资源简介

(共35张PPT)
第四章 因式分解
4.1因式分解
01
教学目标
02
知识回顾
03
问题引入
04
探究新知
06
课堂练习
07
课堂小结
05
典例精析
08
作业布置
01
教学目标
使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．
01
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
02
通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
03
02
复习旧知
1.整式乘法有几种形式
(1)单项式乘以单项式：a·b= .
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=______________________
2.乘法公式有哪些
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________
(2)完全平方公式: (a±b)2=________________
ab
am+an
am+an+bm+bn
02
复习旧知
当 a =101, b = 99 时，
400
当 a =101, b = 99时, a2－ ab =________
202
当 a =101, b = 99时, a2-2ab+b2 = _______
4
请问：你们是如何进行简便计算呢
03
问题导入
993–99能被100整除吗？
你能说出每一步的根据吗？
∴993–99能被100整除.
993–99还能被哪些数整数整除？
乘法分配律
平方差公式
还能被99、98整除
03
新知探究
1、计算下列各式：
积的形式
转化
和的形式
整式乘法
2、把下列多项式写成积的形式
和的形式
转化
积的形式
叫什么运算？
03
观察 思考
观察拼图过程，写出相应代数式，等号两边的代数式有什么不同
ma+mb+mc
m(a+b+c)
03
新知探究
分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解）。
(6)ma+mb+mc=
m(a+b+c)
03
新知探究
“整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系
x2－xy　＝　x（x－xy）
整式乘法
因式分解
因式分解也叫分解因式
03
典例精析
① x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ② 2x(x-3y)=2x2-6xy
③ (5a-1)2=25a2-10a+1 ④ x2+4x+4=(x+2)2
⑤ (a-3)(a+3)=a2-9 ⑥ m2-4=(m+2)(m-2)
⑦ 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
从左边到右边的变形，
属于整式乘法的是 ；
属于因式分解的是 。
例题1：观察下列各等式：
易错点：左边不是多项式
易错点：右边不是整式的积
② ③ ⑤
① ④ ⑥ ⑦
03
新知探究
分解因式要注意什么:
(1).分解的对象必须是多项式.
(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
不是多项式
不是整式的积
03
新知探究
例题2. 1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
03
新知探究
例题3.用简便方法计算：
03
新知探究
例题3.用简便方法计算：
知识要点1
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（或因式分解）。
因式分解的定义
注意点
分解对象是多项式，分解结果是是整式的积
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有　 　.
①(x＋5)(x－5)＝x2－25　 ②x2－9＝(x＋3)(x－3)　
③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋ )　 ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
②③⑥
1. 把一个 化成几个整式的　　 的形式，这种变形叫做 .
2．因式分解与整式乘法的过程 .
多项式
相乘
因式分解
互逆
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.计算：7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17×(7652 －2352)
=17×(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530
=9010000
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5. 20042+2004能被2005整除吗？
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( )
Ａ. (x＋5)(x－1)＝x2＋4x－5
Ｂ. x2－x2－1＝(x＋x)(x－1) － 1
Ｃ. x2－10xy＋25y2＝(x－5y)2
Ｄ. ax2－bx2－x＝x2(a－b) －x
C
7.把多项式x +ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a=________，b=_______.
-2
-3
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.小明在解答“分解因式：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)；
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，∴分解不正确；
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9，∴分解正确．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.有正方形甲图片1张、正方形乙图片3张和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：由图形面积得：a2＋3b2＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)．
05
课堂小结
因数分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（或因式分解）。
定义
分解对象是多项式，分解结果是是整式的积，要分解到不能分解为止.分解因式与整式乘法是互逆过程.
注意
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是　 　，从右到左的变形中　 　.
2．对于下列两个自左向右的变形：甲： ，乙：
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
整式乘法
因式分解
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab·2ab B．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
C．a2－3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a2－1＝a(a－ )
4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
5．113－11不能被下列哪个数整除？( )
A．13 B．12 C．11 D．10
C
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6．计算：
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
7.观察下列拼图过程，写出相应的关系式
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8、方法探究：
已知二次多项式 ，我们把 代入多项式，发现 ，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式
可以表示成 ，则有 ，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4，解得k=-7，因此多项式分解因式得： ．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
问题解决：
(1)对于二次多项式 ，我们把x＝ 代入该式，会发现 成立；
(2)对于三次多项式 ，我们把x＝1代入多项式，发现
，由此可以推断多项式中有因式 ，设另一个因式为 ，多项式可以表示成
，试求出题目中a，b的值；
2
x-1
∴ a-1=-1, a=0
b-a=-3, b=-3
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(3)对于多项式 ，用“试根法”分解因式．
解 当x=2时， =0
设 =
∴a-2=4, a=6
2b=18, b=9
∴ =
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知关于x的二次三项式 5x2+mx-n 分解因式的结果是
(5x-1)(x+2),试求m，n的值
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
Thanks!
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第四章 《因式分解》导学案
4.1因式分解
学习目标与重难点
学习目标：
1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
学习重点：
因式分解的意义，会判断什么是因式分解
学习难点：
理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
预习自测
1.整式乘法有几种形式
(1)单项式乘以单项式：a·b= .
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________
(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=______________________
2.乘法公式有哪些
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________
(2)完全平方公式: (a±b)2=________________
3.当 a =101, b = 99 时，
= ； -ab= ；
。
教学过程
导入新课
1、99–99能被100整除吗？
99–99
=99（99-1）
=99（99+1）（99-1）
=99×100×98
∴993–99能被100整除.
99–99还能被什么数整除？（还能被 整除）
计算下列各式：
积的形式 和的形式【整式乘法】
3、计算下面各题
和的形式 积的形式【 ？ 】
二、合作交流、新知探究
观察拼图过程，写出相应代数式，等号两边的代数式有什么不同
得到：（1）ma+mb+mc=m(a+b+c) （2）
分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解）
都是因式分解
【强调】整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系
典例精析;
例题1：观察下列各等式：
从左边到右边的变形，
属于整式乘法的是 ②，③，⑤ ；
属于因式分解的是 ①，④，⑥，⑦ 。
易错题：⑧左边不是多项式，⑨右边不是整式的积（分解不彻底）
【强调】分解因式要注意什么:
分解的对象必须是多项式.
分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
例题2. 199-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
199-199=199（199-1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198
∴199-199能被200整除，还能被199、198整除。
例题3.用简便方法计算：
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 把一个 化成几个整式的 的形式，这种变形叫做 .
2．因式分解与整式乘法的过程 .
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①(x＋5)(x－5)＝x2－25　 ②x2－9＝(x＋3)(x－3)　
③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　 ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　
⑤x＋1＝x(1＋ )　 ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
4.计算：765×17－235×17
5. 2004+2004能被2005整除吗？
6.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( )
A. (x＋5)(x－1)＝x＋4x－5 B. x－x－1＝(x＋x)(x－1) － 1
C. x－10xy＋25y＝(x－5y) D. ax－bx－x＝x(a－b) －x
7.把多项式x +ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a= ，b= .
能力提升：
8.小明在解答“分解因式：(1)3x－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x－9x＋3＝3(x－6x＋1)；
(2)4x－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
拓展迁移
9.有正方形甲图片1张、正方形乙图片3张和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
总结反思、拓展升华
4.1因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也称为分解因式。
因式分解与整式乘法的联系：互逆的两种恒等变形
3. 分解因式要注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
五、【作业布置】
基础达标：
1．在公式(a＋b)(a－b)＝a－b中，从左到右是　 ，从右到左的变形中　 .
2．对于下列两个自左向右的变形：甲： ，乙：
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6ab＝3ab·2ab B．2x＋8x－1＝2x(x＋4)－1
C．a－3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a－1＝a(a－ )
4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2yz＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x＋8x－2＝－2(2x－1)
5．11－11不能被下列哪个数整除？( )
A．13 B．12 C．11 D．10
6．计算：
7.观察下列拼图过程，写出相应的关系式
能力提升：
8、方法探究：
已知二次多项式，我们把x=-3 代入多项式，发现 =0 ，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成 ，则有 ，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4，解得k=-7，因此多项式分解因得：得： ．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式 ，我们把x＝ 代入该式，会发现 成立；
(2)对于三次多项式 ，我们把x＝1代入多项式，发现 ，由此可以推断多项式中有因式 ，设另一个因式为 ，多项式可以表示成
，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式 ，用“试根法”分解因式．
拓展迁移：
9.已知关于x的二次三项式 5x+mx-n 分解因式的结果是(5x-1)(x+2),试求m，n的值
10.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
课堂作业参考答案
多项式，乘积，因式分解
互逆
②，③，⑥
4、解: 765×17－235×17
=17(765－235)
=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530
=9010000
5、解: ∵2004+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 2004+2004能被2005整除
C
-2; -3
8、解：(1)∵3(x－6x＋1)＝3x－18x＋3，
∴分解不正确；
∵(2x＋3)(2x－3)＝4x－9，
∴分解正确．
9、解：由图形面积得：a＋3b＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)．
课外作业参考答案
整式乘法；因式分解
B
C
D
A
6、
7、
8、（1）2
（2)x-1
∴ a-1=-1, a=0
b-a=-3, b=-3
（3）解 当x=2时， =0
设 =
∴a-2=4, a=6
2b=18, b=9
∴ =
9、
10、
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第四单元
课标要求 内容要求：理解概念，了解因式分解的意义，理解因式分解与整式之间的互逆关系。掌握方法，能用提取公因式、公式法进行因式分解。会用因式分解的知识解决简单的实际问题或进行代数式的求值、证明。学生学习本单元后应达到：准确判断一个多项式的变形是否为因式分解，能根据整式乘法和因式分解的关系进行简单的计算和推理；能灵活的运用提取公因式和公式法对多项式进行分解；通过对整式乘法和因式分解互逆关系的探究，发展学生的逆向思维。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2、提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01因式分解102提取公因式（1）103提取公因式（2）104公式法（平方差公式）105公式法（完全平方式）105回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。完成填空题。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。并引出因式分解的意义。3、观察拼图，写出相应的代数式。理解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的互逆关系。4、观察9个算式，小组讨论得出分解因式注意点:①分解的对象必须是多项式，②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。完成例题2、3的学习，体会分解因式在解决实际问题中的作用。完成课堂作业。引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识。2、简便计算。3、两种方法表示面积。4、认识公因式，并总结找公因式的方法。5、初步感知提取公因式。6、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况，强调：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、完成情景题，并用数形结合解释因式分解的过程。3、自主学习例题2，用记号笔圈出公因式，4、小组探究符号变化规律；完成做一做，5、根据符号变化规律自学例题3.6、拼图，利用面积关系解释因式分解。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结公式法（平方差公式）了解平方差公式的几何背景，能用平方差公式进行因式分解。2、了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。3、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整。4、在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、分析平方差公式的特征，理解整式乘法和因式分解的互逆性。3、对照平方差公式尝试分解因式。4、讨论能用平方差公式分解因式的特点。5、自学例题1、2.完成思考与操作。6、完成课堂作业。7、引导学生进行课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结公式法（完全平方式）使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。回顾旧知，并完成两道因式分解。用字母表示完全平方公式，并熟悉记忆诀窍。3、分析完全平方公式的结构特点，4、判断多项式是否是完全平方，并交流合作总结判断方法。5、补上一项，使多项式成为完全平方式。6、自学例题1、2。7、小结因式分解的步骤。8、完成课堂作业。9、引导学生进行课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：情景导入环节四：探究新知环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：课堂总结回顾与思考理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系，掌握提取公因式和公式法分解因式的方法，选择恰当的方法进行因式分解。能从实际问题中发现关于因式分解的问题，并能运用因式分解解决现实生活中的实际问题。3、通过思考、合作交流、动手操作等数学探究过程，感受“整体思想”、“类比思想”和“转化思想”的数学思想方法。展示课前布置的思维导图。2、分6个模块进行知识梳理，学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、解题方法等。同时关注学生的课堂参与度及效果。3、解题后小组交流解题的注意点。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《因式分解》单元教学设计
活动一；复习旧知
活动二：问题引入
活动三：探究新知
任务一：因式分解
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：探究新知
因式分解
任务二：提取公因式（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：引入新课
活动四：探究新知
任务三：提取公因式（2）
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；课前检测
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务四：公式法（平方差公式）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；知识回顾
因式分解
活动二；课前检测
任务五：公式法（完全平方式）
活动三：引入新课
活动四：探究新知
活动五：典例精析
活动六：课堂作业
活动七：课堂总结
活动一；知识架构
活动二；知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
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北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计
4.1因式分解
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 因式分解 课时 1
课标要求 了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系；通过因式分解的学习，体验数学变形的简洁美，培养严谨的数学思维习惯。
教材分析 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
学情分析 学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难
核心素养目标 1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
教学重点 因式分解的意义，会判断什么是因式分解
教学难点 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.整式乘法有几种形式 (1)单项式乘以单项式：a·b= . (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=______________________2.乘法公式有哪些 (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________ (2)完全平方公式: (a±b)2=________________3.当 a =101, b = 99 时，= ；-ab= ； 。 学生回忆旧知。完成填空题 唤醒记忆，为新授奠基
二、引新 1、99–99能被100整除吗？ 99–99 =99（99-1） =99（99+1）（99-1） =99×100×98 ∴993–99能被100整除. 99–99还能被什么数整除？（还能被99、98整除）计算下列各式： 积的形式 和的形式【整式乘法】3、计算下面各题和的形式 积的形式【 ？ 】 通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。并引出因式分解的意义。 设计积的形式变形为和的形式、和的形式变形为积的形式，通过对比练习理解整式乘法与因式分解是互逆的关系。初步了解因式分解的含义。
三、探究 1、合作探究，活动领悟观察拼图过程，写出相应代数式，等号两边的代数式有什么不同得到：ma+mb+mc=m(a+b+c) 分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解）都是因式分解整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系 观察拼图，写出相应的代数式。理解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的互逆关系 通过观察拼图的面积抽象出因式分解的定义，体会数形结合思想在数学中的作用，
四、变式 例题1：观察下列各等式：从左边到右边的变形，属于整式乘法的是 ②，③，⑤ ；属于因式分解的是 ①，④，⑥，⑦ 。易错题：⑧左边不是多项式，⑨右边不是整式的积（分解不彻底）分解因式要注意什么:分解的对象必须是多项式.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式 例题2. 199-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除 199-199=199（199-1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198∴199-199能被200整除，还能被199、198整除。例题3.用简便方法计算： = 1、观察9个算式，小组讨论得出分解因式注意点:①分解的对象必须是多项式，②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。2、完成例题2、3的学习，体会分解因式在解决实际问题中的作用。 学生自主把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，引导学生分解对象和分解的结果，得到分解因式要注意什么:①分解的对象必须是多项式，②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。设计例题2、3使学生体会分解因式的作用。
五、尝试 基础达标：1. 把一个 多项式 化成几个整式的 乘积 的形式，这种变形叫做 因式分解 .2．因式分解与整式乘法的过程 互逆 .3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有　②，③，⑥ .①(x＋5)(x－5)＝x2－25　 ②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋ )　 ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)4.计算：765×17－235×17解: 765×17－235×17 =17(765－235) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530 =90100005. 2004+2004能被2005整除吗？解: ∵2004+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 2004+2004能被2005整除6.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( C ) A. (x＋5)(x－1)＝x＋4x－5 B. x－x－1＝(x＋x)(x－1) － 1 C. x－10xy＋25y＝(x－5y) D. ax－bx－x＝x(a－b) －x 7.把多项式x +ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a= -2 ，b= -3 .能力提升：8.小明在解答“分解因式：(1)3x－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：解：(1)3x－9x＋3＝3(x－6x＋1)；(2)4x－9＝(2x＋3)(2x－3)．请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．解：(1)∵3(x－6x＋1)＝3x－18x＋3，∴分解不正确；∵(2x＋3)(2x－3)＝4x－9，∴分解正确．拓展迁移9.有正方形甲图片1张、正方形乙图片3张和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．解：由图形面积得：a＋3b＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 4.1因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也称为分解因式。因式分解与整式乘法的联系：互逆的两种恒等变形3. 分解因式要注意以下几点: (1)分解的对象必须是多项式. (2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．在公式(a＋b)(a－b)＝a－b中，从左到右是　整式乘法 ，从右到左的变形中　分解因式 .2．对于下列两个自左向右的变形：甲： ，乙：其中说法正确的是（ B ）A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( C )A．6ab＝3ab·2ab B．2x＋8x－1＝2x(x＋4)－1C．a－3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a－1＝a(a－ )4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( D )A．(3－x)(3＋x)＝9－x B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C．4yz－2yz＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x＋8x－2＝－2(2x－1)5．11－11不能被下列哪个数整除？( A )A．13 B．12 C．11 D．106．计算： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 7.观察下列拼图过程，写出相应的关系式 能力提升：8、方法探究：已知二次多项式，我们把x=-3 代入多项式，发现 =0 ，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成 ，则有 ，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4，解得k=-7，因此多项式分解因得：得： ．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式 ，我们把x＝ 2 代入该式，会发现 成立；(2)对于三次多项式 ，我们把x＝1代入多项式，发现 ，由此可以推断多项式中有因式 x-1 ，设另一个因式为 ，多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；∴ a-1=-1, a=0 b-a=-3, b=-3(3)对于多项式 ，用“试根法”分解因式．解 当x=2时， =0 设 =∴a-2=4, a=6 2b=18, b=9∴ =拓展迁移：9.已知关于x的二次三项式 5x+mx-n 分解因式的结果是(5x-1)(x+2),试求m，n的值 EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 10.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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