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整式和因式分解 高频考点归纳 专项练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列等式，其中正确的个数是（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ）
小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为．
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
12．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知实数a，b，满足，，则的值为______．
14．已知，则的值等于_________．
15．若，则______．
16．因式分解：________．
17．因式分解：_______．
18．因式分解：______．
19．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____．
20．分解因式：_____．
21．分解因式：______．
22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______．
三、解答题
23．先化简．再求值：，其中．
24．先化简，再求值：，其中，.
25．已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
26．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C C D D B A D
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、和不是同类项，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了同类项，单项式乘法，同底数幂的除法，积的乘方运算等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：．和a不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方，逐一进行计算即可得出答案．
【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，积的乘方、单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键．
根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法、单项式乘多项式法则逐一判断即可．
【详解】A．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意；
B．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意；
C．，所以原式计算正确，故本选项符合题意；
D．，所以原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式法则是解决本题的关键．根据合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式解决此题．
【详解】解：A．根据合并同类项法则，与不是同类项，无法合并，那么A不符合题意．
B．根据单项式除以单项式法则，得，那么B不符合题意．
C．根据积的乘方，得，那么C符合题意．
D．根据完全平方公式，得，那么D不符合题意．
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方，多项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项计算即可．
【详解】A． ，故原说法不正确；
B． ，故原说法不正确；
C． ，故原说法不正确；
D． ，故正确；
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，运用相关知识计算各选项再进行判断即可．
【详解】解：A．，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B符合题意；
C.与 不是同类项，不能计算，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了乘法公式，幂的、积的乘方运算、积的乘方逆运算，同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则和计算公式是解题的关键．
①由幂的、积的乘方运算即可判断；②由积的乘方逆运算，同底数幂的乘法逆运算即可判断；③先处理符号，再由平方差公式即可判断；④由完全平方公式即可判断．
【详解】解：①，原写法错误，不符合题意；
②，正确，符合题意；
③，原写法错误，不符合题意；
④，原写法错误，不符合题意；
∴正确的有1个，
故选：A．
10．D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式逐一分析判断即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意，
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，平方差公式，熟记运算法则是解本题的关键．
11．C
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
，进行计算，即可求解．
【详解】解：设，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，
∴有最小值为，
故选：C．
12．D
【分析】此题考查了合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法等知识．根据合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法分别计算即可作出判断．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
13．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
14．2023
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案．
【详解】解∶∵，
∴
，
故答案为∶3．
16．
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
17．
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
19．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
20．
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
22．/0.75
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
23．；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
24．，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
25．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
26．(1)
(2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析
(3)280
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明；
（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．
【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，，
则由勾股数定义可知，
即，
，
解得或（舍去）；
故答案为：24．
（2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下：
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：
设，即直角三角形中最短边为，
仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花，
，
由题意可知，最小为，
那么 ，
那么这块绿地最少需要种植株花．
【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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