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对数与指数
导数在高考中占据了及其重要的地位, 导数是研究函数的一个重要的工具, 在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数. 而这类问题都有一条经验性规则:对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手.
考点一 对数单身狗
【方法总结】
在证明或处理含对数函数的不等式时,如 为可导函数,则有 ,若 为非常数函数,求导式子中含有 ,这类问题需要多次求导,烦琐复杂. 通常要将对数型的函数“独立分离”出来, 这样再对新函数求导时, 就不含对数了, 只需一次就可以求出它的极值点, 从而避免了多次求导. 这种相当于让对数函数 “孤军奋战” 的变形过程，我们形象的称之为 “对数单身狗”。
1. 设 ,则 ,不含超越函数,求解过程简单. 者 ,即将前面部分提出,就留下 这个单身狗,然后研究剩余部分.
2. 设 ,则 ,不含超越函数,求解过程简单. 或者 ,即将前面部分提出,就留下 这个单身狗. 然后研究剩余部分.
【例题选讲】
[例 1 ] 已知函数 .
(1) 当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)若当 时, ,求 的取值范围.
[例 2]已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)证明: 当 ,且 时, .
【对点精练】
1. 若不等式 对所 有都成立,求实数 的取值范围.
2. 已知函数 ,且 .
(1) 求 :
(2)证明: 存在唯一的极大值点 ，且 .
3.已知函数 .
(1)若 ，证明:当 时， ；当 时， ；
(2)若 是 的极大值点，求 .
考点二 指数找基友
【方法总结】
在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数, 这样再对新函数求导时, 只需一次就可以求出它的极值点, 从而避免了多次求导. 这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程, 我们形象的称之为“指数找基友”.
1. 由 ，则 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
2. 由 ,则 是一个多项式函数,变形后可大大简化运算.
【例题选讲】
[例 3] 已知函数 .
(1)若 ，证明:当 时， ；
(2)若 在 只有一个零点，求 .
[例 4] 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时, ,求 的取值范围.
【对点精练】
1. 已知函数 ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
2. 已知函数 .
( 1 )讨论 的最值；
(2)若 ，求证: .
3. 已知函数 .
(1)求证:存在唯一实数 ，使得直线 和曲线 相切；
(2)若不等式 有且只有两个整数解，求 的取值范围.
考点三 指对在一起，常常要分手
【方法总结】
设 为可导函数，则有 ,若 为非常数函数，求导式子中还是含有 , ，针对此类型，可以采用作商的方法，构造 ，从而达到简化证明和求极值、最值的目的, e*Inx 腻在一起, 常常会分手.
【例题选讲】
[例 5]设函数 ，曲线 在点 处的切线为 .
(1) 求 :
(2)证明: .
[例 6]已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明: 时， .
【对点精练】
1. 设函数 ,求证: 当 时,不等式 .
2. 已知 ,其中常数 .
(1) 当 时,求函数 的极值;
(2) 求证: .
3. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明: 时, .对数单身狗、指数找基友
导数在高考中占据了及其重要的地位, 导数是研究函数的一个重要的工具, 在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数. 而这类问题都有一条经验性规则:对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手.
考点一 对数单身狗
【方法总结】
在证明或处理含对数函数的不等式时,如 为可导函数,则有 ,若 为非常数函数,求导式子中含有 ,这类问题需要多次求导,烦琐复杂. 通常要将对数型的函数“独立分离”出来, 这样再对新函数求导时, 就不含对数了, 只需一次就可以求出它的极值点, 从而避免了多次求导. 这种相当于让对数函数 “孤军奋战” 的变形过程，我们形象的称之为 “对数单身狗”。
1. 设 ,则 ,不含超越函数,求解过程简单. 者 ,即将前面部分提出,就留下 这个单身狗,然后研究剩余部分.
2. 设 ,则 ,不含超越函数,求解过程简单. 或者 ,即将前面部分提出,就留下 这个单身狗. 然后研究剩余部分.
【例题选讲】
[例 1 ] 已知函数 .
(1) 当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)若当 时, ,求 的取值范围.
解析 的定义域为 . 当 时, ,
. 故曲线 在 处的切线方程为 .
(2) 当 时, 等价于 .
设 ,则 .
① 当 时， ，
故 在 上单调递增,因此 ;
② 当 时,令 得 .
由 和 得 . 故当 时, 在 上单调递减,
因此 .
综上, 的取值范围是 .
[例 2]已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)证明: 当 ,且 时, .
解析 (1) . 由于直线 的斜率为 ,且过点 , 故 即 解得
(2) 由 (1) 知 ，所以 .
考虑函数 ,则 .
所以当 时, . 而 ,故当 时, ,可得 ;
当 时, ,可得 . 从而当 ,且 时, ,即 .
【对点精练】
1. 若不等式 对所 有都成立,求实数 的取值范围.
2. 已知函数 ,且 .
(1) 求 :
(2)证明: 存在唯一的极大值点 ，且 .
3.已知函数 .
(1)若 ，证明:当 时， ；当 时， ；
(2)若 是 的极大值点，求 .
考点二 指数找基友
【方法总结】
在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数, 这样再对新函数求导时, 只需一次就可以求出它的极值点, 从而避免了多次求导. 这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程, 我们形象的称之为“指数找基友”.
1. 由 ，则 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
2. 由 ,则 是一个多项式函数,变形后可大大简化运算.
【例题选讲】
[例 3] 已知函数 .
(1)若 ，证明:当 时， ；
(2)若 在 只有一个零点，求 .
解析 (1)当 时. 等价于 .
设函数 ,则 .
当 时, ,所以 在 上单调递减. 而 ,故当 时, ,即 .
另解 当 时, ,则 .
令 ,则 . 令 ,解得 .
当 时, ; 当 时, .
当 时, ,
在 上单调递增, .
(2)设函数 . 在 上只有一个零点等价于 在 上只有一个零点。
(i) 当 时, 没有零点;
(ii) 当 时, .
当 时, : 当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
故 是 在 上的最小值.
① 当 ，即 时， 在 上没有零点.
② 当 ，即 时， 在 上只有一个零点。
③ 当 ，即 时，因为 ，所以 在 上有一个零点。
由 (1) 知,当 时. ,所以 ,
故 在 上有一个零点。因此 在 上有两个零点。
综上,当 在 上只有一个零点时, .
另解 (参变分离) 若 在 上只有一个零点,即方程 在 上只有一个解,
由 ,令 ,令 . 解得 .
当 时, ; 当 时, .
.
[例 4] 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时, ,求 的取值范围.
解析 (1)当 时, ,
由于 ,故 单调递增,注意到 , 故当 时, 单调递减,当 时, 单调递增.
(2) 等价于 .
设函数 ，则
.
(i) 若 ，即 ，则当 时， .
所以 在 (0,2) 单调递增,而 ,故当 时, ,不合题意.
(ii) 若 ，即 ，则当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递减,在 单调递增.
由于 ，所以 当且仅当 ，即 . 所以当 时， .
(iii) 若 ，即 ，则 .
由于 ,故由 (ii) 可得 . 故当时 .
综上, 的取值范围是 .
另解(参变分离) 由 ,得 ,其中 ,
① 当 时，不等式为 ，显然成立，符合题意；
② 当 时，分离参数 得 .
记 .
令 ,则 ,
故 单调递增, ,故函数 单调递增, ,
由 可得 恒成立,
故当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,
因此, ,综上可得,实数 的取值范围是 .
【对点精练】
1. 已知函数 ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
2. 已知函数 .
( 1 )讨论 的最值；
(2)若 ，求证: .
3. 已知函数 .
(1)求证:存在唯一实数 ，使得直线 和曲线 相切；
(2)若不等式 有且只有两个整数解，求 的取值范围.
考点三 指对在一起，常常要分手
【方法总结】
设 为可导函数，则有 ,若 为非常数函数，求导式子中还是含有 , ，针对此类型，可以采用作商的方法，构造 ，从而达到简化证明和求极值、最值的目的, e*Inx 腻在一起, 常常会分手.
【例题选讲】
[例 5]设函数 ，曲线 在点 处的切线为 .
(1) 求 :
(2)证明: .
解析 (1) ,由于直线 的斜率为 ,图象过点 ,所以 即
(2)由(1)知 ，从而 等价于 .
构造函数 ,则 ,
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
构造函数 ,则 .
所以当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递增,在 上单调递减,从而 在 上的最大值为 . 综上,当 时, ,即 .
[例 6]已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明: 时， .
解析 .
当 时, ,函数 在 上单调递减.
当 时,由 ,得 ,由 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2) 时，要证 .
即要证 .
令 ,
当 时, ,此时函数 单调递减;
当 时, ,此时函数 单调递增.
可得当 时,函数 取得最小值 .
令 ,
当 时， ，此时 为增函数，当 时， ，此时 为减函数，
所以 时,函数 取得最大值 .
与 不同时取得,因此 ,即 . 故原不等式成立.
【对点精练】
1. 设函数 ,求证: 当 时,不等式 .
2. 已知 ,其中常数 .
(1) 当 时,求函数 的极值;
(2) 求证: .
3. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明: 时, .

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