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5.2.2　等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系 数学抽象、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第一课时　等差数列的前n项和公式
　　
　　某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示.
【问题】　（1）原来有多少根钢管？
（2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
公式形式 Sn＝　　　 Sn＝　　　　　
【想一想】
1.等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？
2.等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？
1.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（　　）
A.n　　　　　　　　 B.n（n＋1）
C.n（n－1） D.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝（　　）
A.16 B.24
C.36 D.48
3.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　　　　.
题型一 等差数列前n项和的有关计算
【例1】　在等差数列{an}中，
（1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1；
（2）已知a2＋a4＝，求S5.
尝试解答
通性通法
等差数列前n项和的有关计算
（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想；
（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用.
【跟踪训练】
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{an}的公差为　　　　.
2.已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝　　　　.
题型二 等差数列前n项和公式的简单应用
【例2】　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n，
（1）求a1及an；
（2）判断这个数列是否是等差数列.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件）若将本例中“Sn＝n2－17n”变为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断{an}是否为等差数列.
通性通法
　　已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），当C＝0时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列.
【跟踪训练】
　已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，且a1＝1.求证：数列{an}为等差数列.
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时构筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
尝试解答
通性通法
1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，具体解决要注意以下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求n.
【跟踪训练】
　《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（　　）
A.尺　　B.尺　　C.尺　　D.尺
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）
A.5 B.7
C.9 D.11
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）
A.－12 B.－10
C.10 D.12
3.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则这9圈的石板总数是　　　　.
4.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则
（1）数列{an}的通项公式an＝　　　　；
（2）k＝　　　　时，数列{an}的前k项和Sk＝－35.
5.在等差数列{an}中，
（1）已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
（2）已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
提示：完成课后作业　第五章　5.2　5.2.2　第一课时
1 / 3第二课时　等差数列前n项和的性质及应用
题型一 等差数列的前n项和性质的应用
【例1】　（1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为（　　）
A.130　　　　　　　 B.170
C.210 D.260
（2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝　　　　.
尝试解答
通性通法
等差数列的前n项和常用的性质
（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
（2）数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） 数列为等差数列；
（3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝；
（4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
【跟踪训练】
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（　　）
A.18 B.17
C.16 D.15
2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是　　　　.
题型二 等差数列的前n项和最值问题
【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，试求的前n项和Tn.
2.（变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值.
通性通法
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
（1）将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
（2）邻项变号法：
当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值；
当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值.
【跟踪训练】
　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
题型三 求数列{｜an｜}的前n项和
【例3】　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋2）2.
（1）求d，an；
（2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜.
尝试解答
通性通法
求数列{｜an｜}前n项和的方法
　　给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0（an＜0）.
一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有：
（1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝
（2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝
【跟踪训练】
　 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n项和.
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝（　　）
A.36　 　B.18　 　C.72　 　D.9
2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（　　）
A.12 B.16 C.9 D.16或9
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当Sn取得最小值时，n的值是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（　　）
A.d＜0
B.S11＞0
C.S12＜0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
5.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　　，项数是　　　　.
提示：完成课后作业　第五章　5.2　5.2.2　第二课时
1 / 3学习讲义部分
第五章　数 列
5.1　数列基础
5.1.1　数列的概念
【基础知识·重落实】h
知识点一
1.一定次序　数　第一位置上　个数　{an}　2.项数有限　项数无限
想一想
1.提示：不是.
2.提示：可以构成数列，且是无穷数列.
自我诊断
1.D　A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个集合；D是正确的.
2.2　解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为＝2.
知识点二
1.正整数　n　2.n
想一想
1.提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.
2.提示：an＝k.
3.提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝或an＝cos（n－1）π.
自我诊断
1.20　解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，
所以a2·a3＝20.
2.5　解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3（舍去）.
知识点三
想一想
1.提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法.
2.提示：其图象是一些离散的点.
自我诊断
1.C　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列.
2.②④　①③　②　④　③
【典型例题·精研析】
【例1】　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　
解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.
跟踪训练
①　②③　①　②　③　解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列.
【例2】　（1）an＝　解析：数列可写为，，，，…，分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，因此它的一个通项公式为an＝.
（2）解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
因此数列的一个通项公式为an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）.
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，
而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示.
因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝
跟踪训练
1.C　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的.故通项公式为an＝.
2.C　由图知前四项分别为1，3，6，10，…逐项验证可知C正确.故选C.
【例3】　解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64，
a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
因为 N＋，－2 N＋，所以68不是该数列的项.
母题探究
1.解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
2.解：假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.所以253是这个数列的第121项.
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项.
跟踪训练
解：（1）an＝12n＋13，bn＝n2.
（2）令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去），
所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项.
【例4】　（1）C　由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；当n＞10时，a＞1.且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.综上可得a的取值范围为（2，3）.
（2）解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝＜＜＝1，所以0＜an＜1.
②因为an＋1－an＝－
＝＝.
又因为n∈N＋，且n≥1，
所以n＋≥，≥，－≤－.
故－＋≤－＋＝－1＜0，
所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列.
跟踪训练
1.D　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3.
2.解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的.
拓视野　数列单调性的判断及应用
迁移应用
　解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列.
法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则＝＝·＞1.
又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
（注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小）
法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列.
随堂检测
1.A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误.故选A.
2.B　由题意令an＝n2－n＝2，可得n＝2为正整数，即2是{an}的项；同理令an＝n2－n＝40，可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令an＝n2－n＝56，可得n＝8为正整数，即56是{an}的项；令an＝n2－n＝90，可得n＝10是正整数，即90是{an}的项.
3.B　对于A，当通项公式为an＝时，a1＝≠，不符合题意，故选项A错误；对于B，由数列的通项公式以及n∈N＋可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；对于D，数列，，…，是递减数列，故选项D错误.故选B.
4.A　由条件得－an＝3＞0，可知＞an，所以数列{an}是递增数列.
5.B　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
5.1.2　数列中的递推
【基础知识·重落实】
知识点一
一个公式
自我诊断
1.B　B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
2.D　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
3.D　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D.
4.　解析：由a1＝1，an＝1＋，得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
知识点二
1.a1＋a2＋a3＋…＋an　2.（1）n＝1　（2）n≥2且n∈N＋
自我诊断
4n－1　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1）＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，∴an＝4n－1（n∈N＋）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：由－anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
跟踪训练
　解：由题意得，a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，∴a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2.
【例2】　解：∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…，an－an－1＝，
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∵a1＝－1，∴an＋1＝1－，∴an＝－（n≥2）.
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－.
【例3】　解：∵a1＝1，an＝an－1（n≥2），∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.
跟踪训练
1.an＝4n＋2　解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4（n－1）＝4n＋2.
2.解：因为an＝an－1（n≥2），
所以当n≥2时，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，又a1＝，所以an＝.
当n＝1时，a1＝＝，与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
【例4】　解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，由于a1也适合此式，所以an＝4n－5.
（2）当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此式.
当b≠－1时，a1不适合此式.
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
母题探究
　解：因为a4＝S4－S3＝－＝（81－27）＝27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×3n－1.
而2×31－1＝2＝a1，
故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
跟踪训练
解：（1）a5＋a6＝S6－S4＝（－6）－（－4）＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－1）n＋1·n－（－1）n·（n－1）
＝（－1）n＋1·[n＋（n－1）]＝（－1）n＋1·（2n－1），
又因为a1也适合此式，所以an＝（－1）n＋1·（2n－1）.
（2）因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－1）＋1]＝2·3n－1＋2，
由于a1不适合此式，所以an＝
【例5】　解：法一　an＋1－an＝（n＋2）－（n＋1）＝，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
法二　根据题意，令（n＞1），
即（n＞1），
解得9≤n≤10.
又n∈N＋，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×.
跟踪训练
89　解析：an＝＝1＋.由于44＜＜45，则当n≤44时，an＝1－＜1且数列{an}递减；当n≥45时，an＝1＋＞1且数列{an}递减.所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89.
随堂检测
1.B　由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推，a4＝.
2.C　由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
3.D　由a5＝0倒推可求得a4＝－1，再求a3＝－，a2＝－，从而可得a1＝－.
4.　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
5.　解析：由（n＋1）－n＋anan＋1＝[（n＋1）an＋1－nan]·（an＋1＋an）＝0，可得＝，将＝，＝，…，＝，叠乘可得an＝.
5.2　等差数列
5.2.1　等差数列
第一课时　等差数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个　d
想一想
1.提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2.提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d.
自我诊断
ABC　A中数列的公差为－2，是等差数列；B中数列的公差为1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，2－1＝1，2－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列.
知识点二
an－an－1　a1＋（n－1）d
想一想
1.提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.
2.提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列.
3.提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.
自我诊断
1.C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n.
2.C　由已知得解得d＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.
∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.
故数列{an}是等差数列.
（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.
（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.
跟踪训练
证明：法一　由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
法二　在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
【例2】　解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.
（2）设等差数列的首项为a1，公差为d，
由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋（15－1）d＝＋14×＝－.
母题探究
　解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28，
解得d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.
跟踪训练
解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.
【例3】　解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4，3，2.
（2）法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d），依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二　若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d），
依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8，
把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
跟踪训练
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）.
由题设知
解得或
故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
随堂检测
1.ABD　根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；
B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是等差数列.故选A、B、D.
2.B　因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3.6n－14　解析：法一　设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
法二　设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14.
4.675　解析：令1＋3（n－1）＝2 023，解得n＝675.
5.n2　解析：由点在直线x－y＋1＝0上，得－＋1＝0，即－＝1，∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2.
第二课时　等差数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
A　
想一想
1.提示：任何两个实数都有等差中项.
2.提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.
自我诊断
1.771　解析：＝771.
2.1　解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1.
知识点二
2.（1）ap＋aq　①2as　（2）①d　②cd　③2d　（3）pd1＋qd2
想一想
提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.
（2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.
（3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立.
（4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
自我诊断
1.B　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.
2.C　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
3.30　解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　∵角B是A与C的等差中项，
∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π，
∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝.
（2）证明：∵是与的等差中项，
∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）.
∵＋＝＝
＝＝＝，
∴是与的等差中项，
∴，，成等差数列.
跟踪训练
1.B　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
2.证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2，
所以b2是a2与c2的等差中项.
【例2】　（1）B　（2）C　解析：（1）∵数列{an}为等差数列，
∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3.
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.
（2）设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
母题探究
1.解：由等差数列的性质知，
a1＋a5＝2a3，∴a3＝＝＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝5a3＝15.
2.解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列，
且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴公差d＝c2－c1＝0，
∴cn＝c1＋（n－1）d＝100.
跟踪训练
1.B　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.
法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.
2.180　解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
【例3】　解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练
D　设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
随堂检测
1.AD　∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝＝4，∴a2与a8的等差中项为4.
2.B　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3.C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
4.－11　解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
5.解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n.
5.2.2　等差数列的前n项和
第一课时　等差数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
　na1＋d
想一想
1.提示：2倍关系.由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系.
2.提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系.
自我诊断
1.D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝＝＝，故选D.
2.D　设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋d＝20，
即4×＋d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
3.27　解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）法一　∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
法二　∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3（a1＋10）＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.
（2）法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5×＝24.
法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
跟踪训练
1.1　解析：由a3＝3，S6＝21，得解得
2.12　解析：Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.
【例2】　解：（1）因为Sn＝n2－17n，
所以当n＝1时，
a1＝S1＝12－17×1＝－16，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18.
验证当n＝1时a1＝－16，上式成立，
所以an＝2n－18.
（2）由an＝2n－18，
得an－1＝2（n－1）－18（n≥2），
所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2，
所以数列{an}是等差数列.
母题探究
　解：（1）∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，
Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）＝－4n＋3.
又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
（2）由（1）知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列.
跟踪训练
　证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5.
当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1.
法一　由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得＝，
因为＝＝1，所以数列是常数列，
所以＝＝1，所以an＝2n－1.
因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
法二　由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，
得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2，
两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2，
所以数列{an}为等差数列.
【例3】　解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
跟踪训练
C　设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋（5＋29x）＝390，即＝390，解得x＝.故选C.
随堂检测
1.A　由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1，∴S5＝＝＝5.
2.B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.
3.405　解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝（9＋81）＝405.
4.（1）3－2n　（2）7　解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.
（2）由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，故k＝7为所求.
5.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
（1）法一　由已知得解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二　由已知得
∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210.
（2）∵S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510，∴n＝20.
第二课时　等差数列前n项和的性质及应用
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）　解析：（1）根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210.
（2）由等差数列的性质知，＝＝＝＝＝.
跟踪训练
1.A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
2.5　解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.
【例2】　解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2.
法一（公式法）　Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0，
由
得即12≤n≤13.
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169.
母题探究
1.解：由本例知Sn＝－n2＋26n，
令bn＝＝－n＋26，
∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，
∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n.
2.解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，
所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2.
当Sn取得最大值时，满足
即19≤n≤20.
因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.
跟踪训练
A　设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
【例3】　解：（1）因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，
所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.
故an＝－n＋11或an＝4n＋6.
（2）因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11.
设数列{an}的前n项和为Sn，
当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋n；
当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
跟踪训练
解：设等差数列{an}的公差为d，则
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63.
又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数.
设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和.
当0＜n≤20时，
Sn'＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n＞20时，
Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20
＝－60n＋－2×
＝n2－n＋1 260.
所以数列{｜an｜}的前n项和为
Sn'＝
随堂检测
1.A　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36.
2.C　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9.
3.A　∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6.
4.AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
5.11　7　解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.
5.3　等比数列
5.3.1　等比数列
第一课时　等比数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个常数q　q　q
想一想
1.提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.
2.提示：不能.
3.提示：不一定，如0，0，0，….
自我诊断
0　解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列.
知识点二
a1qn－1
想一想
提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数.
自我诊断
1.C　由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
2.－729　解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，∵a4＝a1q3＝－27a1＝27，∴a1＝－1，∴a7＝a1q6＝－1×（－3）6＝－729.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
跟踪训练
1.证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ①
＝， ②
＝＋. ③
由③得＝，所以a4＝. ④
由①得a2＝. ⑤
将④⑤代入②，得＝·.
所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）.
化简得＝a1·a5，
因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列.
2.证明：依题意an＝2＋（n－1）×（－1）＝3－n，
于是bn＝.
而＝＝＝2，
又因为b1＝＝.
所以数列{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
【例2】　解：设等比数列的首项为a1，公比为q.
（1）法一　因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝.
（2）法一　因为
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
母题探究
1.解：由本例（1）知an＝.令an＝128，
得＝7，即n＝13.
故128是该数列中的第13项.
2.解：因为an＝a1qn－1，所以×＝，
即＝，解得n＝5.
跟踪训练
1.B　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48.
2.D　由题意可得
＝＝＝
＝＝4.
【例3】　（1）45　解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
即
整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
（2）解：设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9，6，4，2.
跟踪训练
B　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12.
拓视野　等比数列的单调性
迁移应用
1.A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列.
2.C　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1.
3.D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列.
随堂检测
1.A　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）.
2.D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3.A　原式＝＝＝.
4.A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
5.28－n　解析：由已知得得∵an＞0，
∴∴an＝128×＝28－n.
第二课时　等比数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
等比　±
想一想
1.提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
2.提示：不是.若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立.
自我诊断
1.BC　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
2.－4　解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知（2x＋2）2＝x（3x＋3），解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾，所以x＝－4.
知识点二
apaq　apaq　
想一想
提示：相等.因为1＋n＝2＋（n－1）＝3＋（n－2）＝…，所以a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
自我诊断
1.A　∵3＋5＝1＋7，∴a1a7＝a3a5＝4.
2.32　解析：a1a2a3a4a5＝＝25＝32.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，∴a4与a8的等比中项为±4，又∵a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4与a8的等比中项为a6＝4.
（2）证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2），
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
跟踪训练
1.C　依题意知，2a＝1＋2，b2＝（－1）×（－16），∴a＝，b＝±4，∴ab＝±6.
2.4×　解析：由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，所以an＝4×.
【例2】　（1）A　（2）256　解析：（1）设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝（a1an＋2＝（100＝10n.
（2）因为a1a2a3…a10＝（a3a8）5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29，因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.
母题探究
1.解：∵a1a2…a10＝（a2a9）5＝265，
∴a2a9＝213＝8 192.又∵a1a5＝＝162＝256.
∴a1a5＋a2a9＝256＋8 192＝8 448.
2.解：∵a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝＝9，∴a1a2…a8a9＝94×3＝19 683.
跟踪训练
1.D　因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立解得或故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
2.n2　解析：设数列{an}的公比为q，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝log2（q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[qn（n－1）]＝log2[（a1qn－1）n]＝log2[（2n）n]＝n2.
【例3】　解：设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列，∴an＝a（1＋m%）n－1，
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋m%）19（万元）.
跟踪训练
C　由题意知，该家庭2026年1月1日本金加收益和为10·（1＋5%）＝10×1.05，2027年1月1日本金加收益和为10×1.052，2028年1月1日本金加收益和为10×1.053，…，2035年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63＝16.3.所以到2035年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.
随堂检测
1.C　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝（2＋）×（2－）＝1，∴G＝±1.
2.C　因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列.
3.C　由等比数列的性质可知，a5·a8＝a6·a7＝－8，又因为a5＋a8＝2，所以a5＝4，a8＝－2，或a5＝－2，a8＝4，所以q3＝＝－2或－.
4.9　解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9，所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
5.解：（1）∵a1a2a3＝＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
（2）∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
5.3.2　等比数列的前n项和
第一课时　等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1　　na1　
想一想
1.提示：公比q≠1.
2.提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
3.提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－qn（q≠0且q≠1），
若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
自我诊断
1.A　由S5＝＝44，得a1＝4.
2.C　＝×＝＝.
3.±1　解析：由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6（a1＋a2＋a3），则q6＝1，q＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
（2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝.
法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.
代入＝，得a1＝.
母题探究
1.解：由本例（2）知a1＝，q＝2，
所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
2.解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝.
跟踪训练
解：法一　由题意，得
化简得
①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.
当q＝2时，代入①得a1＝1，∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得a1＝－1.∴S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
法二　由等比数列的性质得a3·a5＝＝64，∴a4＝±8.
当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝＝4，∴q＝±2.
当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16.
∴q2＝＝－2，无解.故q＝±2.
当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255.
当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝.
综上知S8＝255或S8＝.
【例2】　63　解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由可得所以S3n＝＝·[1－（qn）3]＝64×＝63.
法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.
跟踪训练
1.B　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
法二　由＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝.
2.解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×.
【例3】　解：（1）每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝，
∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458（辆），
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
（2）设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×，
由Sn＞（10 000＋Sn）×，即Sn＞5 000，n∈N＋，解得n＞7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
2n－＋1　解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.
随堂检测
1.C　由题意知解得∴ a3＝a1q2＝4.故选C.
2.B　根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.
3.A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
4.C　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.
5.解：（1）由题意知解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
（2）∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
∴＝189.∴q＝2.
∴an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6.
第二课时　数列求和
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N＋.
（2）因为an＋1＝
所以k∈N＋时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2， ②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③
①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋×3＋20＋×3＝300.
跟踪训练
1.A　S2 026＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2 025＋2 026）＝1 013.
2.解：（1）由a1＝3，得2p＋q＝3，又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
（2）由（1），知an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋.
【例2】　解：（1）设数列{an}的公比为q，由＝9a2a6得＝9，∴q2＝.
由条件可知q＞0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，∴a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）∵an＝，∴bn＝－log ＝2n，
∴＝＝，
∴Tn＝
＝＝.
跟踪训练
解：（1）设数列{an}的公比为q（q≠0）.
因为2，a2＋1，a3成等差数列，所以2（a2＋1）＝2＋a3，
即2（a1q＋1）＝2＋a1q2.
又a1＝2，所以q2－2q＝0，解得q＝2或q＝0（舍去），
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
（2）因为a1×a2×a3×…×an＝21×22×23×…×2n＝21＋2＋3＋…＋n＝＝，
所以bn＝，从而＝＝2，
所以的前n项和Sn＝2［＋＋＋…＋］
＝2＝.
【例3】　解：选条件①：
（1）∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴解得或（舍去），∴∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，
∴Tn＝6－（2n＋3）×.
选条件②：
（1）∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴∴
解得或（舍去），∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，∴Tn＝6－（2n＋3）×.
选条件③：
（1）∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴
解得或（舍去），∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
（2）由题意得，cn＝＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋（2n－1）×， ①
Tn＝1×＋3×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×， ②
①－②，得×Tn＝1＋2×［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，
∴Tn＝6－（2n＋3）×.
跟踪训练
解：（1）证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）得＝1＋（n－1）·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， ①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋（n－1）·3n＋n·3n＋1， ②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝，
所以Sn＝.
拓视野　由数列的递推关系求通项
迁移应用
1.an＝2－　解析：由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2（n－1）－an－1]＝－an＋2＋an－1，所以an＝an－1＋1，即an－2＝（an－1－2）.令bn＝an－2，则bn＝bn－1，且b1＝1－2＝－1，于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，所以bn＝－1×＝－，故an＝2－.
2.an＝2×3n－1－2n－1　解析：令an＋1－xan＝y（an－xan－1）（n≥2），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得解得或取x＝2，y＝3得an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1.两边同除以2n＋1，得－＝×.所以＝＋＋…＋＋＝×＋×＋…＋×＋＝×＋＝－.故an＝2×3n－1－2n－1.取x＝3，y＝2得an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以1为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－3an＝2n－1.整理得an＋1＋2n＝3（an＋2n－1），又因为a1＋21－1＝2，所以数列{an＋2n－1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋2n－1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－2n－1，综上可知an＝2×3n－1－2n－1.
3.解：（1）证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1－bn＝2.
又因为b1＝a2－a1＝1，故数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.
于是an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝[2（n－1）－1]＋[2（n－2）－1]＋…＋（2×1－1）＋1
＝2[1＋2＋3＋…＋（n－1）]－（n－1）＋1
＝2×－n＋2＝n2－2n＋2.
随堂检测
1.D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2.C　∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（－1）＋（－）＋…＋（－）＝－1，令－1＝10，得n＝120.
3.C　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝（21＋2×1－1）＋（22＋2×2－1）＋（23＋2×3－1）＋…＋（2n＋2n－1）＝（2＋22＋…＋2n）＋2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝＋2×－n＝2（2n－1）＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.
4.B　∵S15＝（－4）×7＋（－1）14（4×15－3）＝29，S22＝（－4）×11＝－44，S31＝（－4）×15＋（－1）30（4×31－3）＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5.解：（1）∵＝＝64＝q3，
∴q＝4.∴an＝a2·4n－2＝8×4n－2＝22n－1.
（2）由bn＝nan＝n×22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1， ①
从而22×Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1， ②
①－②得（1－22）×Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[（3n－1）22n＋1＋2].
5.4　数列的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为每期所还本金为＝25 000（元），
因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元.
从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51 250.
可以看出{an}是一个递减的等差数列.
跟踪训练
解：设小李每个月还款x元，则
x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12，
∴x＝≈8 607（元）.
即小李每个月应还款约8 607元.
【例2】　解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an＝20（1＋5%）n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）
＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）
＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n）＝－（7.5＋6＋1.5n）
＝420×1.05n－n2－n－420.
当n＝5时，S5≈63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
跟踪训练
C　设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n＞，即n＞＝＝≈≈13.41，故取n＝14.
【例3】　解：（1）当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n，
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，
又∵a10＝50，∴an＝50×0.99n－10.
因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知，
S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋×0.5＋＝477.5＋4 950×（1－0.9910）≈972.5，
∵＝48.625＜49，
故到2037年年底后不需要调整政策.
跟踪训练
解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50%）－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an（1＋50%）－d＝an－d.
（2）由（1）得an＝an－1－d＝－d＝·an－2－d－d＝…＝a1－d［1＋＋＋…＋］，
整理得an＝（3 000－d）－2d＝·（3 000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以（3 000－3d）＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
随堂检测
1.C　设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝32.5码，故选C.
2.C　经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2 250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x＝50.
3.解：（1）设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
5.5　数学归纳法
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.　
2.1＋a＋a2
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）·[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立.
【例2】　证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，
即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
跟踪训练
证明：（1）当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝，
∵＜，∴不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－.
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立.
【例3】　证明：（1）当n＝1，原式＝4×7－1＝27能被9整除.
（2）假设当n＝k（k∈N＋），即（3k＋1）·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1
＝[（3k＋1）＋3]（1＋6）·7k－1
＝（3k＋1）·7k－1＋（3k＋1）·6·7k＋21·7k
＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.
∴n＝k＋1时也能被9整除.
由（1）（2）可知，对任何n∈N＋，（3n＋1）·7n－1都能被9整除.
跟踪训练
证明：（1）当n＝1时，a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，ak＋1＋（a＋1）2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋（a＋1）2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1）2·（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a＋1）2（a＋1）2k－1－a（a＋1）2k－1
＝a[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1）（a＋1）2k－1.
显然，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对n∈N＋，原命题成立.
【例4】　解：S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝.
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立.
跟踪训练
解：（1）当n＝1时，＋＋＝＝，则＞，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.
（2）下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞.
①当n＝1时，已证.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＋＋
＝＋（＋＋－）＞＋
＝＋
＞＋
＝＋＝，
即当n＝k＋1时，不等式也成立.
根据①和②，可知对任何n∈N＋，都有＋＋＋…＋＞.
所以正整数a的最大值为25.
随堂检测
1.D　要注意末项与首项，因为f（n＋1）＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
2.B　本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.
3.D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k项.
4.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6　解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）95　解析：（1）法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得＝21a1（1＋q）.整理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝＝＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－85.故选C.
法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝.当S2＝－1时，由（S6－S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85，故选C.
（2）法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列，
则由题意得解得
则S10＝10a1＋d＝10×（－4）＋45×3＝95.
法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95.
【例2】　解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3，
∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1），
∴bn＝，
∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝，
∴6d＋＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0，
即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝（舍去）.
∴an＝3n，n∈N*.
（2）若{bn}为等差数列，
则b1＋b3＝2b2，即＋＝2·.
整理，得－3a1d＋2d2＝0.
解得a1＝d或a1＝2d.
当a1＝d时，an＝nd，bn＝＝，
∴S99－T99＝（d＋99d）－（＋）＝99.
整理，得50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1（舍去）.
当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝＝，
∴S99－T99＝（2d＋100d）－（＋）＝99.
整理，得51d2－d－50＝0，
解得d＝－或d＝1.
∵d＞1，∴此时无解.
综上可知，d＝.
【例3】　解：（1）当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，
两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1，
即（n－1）an－1＝（n－2）an，
当n＝2时，可得a1＝0，
故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）.
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
（2）法一　令bn＝＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋， ①
Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
即Tn＝2－.
法二　设bn＝，
所以bn＝＝＝（n＋0）×（）n－1，故a＝，b＝0，q＝.
故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.
故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（）n＋2，整理得Tn＝2－.
【例4】　解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝（n≥2）.
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝
【例5】　解：（1）当n＝1时，
由已知得a1＝＋－1，即＋2a1－2＝0.
所以a1＝－1（a1＞0）.
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.
所以a2＝－（a2＞0）.
同理可得a3＝－.
猜想an＝－（n∈N＋）.
（2）证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－＝－，
即n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N＋，an＝－都成立.
第六章　导数及其应用
6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）x2－x1　（2）y2－y1　（3）　
2.斜率
想一想
提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零.
自我诊断
1.D　由Δy的定义可知Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.
2.A　∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝（3＋Δt）2＋3－32－3＝6Δt＋Δt2.∴从3到3＋Δt的平均速度为＝＝6＋Δt.
3.B　＝＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为f（x）＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
（2）f（x0＋Δx）－f（x0）＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5）
＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5＝6x0Δx＋3（Δx）2.
函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
跟踪训练
　－　解析：当x∈时，＝＝；当x∈时，＝＝＝－.因此，y＝cos x在区间和区间上的平均变化率分别是和－.
【例2】　解：（1）＝
＝＝0（m/s），
即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s.
（2）运动员在这段时间里显然不是静止的.
（3）由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时.
跟踪训练
B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B.
【例3】　解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC＞kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭.
跟踪训练
解：由y＝f（x）＝2，可以计算出相应的平均线密度，
为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的，即求出2 m到2.1 m这段合金棒的平均线密度＝＝20（－）≈20×（1.449－1.414）＝0.700（kg/m），用它来近似表示合金棒在x0＝2 m处的线密度.
随堂检测
1.B　因为Δy＝[2（1＋Δx）2－1]－（2×12－1）＝4Δx＋2（Δx）2，所以＝4＋2Δx.
2.B　因为Δy＝（3＋Δx）2－1－32＋1＝6Δx＋（Δx）2，所以＝＝6＋Δx，故选B.
3.3　解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3.
4.30＋5Δt　解析：Δs＝g×（3＋Δt）2－g×32＝×10×[6Δt＋（Δt）2]＝30Δt＋5（Δt）2，＝＝30＋5Δt.
6.1.2　导数及其几何意义
第一课时　瞬时变化率与导数
【基础知识·重落实】
想一想
1.提示：无关.
2.提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
自我诊断
1.C　由导数定义可知Δx≠0.
2.C　因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3.C　f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a.
4.2　解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】　v0－gt0　解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－g（t0＋Δt）2－＝v0Δt－gt0Δt－g（Δt）2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴ ＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
跟踪训练
解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a（Δt）2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'（2）＝＝（aΔt＋4a）＝4a.
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
【例2】　解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴f'（1）＝＝（3Δx＋4）＝4.
母题探究
1.解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2）
＝3（Δx）2＋10Δx，∴＝3Δx＋10，
∴f'（2）＝＝（3Δx＋10）＝10.
2.解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13）
＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx，
∴＝－（Δx）2－3Δx－1，
∴f'（1）＝＝[－（Δx）2－3Δx－1]＝－1.
跟踪训练
B　法一　
＝
＝＋
＝f'（x0）＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）.
法二　
＝
＝2＝2f'（x0）.
随堂检测
1.C　v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C.
2.D　根据题意，＝f'（x0）＝－2，故f'（x0）＝－2.故选D.
3.A　∵＝＝Δt＋2，∴＝＝2，故选A.
4.4　解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝＝＝＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4.
5.解：因为Δf＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
所以f'（1）＝＝＝2，
所以函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数为2.
第二课时　导数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点
2.
想一想
1.提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
2.提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线.
3.提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）.
自我诊断
1.B　因为在点（x0，f（x0））处切线方程的斜率为－，所以f'（x0）＝－＜0.故选B.
2.A　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝.
3.y轴　解析：由切线的定义可知y轴是抛物线y2＝x的切线.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：因为f'（1）＝
＝＝[3＋3Δx＋（Δx）2]＝3，
所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝3.
又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.
母题探究
1.解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）.
故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点（－2，－8）.
2.解：因为f'（1）＝＝＝－1，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝－1.
又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
跟踪训练
解：（1）∵y'＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，∴当x＝2时，y'＝4，
∴曲线在点P处的切线的斜率等于4.
故曲线在点P处的切线方程是y－＝4（x－2），即12x－3y－16＝0.
（2）设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，y0）处的切线斜率k＝，切线方程为y－y0＝（x－x0）.
又切线过点P，且（x0，y0）在曲线y＝x3上，
∴
整理得－3＋4＝0，即（x0－2）2（x0＋1）＝0，解得x0＝2或x0＝－1.
当x0＝2时，y0＝，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0；
当x0＝－1时，y0＝－，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0.
故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
【例2】　解：设切点坐标为（x0，y0），则
Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1＝4x0·Δx＋2（Δx）2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f'（x0）＝4x0.
（1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，
即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为.
（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为（1，3）.
（3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为（2，9）.
跟踪训练
　　解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），
因为y'＝＝3x2－2x，设曲线C在x0处的导数为y，
则y＝3－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，y0＝－＋1＝1，
又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾，舍去.
当x0＝－时，y0＝－＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
【例3】　解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减.
（3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢.
跟踪训练
　解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值.
因为＝＝4.9－4.9Δt，
所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9.
所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升.
画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空.
随堂检测
1.A　∵f（x）为可导函数，且满足＝－1，即f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）＝－1.
2.C　＝＝，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C.
3.3　解析：由导数的几何意义得f'（1）＝，由点M在切线上得f（1）＝×1＋2＝，所以f（1）＋f'（1）＝3.
4.解：（1）因为f'（x）＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，
所以f'（2）＝22＝4.所以点P处的切线的斜率等于4.
（2）在点P处的切线方程为y－＝4（x－2），
即12x－3y－16＝0.
6.1.3　基本初等函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）x　（2）
想一想
1.提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
2.提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数.
自我诊断
1.ABC　由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确.
2.C　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6.
3.3　解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3.
知识点二
0　αxα－1　cos x　－sin x　axln a　ex　　
想一想
提示：公式对任意不为0的实数α都成立.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.C　①当f（x）＝sin x＋1时，f'（x）＝cos x；②当f（x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝，则f'（x）＝－.
3.B　因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1.
4.C　由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（x12）'＝12x11.
（2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－.
（3）y'＝（）'＝（）'＝.
（4）y'＝（3x）'＝3xln 3.
（5）y'＝（log5x）'＝.
跟踪训练
解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2.
（2）y'＝（x）'＝（）'＝＝.
（3）y'＝'＝＝－.
【例2】　解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点.
（2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－.
则切线方程为y－＝－（x－a）. ①
将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a），
得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
母题探究
1.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－.
显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0.
2.解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x，
所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1.
又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0.
跟踪训练
1.D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y＝＝k　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝－代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.
2.y＝xln 2＋1　解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1.
【例3】　（1）　 －sin t　解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为，∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t.
（2）解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.
跟踪训练
解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0），
∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1，∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）.
由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为.
随堂检测
1.BCD　在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确.
2.C　∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x，∴f'＝cos ＝.
3.C　f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝.
4.　解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝.
5.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝，所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0.
6.1.4　求导法则及其应用
第一课时　函数和、差、积、商的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）f'（x）±g'（x）　（2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）
（3）（g（x）≠0）
想一想
1.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立.
2.提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导.
3.提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
自我诊断
1.B　y'＝（sin x·cos x）'＝（sin x）'cos x＋sin x（cos x）'＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
2.－xsin x 　解析：y'＝（xcos x－sin x）'＝（xcos x）'－（sin x）'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
3.0　解析：因为f'（x）＝＝x'＋＝1－，
所以f'（1）＝1－1＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）'＝2x＋.
（2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）'
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）.
（3）y'＝'＝
＝＝－.
跟踪训练
解：（1）y'＝（sin x－2x2）'＝（sin x）'－（2x2）'＝cos x－4x.
（2）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'
＝－sin x·ln x＋.
（3）y'＝'＝
＝＝.
【例2】　解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2），
则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，
∴B，
故直线l2的方程为y＝－x－.
母题探究
解：解方程组得
∴直线l1和l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），，
故所求三角形的面积为S＝××＝.
跟踪训练
1.C　由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C.
2.解：（1）由题意，函数的定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝ax2＋ln x，
得f'（x）＝2ax＋，
所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1.
（2）因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈（0，＋∞）内导函数f'（x）＝2ax＋存在零点，
即f'（x）＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是（－∞，0）.
【例3】　（1）D　（2）f（x）＝2x3－9x2＋12x
解析：（1）y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝f'（1）＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
（2）因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x.
跟踪训练
B　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－.
随堂检测
1.D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.
2.D　∵s'＝2t－，∴s't＝2＝4－＝.
3.BC　因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0），因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
4.1　解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
5.解：（1）法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2.
法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8，∴y'＝3x2.
（2）y'＝－2x·ln 2
＝－2x·ln 2
＝＋ln x－2xln 2.
第二课时　简单复合函数的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
1.f（g（x））　u　2.（1）f'（u）·g'（x）　f'（g（x））·g'（x）　（2）y'u·u'x
想一想
1.提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2.提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
3.提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.
自我诊断
1.C　y'＝（cos 2x）'＝－2sin 2x.
2.10　解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10.
3.1或　解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝＝，曲线y＝ex－2在点（x1，）处的切线方程为y－＝（x－x1），即y＝x＋（1－x1），曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝（x－x2），即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，所以k＝1或.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x.
（2）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝＝.
（3）设y＝2sin u，u＝3x－，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝2cos u×3＝6cos.
（4）设y＝，u＝1－2x，
则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）'
＝－×（－2）＝（1－2x.
跟踪训练
解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）'
＝3×103x－2ln 10.
（2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y'　x＝y'　u·u'　x＝·（ex＋x2）'
＝·（ex＋2x）＝.
（3）因为y＝sin4x＋cos4x
＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x）
＝＋cos 4x，
所以y'＝'＝－sin 4x.
【例2】　解：（1）∵（ln 3x）'＝×（3x）'＝，
∴y'＝
＝＝.
（2）y'＝（x）'
＝x'＋x（）'
＝＋
＝.
（3）∵y＝xcossin
＝x（－sin 2x）cos 2x＝－xsin 4x，
∴y'＝'
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
跟踪训练
解：（1）∵y＝，
∴y'＝（－）'＝sinx.
（2）y'＝（sin3x＋sin x3）'＝（sin3x）'＋（sin x3）'
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
【例3】　A　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
母题探究
解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），∵y＝ln（2x－1），
∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点P（1，0），∴＝2，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.
跟踪训练
解：∵f'（x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f'＝3－2sin ＋2cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1，1），
①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3），
∴切线斜率k＝3t2＝，解得t＝－，∴k＝，
∴所求切线方程为y－1＝（x－1），即3x－4y＋1＝0.
综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
拓视野　导函数的奇偶性及周期性探究
迁移应用
推广1：证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x），
因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）.
所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a－x），
即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）.
因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.
推广2：证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x），
即f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
随堂检测
1.A　f'（x）＝－sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2sin 2x＋2e2x，故选A.
2.B　y'＝（x2）'cos＋x2'
＝2xcos＋x2'＝2xcos－2x2sin.
3.D　y'＝a－，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，所以a－1＝2，解得a＝3.
4.　解析：∵f'（x）＝·（3x－1）'＝，∴f'（1）＝.
5.2　解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.1　导数与函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点
（1）f'（x）＞0　（2）f'（x）＜0
想一想
1.提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性.
2.提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
3.提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大.
自我诊断
1.A　因为f'（x）＝2－cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数.
2.C　观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意.
3.（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）　（－3，－2]，（1，3]
解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3].
【典型例题·精研析】
【例1】　C　由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的正、负情况如下表：
x [－1，b） [b，a） [a，1]
f'（x） － ＋ －
f（x） 单调递减 单调递增 单调递减
由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b

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