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19.2 二次根式的乘法与除法
知识梳理1 二次根式的乘法 2
知识梳理2 二次根式的除法 4
知识梳理3 最简二次根式 6
知识梳理1 二次根式的乘法
1．二次根式的乘法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． （3）拓展 ①二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如 ． ②乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适用．类比单项式乘以单项式，可得． （4）说明： 本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式． 2．二次根式乘法法则的逆用 （1）符号语言 ． （2）文字语言 积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积． （3）逆用二次根式乘法法则化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外．
【例1】　（2025秋 太康县期末）计算的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简．
【解答】解：根据二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简可得：
，
故选：B．
【例2】　（2025秋 祁阳市校级期末）化简计算正确的结果是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可．
【解答】解：原式2．
故选：B．
【例3】　（2025秋 普陀区期末）计算：　2　 ．
【答案】2．
根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式2．
故答案为：2．
【例4】　（2025秋 阳城县期末）计算：　4　 ．
【答案】4
根据二次根式的乘法法则求解．
【解答】解：原式
＝4．
故答案为：4．
知识梳理2 二次根式的除法
1．二次根式的除法法则 （1）符号语言 ． （2）文字语言 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． （3）拓展 ①二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如 ． ②类比单项式除以单项式，可得 ． 2．二次根式除法法则的逆用 （1）符号语言 ． （2）文字语言 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． （3）说明 公式中的a，b表示的代数式必须满足a≥0，b>0． a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．
【例5】　（2025秋 蒲城县期末）计算：（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】A
根据二次根式的除法法则：，进行计算即可．
【解答】解：根据二次根式的除法法则可得：
，
∴答案为．
故选：A．
【例6】　（2025秋 化州市期中）计算的结果为（　　）
A． B．2 C．2 D．
【答案】B
原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式2．
故选：B．
【例7】　（2025春 泗阳县期末）计算的结果正确的是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：2．
故选：C．
【例8】　（2025秋 闵行区期末）计算：　　 ．
【答案】．
按照二次根式的乘除法计算法则和计算顺序计算．
【解答】解：
．
故答案为：．
知识梳理3 最简二次根式
（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． （2）化简二次根式的一般方法 ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方． ②化去根号下的分母． 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数． 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数． ③被开方数是多项式的要先进行因式分解．
【例9】　（2025秋 惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【例10】　（2025秋 常宁市期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
【例11】　（2025秋 惠安县期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
根据最简二次根式的定义①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式，逐个判断即可
【解答】解：A．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故A选项不符合题意；
B．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故D选项符合题意；
故选：D．
【例12】　（2025秋 上海校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
根据最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简．
【解答】解：A、，不是最简二次根式；
B、，被开方数21a中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式；
C、，可化简，不是最简二次根式；
D、，可化简，不是最简二次根式．
故选：B．

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