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培优课　解三角形中的综合问题
1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　）
A.　　　 B.2
C.4　　　 D.2
2.（2024·威海质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝（a，cos），n＝（b，cos），p＝（c，cos）共线，则△ABC为（　　）
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为（　　）
A. B.3 C. D.4
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝（　　）
A.－ B. C. D.±
5.（2024·郑州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为（　　）
A.8 B.6 C.3 D.4
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.（多选）在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是（　　）
A.AB＝8 B.＝
C.AB＝6 D.△ABD的面积为
8.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（　　）
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
9.（2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝　　　　，角C的最大值为　　　　.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为　　　　.
11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝.求a＋c的取值范围.
12.（2024·潮州月考）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍.
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长.
13.如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网.
（1）当AM＝ km时，求防护网的总长度；
（2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小.问：如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面积是多少？
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