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；
因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015－10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．
方法总结：本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键．
　　
三、板书设计
同底数幂的除法
1．同底数幂的除法法则：am÷an＝(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
2．同底数幂的除法法则逆用：＝am÷an(m，n为正整数，m>n，a≠0)．
11.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点)
2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、问题引入
已知长方形的长为3a,宽为2b,求长方形的面积.如图，不妨将长方形分割成长为a，宽为b的小长方形.由图形可知大长方形的面积为 ，即3a·2b= ．
试一试： (1)3xy·2y ； (2)-5a2b·2ab= ．
你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？
二、合作探究
探究点：单项式与单项式相乘
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算：
(1)(－a2b)·ac2；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
解：(1)(－a2b)·ac2＝－×a3bc2＝－a3bc2.
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
先化简，再求值：( 2a2b3) ( ab2)2+( a2b3)2 4b，其中a=2，b=1.
解析：先根据幂的运算法则进行乘方运算，再根据单项式乘单项式法则进行乘法运算，最后合并同类项，再将a,b代入求值.
解：原式= 2a2b3 a2b4+a4b6 4b= 2a4b7+a4b7= a4b7.当a=2，b=1时，原式= 24×1= 16．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x6y3是同类项，求m2＋n的值．
解析：根据－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x6y3是同类项可得出关于m，n的方程组，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：∵－2x3m＋1y2n与7的积与x6y3是同类项，∴
解得 ∴m2＋n＝2.
方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是解题关键．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xym2，绿化的面积是＝xy(m2)，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
三、板书设计
1．单项式乘以单项式的运算法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式乘以单项式的应用
11.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点)
2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、问题引入
已知长方形的长为3a,宽为2b,求长方形的面积.如图，不妨将长方形分割成长为a，宽为b的小长方形.由图形可知大长方形的面积为 ，即3a·2b= ．
试一试： (1)3xy·2y ； (2)-5a2b·2ab= ．
你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？
二、合作探究
探究点：单项式与单项式相乘
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算：
(1)(－a2b)·ac2；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.
解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
解：(1)(－a2b)·ac2＝－×a3bc2＝－a3bc2.
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.
(3)－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
先化简，再求值：( 2a2b3) ( ab2)2+( a2b3)2 4b，其中a=2，b=1.
解析：先根据幂的运算法则进行乘方运算，再根据单项式乘单项式法则进行乘法运算，最后合并同类项，再将a,b代入求值.
解：原式= 2a2b3 a2b4+a4b6 4b= 2a4b7+a4b7= a4b7.当a=2，b=1时，原式= 24×1= 16．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x6y3是同类项，求m2＋n的值．
解析：根据－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x6y3是同类项可得出关于m，n的方程组，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：∵－2x3m＋1y2n与7的积与x6y3是同类项，∴
解得 ∴m2＋n＝2.
方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是解题关键．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xym2，绿化的面积是＝xy(m2)，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
三、板书设计
1．单项式乘以单项式的运算法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式乘以单项式的应用
3.多项式与多项式相乘
1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)
2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．(难点)　　　 　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：
这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、合作探究
探究点一：多项式与多项式相乘
【类型一】 直接利用多项式乘多项式法则进行计算
计算：
(1)(3x＋2)(x＋2)； (2)(x－3y)(x+5y)； (3)(2x－3)(3x2－2x+1).
解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果．
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4.
原式＝x2＋5xy－3xy－15y2＝x2＋2xy－15y2.
原式＝6x3－4x2+2x－9x2+6x－3=6x3－13x2+8x－3.
方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【类型二】 多项式乘以多项式的混合运算
计算：(1)(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)；
(2)5x(x2+2x+1)－(2x+3)(x－5)；
(3)5y2－(y－2)(3y+1）－2(y+1)(y－5)．
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：(1)原式＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
(2)原式=5x3+10x2+5x-2x2+10x-3x+15=5x3+8x2+12x+15．
(3)原式=5y2-3y2-y+6y+2-2y2+10y-2y+10=13y+12．
方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用
【类型一】 多项式乘以多项式的化简求值
先化简，再求值：
(1)(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1；
(2)(x+1)2－(x+1)(2x－1)，其中x2-x+1=0.
解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．其中（2）中需整体代入求值.
解：(1)原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
原式＝x2+x+x+1-(2x2-x+2x-1)=x2+2x+1-2x2-x+1=-x2+x+2.因为x2-x+1=0，所以-x2+
x=1.所以原式=1+2=3.
方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
【类型二】 多项式乘以多项式与方程、不等式的综合
解下列方程或不等式：
(1)(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4；
(2)2x(3x－5)－(2x－3)(3x+4)≤3(x－4).
解析：方程或不等式的两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．
解：(1)去括号，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝－.
(2)去括号，得6x2－10x－6x2－8x+9x+12≤3x－12,移项、合并同类项得－12x≤－24,解得x≥2.
方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程或不等式再解答．
【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用
千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．
方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．
【类型四】 根据多项式乘以多项式求待定系数的值
已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2.∵积不含x2项，也不含x项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝，∴系数a、b的值分别是，.
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．
三、板书设计
1．多项式与多项式的乘法法则：
多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
2．多项式与多项式乘法的应用.
11.3 乘法公式
1. 两数和乘以这两数的差
1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点)
2．掌握平方差公式的应用．(重点)　
一、情境导入
根据多项式乘多项式，完成下列计算：
(x-1)(x+1)= ； (3a+1)(3a-1)= ； (x-y)(x+y)= ．
根据以上计算，你能得出什么结论？
二、合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算
下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.
方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
【类型三】 利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8.
解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399.
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
【类型四】 运用平方差公式进行化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
【类型五】 平方差公式的几何背景
如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．
解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．
【类型六】 平方差公式的实际应用
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
三、板书设计
1．平方差公式：
两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．平方差公式的应用.
2.两数和（差）的平方
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点)
2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)
一、情境导入
1．教师引导学生复习平方差公式．
学生积极举手回答．
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．
二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
【类型二】 利用完全平方公式求字母的值
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算：
(1)992； (2)1022.
解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．
解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801.
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．
【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值
已知x+y=4，x2+y2=10．
(1)求xy的值； (2)求(x-y)2－3的值．
解析：先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：(1)∵x+y=4，∴(x+y)2=16，∴x2+2xy+y2=16，又∵x2+y2=10，∴10+2xy=16，∴xy=3.
（2）(x－y)2－3=x2－2xy+y2－3=10－2×3－3=1．
方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．
【类型五】 完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
三、板书设计
1．完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的综合运用.
11.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律；
2．能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．(重点，难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
填空：
(1)am·an＝________；(2)(am)n＝________；
(3)÷an＝________；(4)amn÷an＝________．
我们已经学习了单项式乘以单项式的运算，今天我们将要学习它的逆运算．
二、合作探究
探究点：单项式除以单项式
【类型一】 直接用单项式除以单项式进行计算
计算：
(1)－x5y13÷(－xy8)；
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－a5b2)；
(3)（a2b2）3÷（－ab3）2.
解析：(1)可直接运用单项式除以单项式的运算法则进行计算；(2)运算顺序与有理数的运算顺序相同．(3)先算乘方，再算除法.
解：(1)原式＝·＝x4y5.
(2)原式＝[(－48)÷24×(－)]
(3)原式=a6b6÷a2b6＝a4.
方法总结：计算单项式除以单项式时应注意商的系数等于被除式的系数除以除式的系数，同时还要注意系数的符号；整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同．
【类型二】 已知整式除法的恒等式，求字母的值
若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解析：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，
12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．
【类型三】 整式除法的实际应用
一颗人造地球卫星的速度为2.88×107 m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106 m/h，这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
解析：求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍，用人造地球卫星的速度除以喷气式飞机的速度，列出式子：(2.88×107)÷(1.8×106)，再利用同底数幂的除法计算．
解：(2.88×107)÷(1.8×106)＝(2.88÷1.8)×(107÷106)＝1.6×10＝16.则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍．
方法总结：用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计算．
三、板书设计
1．单项式除以单项式的运算法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2．单项式除以单项式的应用.
2.多项式除以单项式
1．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律；
2．能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．(重点，难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、问题引入
1．计算：
(1)－6x3y4z2÷(－x2y2)； (2)9mn÷(－6mn)2·(n2)；
(3)6(a－b)3c5÷[－(a－b)2c]·[－2(a－b)3c4]．
2．m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm，(am＋bm＋cm)÷m＝am÷m＋bm÷m＋cm÷m＝a＋b＋c.
你能根据多项式乘以单项式的运算归纳出多项式除以单项式的运算法则吗？
二、合作探究
探究点：多项式除以单项式
【类型一】 直接利用多项式除以单项式进行计算
计算：(1)(6a4－4a3)÷(－2a2)；
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)；
(3)[12m3+m3·m－（3m2)2]÷(2m)2．
解析：根据多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．(3)中注意运算顺序.
解：(1)原式＝6a4÷(－2a2)－4a3÷(－2a2)=－3a2+2a.
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
(3)原式＝(12m3+m4－9m4)÷4m2=12m3÷4m2－8m4÷4m2=3m－2m2.
方法总结：多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
【类型二】 逆用多项式除以单项式求解
已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
解析：根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答．
解：根据题意得2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
方法总结：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
【类型三】 运用多项式除以单项式化简求值
先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝4399，y＝2048.
解析：利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x与y的值代入计算，即可求出答案．
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y.当x＝4399，y＝2048时，原式＝x－y＝4399－2048＝2351.
方法总结：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则．
【类型四】 多项式除以单项式的应用
若长方形的面积是4a2-6ab+2a，宽为2a，求它的周长.
解析：先根据长方形的长=面积÷宽求出长方形的长，再根据长方形的周长=2（长+宽）求解.
解：长方形的长为(4a2-6ab+2a)÷2a=2a-3b+1，所以长方形的周长为
2(2a-3b+1+2a)=8a-6b+2．
三、板书设计
1．多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2．多项式除以单项式的应用
11.5 因式分解
第1课时 因式分解及提公因式法分解因式
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．(重点)
2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、问题引入
1．多媒体展示，让学生完成．
计算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b)2.
学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答：
(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
2．学生通过对比上题发现：
(1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
3．教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它．
二、合作探究
探究点一：因式分解的概念
下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
探究点二：提公因式法分解因式
【类型一】 确定公因式
多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(　　)
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.
方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【类型二】 用提公因式法因式分解
因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．
解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
(3)原式＝(a＋b)(a－b)－(a+b)=(a＋b)(a－b－1)．
方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
【类型三】 利用因式分解简化运算
计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.21，进而求出即可．
解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14＝20.21×(29＋72＋13－14)＝2021.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
【类型四】 利用因式分解整体代换求值
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
三、板书设计
1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．
第2课时 运用平方差公式分解因式
1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．(重点)
2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
1.同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．
2.你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？
探究点一：运用平方差公式分解因式
【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.
方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式(或可以看出两项的)，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
【类型二】 利用平方差公式分解因式
分解因式：
(1)x2－36； (2)－y2＋16x2； (3)(m＋1)(m－9)＋8m； (4)(a＋b)2－4a2.
解析：(1)可直接根据平方差公式进行因式分解；(2)中可运用加法交换律将式子变形为16x2－y2再根据平方差公式进行因式分解；(3)需先将式子化简整理，再根据平方差公式进行因式分解；(4)需将（a+b）看作一个整体，然后运用平方差公式进行因式分解.
解：(1)原式＝(x－6)(x＋6).
(2)原式＝16x2－y2＝(4x－y)(4x＋y).
(3)原式＝m2－8m－9＋8m=m2－9=(m－3)(m＋3).
(4)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).
【类型三】 结合平方差公式，两步分解因式
分解因式：
(1)x3y2－xy4； (2)a4－b4； (3)9(m＋n)2－(m－n)2.
解析：(1)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式；(2)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(3)将(m＋n) 、(m－n)看作整体，然后运用平方差公式因式分解，需注意分解后得到的因式中，不含公因式.
解：(1)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)．
(2)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b).
(3)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
探究点二：运用平方差公式分解因式的应用
【类型一】 利用平方差公式进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)1012－992； (2)5722×－4282×.
解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．
解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.
方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．
【类型二】 利用因式分解整体代换求值
已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．
【类型三】 因式分解的实际应用
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．
答：所有阴影部分的面积和是5050 cm2.
方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【类型四】 因式分解有关的代数推理
试证明：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
解析：连续奇数的差是2，我们可以通过设其中较小的数为2x+1,则较大的数为2x+3，然后再利用平方差公式来推理．
解：设较小的奇数为2x+1，则较大的奇数为2x+3，其中x=0，1，2…，
两个连续奇数的平方差为（2x+3）2-（2x+1）2，
利用平方差公式（2x+3）2-（2x+1）2=（2x+3+2x+1）（2x+3-2x-1）=（4x+4）×2=8（x+1），
∴两个连续奇数的平方差一定是8的倍数成立．
方法总结：两个连续奇数，注意设参要体现出来，再来利用平方差公式推理解答问题.代数推理是数学中常见的推理类型，初中代数推理就是将代数表达式或代数之间的关系进行结合，使其转化为一种特定的目标结构或代数证明.
三、板书设计
运用平方差公式因式分解
1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式(或可以看成两项的)，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)
一、问题引入
1．分解因式：
(1)x2－4y2；　　　　　 (2)3x2－3y2；
(3)x4－1；　　　　　　 (4)(x＋3y)2－(x－3y)2.
2．根据学方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？
二、合作探究
探究点一：运用两数和（差）的平方分解因式
【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式
下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1个 　 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．
【类型二】 运用完全平方公式分解因式
因式分解：
x2+14x+49； (2)－4x2+12xy－9y2；(3)
解析：(1)直接运用完全平方公式分解因式；(2)先变形为－(4x2－12xy+9y2)，再根据完全平方公式分解因式；(3)将b+c看作一个整体，然后根据完全平方公式分解因式.
解：(1)原式＝(x+7)2.
(2)原式＝－(4x2－12xy+9y2)＝－(2x－3y)2.
(3)原式＝[a－(b+c)]2＝(a－b－c)2.
【类型三】结合完全平方公式，两步分解因式
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)a4－2a2b2+b4； (3)(a2＋4)2－16a2.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用完全平方公式，再用平方差公式；(3)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2－b2)2＝(a＋b)2(a－b)2.
(3)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
探究点二：两数和（差）的平方分解因式的应用
【类型一】 运用因式分解进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
【类型二】 利用因式分解判定三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路．
【类型三】 整体代入求值
已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝
×10×52＝125.
方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．
【类型四】 利用因式分解解决面积与代数恒等式问题
在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ；
（2）如图3，现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽.
解析：由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出（1）中代数式；（2）中面积为2a2+5ab+2b2，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a,b的长方形使用5次，依此即可求解.
解：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3y2．故答案为：（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3y2.
（2）说明：答案不唯一，画图正确，不论画在什么位置，
方法总结：此题考查的是因式分解的应用与几何的综合题，应用一些长方形（或正方形）的硬纸片拼成的图形可以用来解释一些代数恒等式.
三、板书设计
1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数乘积的±2倍)．
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．
第11章小结与复习
【学习目标】
1．让学生熟记整式乘除的计算法则、平方差公式和完全平方公式；
2．让学生学会灵活运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算；
3．让学生能够熟练地利用提公因式法、公式法分解因式．
【学习重点】
运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算和因式分解．
【学习难点】
乘法公式与因式分解．
行为提示：先让学生结合知识结构图独立回忆本章主要知识点，填写知识梳理部分．
注意：幂的运算的四个公式：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方要记清楚，不要混淆了．
注意：1.结果必须是几个整式的积；
2．结果要分解到每个因式不能再分解为止；
3．方法步骤：一提二套．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
情景导入　生成问题
1．知识结构我能建
整式的乘法与因式分解
2．知识梳理我能行
一、幂的运算
1．同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
2．同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．
3．(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
4．(ab)n＝anbn(n为正整数)．
二、整式的乘除
1．单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
三、乘法公式
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
四、因式分解
1．提公因式法分解因式：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．
2．公式法分解因式：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)两数和(差)的平方：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
自学互研　生成能力
典例1：计算：(1)3x3·(－2x2)；(2)[(－2x)3]2；(3)－2xy(5x2y－4xy＋1)；
(4)(2a－2b)(3a＋7b)；(5)9x3÷(－3x2)；(6)(3x3y－x2y2＋2x2y)÷(－x2y)．
解：(1)原式＝－6x5；(2)原式＝64x6；(3)原式＝－10x3y2＋8x2y2－2xy；
(4)原式＝6a2＋8ab－14b2；(5)原式＝－3x；(6)原式＝－3x＋y－2.
学法指导：做这一类题的方法是：主要是两个乘法公式正用、逆用，只要看到a＋b、a－b、ab、a2＋b2就要想到乘法公式．
行为提示：因式分解要分析题目的结构特点，当不能用某一公式解决时要综合运用两个或两次公式解题．对于整式的乘除与公式的综合应用，关键要熟记本章的法则、公式，灵活选用不同的方法解题．
学法指导：解决这一类题目是，首先观察式子特点，有公因式要先提公因式，然后再根据因式特点选择公式进行因式分解．
学法指导：此题应先因式分解，然后利用整体思想运用整式的除法进行化简，最后再代入求值．
行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
典例2：先化简，再求值：2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷，其中a＝1，b＝3.
解：原式＝2a2b－[3a2b－(ab2－2a2b)]÷
＝2a2b－(5a2b－ab2)÷
＝2a2b－(－10a＋2b)
＝2a2b＋10a－2b.
当a＝1，b＝3时，原式＝2×1×3＋10×1－2×3＝6＋10－6＝10.
典例3：已知x＋y＝7，xy＝10，求3x2＋3y2的值．
解：原式＝3(x2＋y2)＝3[(x＋y)2－2xy]＝3(72－2×10)＝3×29＝87.
典例4：已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值．
解：(a＋b)2＝1，得a2＋2ab＋b2＝1①，
(a－b)2＝25，得a2－2ab＋b2＝25②.
由①－②，得4ab＝－24，所以ab＝－6.
由①＋②，得2a2＋2b2＝26，所以a2＋b2＝13.
所以a2＋b2＋ab＝13＋(－6)＝7.
典例5：分解因式：
(1)ax－ay＋bx－by；(2)25a2b2＋10ab＋1；
(3)(x－y)2－4(x－y－1)；(4)3ap2－18apq＋27aq2.
解：(1)原式＝a(x－y)＋b(x－y)＝(x－y)(a＋b)；
(2)原式＝(5ab)2＋2×5ab＋12＝(5ab＋1)2；
(3)原式＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2;
(4)原式＝3a(p2－6pq＋9q2)＝3a(p－3q)2.
典例6：先化简，再求值：(am2－6amn)÷am－(4m2－9n2)÷(2m－3n)，其中m＝－3，n＝.
解：原式＝(m－6n)－(2m－3n)(2m＋3n)÷(2m－3n)
＝m－6n－(2m＋3n)
＝－m－9n.
当m＝－3，n＝时，原式＝－(－3)－9×＝0.
交流展示　生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　整式的乘除法运算
知识模块二　乘法公式的运用
知识模块三　因式分解
知识模块四　整式乘除与因式分解的综合运用
课后反思
第12章 全等三角形
12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……，那么……”的形式；(重点)
2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点)
一、情境导入
判断下列语句哪些是判断句？
(1)合肥市是安徽省的省会．(是)
(2)3＋7＜11.(是)
(3)有公共顶点的角是对顶角．(是)
(4)北京欢迎你！(不是)
(5)画一个角，它的大小是60度．(不是)
(6)你的作业做完了吗？(不是)
如何用数学语言来定义这种判断呢？
二、合作探究
探究点一：命题的定义与结构
【类型一】 命题的判断
下列语句中，不是命题的是(　　)
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.
方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……，那么……”．
【类型二】 把命题写成“如果……,那么……”的形式
把下列命题写成“如果……，那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等．
解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
(2)如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等．
方法总结：把命题写成“如果……，那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．
【类型三】 命题的条件和结论
写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．
解析：先把命题写成“如果……，那么……”的形式，再确定条件和结论．
解：把命题写成“如果……，那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．
方法总结：每一个命题都一定能用“如果……，那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．
探究点二：真命题与假命题
下列命题中，是真命题的是(　　)
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.
方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．
探究点三：举反例
判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例进行说明.．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．
解：(1)一条直线截两条平行直线形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．
板书设计
2.定义、定理与证明
1．理解和掌握定义和定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念；(重点)
2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题；(难点)
3．通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣．
一、情境导入
下面两个图片中，中心的两个圆形哪个大？
眼见未必为实，实践出真知！
二、合作探究
探究点一：定义
“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是（　　）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理
解析：我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是用来说明“平行线”所包含的意义，是这个名词的定义.故答案为A.
方法总结：在证明过程中，定义及基本事实、定理及推论、已知条件都可以作为证明依据.对数学进行清晰、明确的描述，作出明确的规定，就是它们的定义.
探究点二：定理
命题“对顶角相等”是(　　)
A．角的定义 B．假命题
C．基本事实 D．定理
解析：“对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定作为判定其他命题真假的依据，所以它属于定理．故答案为D.
方法总结：人们在长期实践中总结出来，不需要用推理的方法加以证明，并作为判定其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实．如“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”等都是基本事实．从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
探究点三：证明
【类型一】 简单推理
如图，下列推理中正确的有(　　)
①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；
②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；
③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠2不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选C.
方法总结：本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
【类型二】 补充证明过程
完成下面的证明过程：
已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.
求证：∠3＝∠B.
证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，
∴∠D＋∠EFD＝180°，
∴AD∥ (同旁内角互补，两直线平行)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴ ∥BC(内错角相等，两直线平行)，
∴EF∥ ，
∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
解析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．
∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.
方法总结：本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，反过来就是平行线的判定．
【类型三】 直接证明
如图所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC.求证：OE⊥OF.
解析：要证明某个结论，可从条件入手分析，也可以从结论逆推进行分析．要证OE⊥OF，只需证∠EOF＝90°，而∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，因此只需证∠EOB＋∠BOF＝90°.由OE、OF平分∠AOB和∠BOC可得∠EOB＋∠BOF＝(∠AOB＋∠BOC)＝90°，所以得证OE⊥OF.
证明：∵OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
∴∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠BOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，
∴∠EOB＋∠BOF＝(∠AOB＋∠BOC)＝＝90°，即∠EOF＝90°，
∴OE⊥OF.
方法总结：从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．
三、板书设计
12.2三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
1．了解全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)
2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)
3．能够根据给出的对应元素判断两个

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