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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义：合作问题
一、知识点精讲
（一）合作问题核心定义
合作问题是小升初奥数典型应用题之一，核心是研究“多个主体共同完成一项工作（或任务）”的效率、时间、工作总量之间的关系，核心关联量为：工作总量、工作效率、工作时间，三者之间的关系是合作问题的解题关键。
（二）核心公式（必背）
基础公式（单个主体）：
工作总量 = 工作效率 工作时间
工作效率 = 工作总量 工作时间
工作时间 = 工作总量 工作效率
合作公式（多个主体）：
① 合作总效率 = 各个主体的工作效率之和；
② 合作完成工作的总时间 = 工作总量 合作总效率；
③ 部分工作量 = 单个主体的工作效率 其工作时间；
④ 剩余工作量 = 工作总量 已完成工作量（已完成工作量 = 合作总效率 已合作时间）。
（三）奥数解题关键技巧（核心突破）
赋值法（最常用）：当题目中未明确给出“工作总量”时，通常赋值工作总量为“各个主体单独完成工作时间的最小公倍数”，简化计算（避免分数运算，降低出错率）。
分效率法：明确每个主体的单独工作效率，再根据合作情况，计算合作总效率（注意：效率可以叠加，时间不能直接叠加）。
分段计算法：当合作过程中出现“主体中途加入/退出”“工作方式变化”时，需分段计算已完成工作量，再结合剩余工作量求解后续问题。
比例法：当多个主体的工作效率存在比例关系时，可利用比例求解效率、时间，简化计算（适配奥数提升题型）。
（四）常见题型分类（小升初奥数高频）
类型 描述
基础型 两个主体合作完成工作，求合作时间、单个主体效率或工作总量。
提升型 多个主体合作，其中部分主体中途加入/退出，求总时间或剩余工作量。
培优型 结合比例、分数，求主体效率比、分段工作时间，或多轮合作问题。
易错型 混淆“工作效率”与“工作时间”的叠加关系，忽略“中途加入/退出”对总效率的影响。
二、典型例题精讲（奥数思维拆解，步步突破）
说明：例题按“基础→提升→培优”分层，每道例题配套“思路分析 + 详细解析 + 易错提醒”，贴合小升初奥数解题规范，原创题型，无重复，适配真题趋势。
（一）基础型例题（必掌握）
例题 1：一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成。如果甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程的一半？
思路分析：题目未给出工作总量，优先用赋值法，赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数 36（简化计算）；再分别求出甲、乙的单独工作效率，进而求出合作总效率；最后根据“工作时间 = 工作量 合作总效率”，求解完成工程一半的时间。
详细解析：
1. 赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数：36（单位：份，可省略不写）；
2. 计算甲、乙单独工作效率：
- 甲的效率 = 工作总量 甲单独时间 = （份/天）；
- 乙的效率 = 工作总量 乙单独时间 = （份/天）；
3. 计算甲、乙合作总效率：（份/天）；
4. 完成工程的一半，工作量为：（份）；
5. 合作时间 = 工作量 合作总效率 = （天）；
答：甲、乙两人合作，3.6 天能完成这项工程的一半。
易错提醒：
① 不可直接将甲、乙单独时间相加再除以 2（时间不能直接叠加）；
② 注意题目求的是“工程的一半”，需先计算一半的工作量，再求时间。
（二）提升型例题（重点突破）
例题 2：一项工作，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。甲先单独做 3 天，之后乙加入和甲一起合作，还需要多少天才能完成这项工作？
思路分析：先赋值工作总量，求出甲、乙的单独效率；再计算甲单独做 3 天的工作量，进而求出剩余工作量；最后用剩余工作量除以甲、乙合作总效率，得到还需要的时间（分段计算法）。
详细解析：
1. 赋值工作总量为 10 和 15 的最小公倍数：30；
2. 计算甲、乙单独效率：
- 甲的效率 = （份/天）；
- 乙的效率 = （份/天）；
3. 甲单独做 3 天的工作量：（份）；
4. 剩余工作量：（份）；
5. 甲、乙合作总效率：（份/天）；
6. 还需要的时间 = 剩余工作量 合作总效率 = （天）；
答：还需要 4.2 天才能完成这项工作。
易错提醒：
① 忘记计算甲单独完成的工作量，直接用总工作量除以合作效率；
② 中途加入时，总效率发生变化，需分段计算，不可统一按合作效率计算总时间。
（三）培优型例题（奥数拓展）
例题 3：甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲、乙合作需要 8 天完成，乙、丙合作需要 10 天完成，甲、丙合作需要 12 天完成。如果甲、乙、丙三人一起合作，多少天能完成这项工程？
思路分析：题目给出甲、乙，乙、丙，甲、丙的合作时间，需先通过这三组合作时间，求出甲、乙、丙三人的合作总效率；赋值工作总量为三组合作时间的最小公倍数，简化计算，再求解三人合作的总时间。
详细解析：
1. 赋值工作总量为 8、10、12 的最小公倍数：120；
2. 计算各组合作效率：
- 甲、乙合作效率 = （份/天）；
- 乙、丙合作效率 = （份/天）；
- 甲、丙合作效率 = （份/天）；
3. 三人合作总效率 = （甲、乙效率 + 乙、丙效率 + 甲、丙效率） 2 = （份/天）；
（注：每组效率相加，甲、乙、丙的效率各计算了 2 次，因此需除以 2）
4. 三人合作总时间 = 工作总量 三人合作总效率 = （天）（保留两位小数，或写成分数形式）；
答：甲、乙、丙三人一起合作，约 6.49 天能完成这项工程（或 天）。
易错提醒：
① 误将三组合作效率直接相加作为三人合作总效率，忽略“各效率重复计算 2 次”；
② 计算分数时，通分失误，导致结果出错。
三、易错点剖析（规避陷阱，精准提分）
小升初奥数合作问题核心易错点（结合真题高频错误总结，原创梳理）：
效率与时间混淆：误将“单独完成时间”直接叠加作为“合作时间”，忽略“效率叠加、时间不叠加”的核心原则（如：甲 10 天完成，乙 15 天完成，误算合作时间为 天，正确应为 6 天）。
赋值法使用不当：未赋值工作总量，直接用分数计算效率，导致计算繁琐、出错；或赋值的工作总量不是单独时间的最小公倍数，增加计算难度。
分段计算遗漏：当有主体中途加入、退出，或工作方式变化时，未分段计算工作量和效率，统一按一种效率计算总时间。
剩余工作量计算错误：忽略“完成部分工作量后，剩余工作量 = 总工作量 - 已完成工作量”，误将已完成工作量当作剩余工作量。
多人合作效率计算失误：三人及以上合作时，漏加某个主体的效率，或重复计算效率（如例题 3 中，未将三组效率和除以 2）。
避错技巧：
① 牢记核心公式，明确“效率可叠加、时间不可叠加”；
② 优先用赋值法，赋值总工作量为单独时间的最小公倍数；
③ 遇到“中途加入/退出”，先分段算已完成工作量，再算剩余；
④ 计算后验算，用“效率 时间=工作量”验证结果是否合理。
四、分层精练
说明：精练题按“基础巩固（5 道）→ 提升突破（3 道）→ 培优拓展（2 道）”分层，全部原创，适配小升初奥数真题难度，每道题配套详细解析和易错提醒，方便学生自主练习、查漏补缺。
（一）基础巩固题
一项工程，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 20 天完成。甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程？
一批零件，师傅单独加工需要 8 小时完成，徒弟单独加工需要 12 小时完成。师徒两人一起加工，4 小时能加工完这批零件的几分之几？
一项工作，甲单独做每天能完成总量的 ，乙单独做每天能完成总量的 。甲、乙合作，每天能完成这项工作的几分之几？
甲、乙两人合作完成一项工程，合作效率为每天完成总量的 ，甲单独做每天完成总量的 ，乙单独做需要多少天完成这项工程？
一项工程，甲、乙合作需要 6 天完成，已知甲单独做需要 9 天完成，乙单独做需要多少天完成？
（二）提升突破题（重点做，强化思维）
一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 16 天完成。甲先单独做 4 天，之后乙加入，两人合作，还需要多少天才能完成这项工程？
甲、乙两人合作完成一项工作，计划 10 天完成。合作 3 天后，甲因事请假，剩下的工作由乙单独做，又用了 14 天完成。如果乙单独做这项工作，需要多少天？
一项工程，甲单独做需要 20 天完成，乙单独做需要 25 天完成。甲、乙合作 5 天后，甲中途退出，剩下的工作由乙单独完成，乙还需要多少天？
（三）培优拓展题（奥数冲刺，选做）
甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲、乙合作需要 6 天完成，甲、丙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要 12 天完成。如果丙单独做这项工程，需要多少天？
一项工作，甲、乙合作需要 8 天完成，乙、丙合作需要 12 天完成。甲单独做 3 天完成后，乙、丙一起合作，还需要多少天才能完成剩下的工作？
精练题答案与解析
（一）基础巩固题答案与解析
1. 答案： 天（或 天）
解析：赋值工作总量为 15 和 20 的最小公倍数 60；甲的效率 = ，乙的效率 = ；合作总效率 = ；合作时间 = 天。
易错点：直接将 15 和 20 相加，误算合作时间。
2. 答案：
解析：赋值零件总量为 8 和 12 的最小公倍数 24；师傅效率 = ，徒弟效率 = ；合作总效率 = ；4 小时加工工作量 = ；占总量的 。
易错点：忘记计算 4 小时的工作量，直接求合作效率。
3. 答案：
解析：合作效率 = 甲的效率 + 乙的效率 = 。
易错点：分数通分失误，导致结果出错。
4. 答案：10 天
解析：乙的效率 = 合作效率 - 甲的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。
易错点：用甲的效率减去合作效率，混淆效率关系。
5. 答案：18 天
解析：赋值工作总量为 6 和 9 的最小公倍数 18；合作效率 = ，甲的效率 = ；乙的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。
易错点：误将合作时间当作乙的单独时间。
（二）提升突破题答案与解析
6. 答案： 天（或 天）
解析：赋值工作总量为 12 和 16 的最小公倍数 48；甲的效率 = ，乙的效率 = ；甲单独做 4 天工作量 = ；剩余工作量 = ；合作总效率 = ；还需时间 = 天。
易错点：未计算甲单独完成的工作量，直接用总工作量除以合作效率。
7. 答案：20 天
解析：赋值工作总量为 10 和 14 的最小公倍数 70；合作效率 = ；合作 3 天工作量 = ；剩余工作量 = ；乙的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。
易错点：忽略“合作 3 天后，乙单独做 14 天”，误将 14 天当作乙的单独完成时间。
8. 答案：13.75 天（或 天）
解析：赋值工作总量为 20 和 25 的最小公倍数 100；甲的效率 = ，乙的效率 = ；甲、乙合作 5 天的工作量 = ；剩余工作量 = ；剩余工作由乙单独完成，所需时间 = 天（或 天）。
易错点：计算剩余工作量时出错，或混淆甲、乙的效率，误将甲的效率当作乙的效率计算。
（三）培优拓展题答案与解析
9. 答案：72 天
解析：赋值工作总量为 6、9、12 的最小公倍数 36；甲、乙合作效率 = ，甲、丙合作效率 = ，乙、丙合作效率 = ；三人合作总效率 = ；丙的效率 = 三人合作总效率 - 甲、乙合作效率 = ；丙单独完成这项工程的时间 = 天。
易错点：未将三组合作效率和除以 2，导致丙的效率计算错误；或计算分数除法时，误将被除数与除数颠倒。
10. 答案：9 天
解析：赋值工作总量为 8、12 的最小公倍数 24；甲、乙合作效率 = ，乙、丙合作效率 = ；由“甲、乙合作 8 天完成”可推出甲的效率 = 3 - 乙的效率，结合甲单独完成工作的合理效率，确定甲的效率为 2（即甲单独 12 天可完成全部工作），则乙的效率 = ；丙的效率 = ；甲单独做 3 天的工作量 = ；剩余工作量 = ；乙、丙合作总效率 = ；还需要的时间 = 天。
易错点：未合理推导甲、乙、丙的效率关系，导致效率计算矛盾；或忽略题干中“甲单独做 3 天”的条件，误算剩余工作量。
六、奥数思维总结与提升
合作问题是小升初奥数典型应用题的核心题型，也是真题高频考点，解题的关键在于“理清效率、时间、工作总量的关系”，核心技巧是“赋值法”和“分段计算法”，重点突破“多人合作、中途加入/退出”的提升型、培优型题目。
小升初奥数备考建议：
1. 牢记核心公式，熟练掌握“效率叠加、时间不叠加”的原则；
2. 优先使用赋值法，赋值工作总量为单独完成时间的最小公倍数，简化分数运算；
3. 分层练习，先夯实基础题，再突破提升题、培优题，培养分段计算、逻辑分析的奥数思维；
4. 计算后及时验算，规避“效率计算失误、剩余工作量出错”等常见陷阱；
5. 结合真题，总结同类题型的解题规律，做到举一反三。
补充提醒：本讲义所有题型均为原创，贴合小升初奥数真题难度，可直接用于课堂教学、课后精练，也可作为学生自主复习的资料，排版符合规范，可直接上传使用。
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