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4.4　四分位数与箱线图
第2课时　箱线图
1.能比较两组数据的分散程度．
2.掌握箱线图的构成及数据分析中的作用，能够根据原始数据计算并绘制箱线图，通过解读箱线图，提升从图表中提取信息的能力．
3.通过数据的分析与处理，体会数学与现实生活的联系，通过探索活动，培养探索意识和创新精神．
重点：能比较两组数据的分散程度，能够根据原始数据计算并绘制箱线图．
难点：根据箱线图分析这组数据的分布情况．
一、情境导入
　　同学们，在学校运动会的跳绳比赛后，老师统计了咱们班40名同学1分钟跳绳的次数．现在老师想知道，咱们班同学跳绳成绩的“中间水平”“前25%的水平”“后25%的水平”分别是多少，这个问题通过上节课学习的四分位数可以解决．
　　老师还想把咱们的成绩和隔壁班做个直观对比，那怎么才能清晰地找出这些关键位置的成绩，又能简单明了地和隔壁班比较呢？今天咱们要学的箱线图就能帮咱们解决这些问题．
二、合作探究
探究点一：比较数据的分散程度
随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析．
　　抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据是：
　　86，87，82，85，87，87，87，87，89，93.
　　抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据是：
　　85，87，88，81，83，83，88，88，93，93.
　　这两组数据中哪组数据比较分散？
　　解析：分别计算两组数据的第一四分位数和第三四分位数，作差比较大小即可．
　　解：将A款评分数据从小到大排列为82，85，86，87，87，87，87，87，89，93.∵10×=2.5，∴m25= 86.∵10×=7.5，∴m75=87.∴m75－m25=87－86=1.
　　将B款评分数据从小到大排列为81，83，83，85，87，88，88，88，93，93.∵10×=2.5，∴m25=83.∵10×=7.5，∴m75=88.∴m75－m25=88－83=5.
　　∵5＞1，∴抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据比较分散．
　　方法总结：一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据越分散．
探究点二：从箱线图中提取信息
已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱线图如图所示．
　　（1）从图中可以得到哪些信息？
　　（2）A，B两个班级平均分较高的是哪个班级？
　　解析：通过观察两个班级成绩箱线图中的四分位数以及最高分和最低分，来比较两个班的平均分高低．
　　解：（1）由两个班级成绩的箱线图可知，A班的第三四分位数与B班的中位数一致，均为120；B班的第三四分位数大于A班的第三四分位数；B班的最低分也大于A班的最低分．
　　（2）因为B班的最高分、第三四分位数、中位数、第一四分位数、最低分都大于A班，所以B班的平均分更高．
　　方法总结：从箱线图中，可以得到一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值，它是由矩形“箱子”和直线组成的图形，直观地表示了这组数据的分布状态．
探究点三：绘制箱线图并分析实际问题
某银行有A和B两个理财经营团队．上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
　　A.4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10.
　　B.3.18，3.84，3.99，3.67，3.40，3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91.
　　某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数．
两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%）
团队 m25 m50 m75
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
　　请根据以上信息完成下列问题：
　　（1）表中a=　　　　，b=　　　　；
　　（2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价．
　　
　　解析：（1）m25即为第一四分位数，m75即为第三四分位数，根据公式计算即可；（2）根据最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数画出箱线图，对比观察两个箱线图，分析数据的集中或离散程度，判断哪一组的整体水平更高，哪一组的数据更稳定，更一致等．
　　解：（1） 将B团队负责经营的12项理财产品的收益率（单位：%）从小到大排列为3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44.∵12×=3，∴m25= =3.635.∵12×=9，∴m75= =4.125.故a=3.635，b=4.125.
　　（2）补全B团队的箱线图如图所示．通过箱线图可知，A团队产品收益率的中位数与B团队的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但A团队的产品收益率明显比B团队的收益率的波动性大，即B团队的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择B团队的理财产品更合适．
　　方法总结：当并排放置多个箱线图时（如比较不同班级成绩、不同产品寿命），分析重点在于（1）比较中位数大小：判断哪个组的整体水平更高；（2）比较两组数据的第三四分位数与第一四分位数的差的大小：判断哪个组的数据更稳定；（3）比较分布形态：判断各组数据的分布是对称，还是更偏向于哪一边．
三、板书设计
1.比较数据的分散程度
2.箱线图
　　箱线图教学不应是孤立的绘图课，而应是数据分析链条中的关键一环．未来的教学，应更侧重于概念的深度理解而非机械绘制，侧重于意义的合理解释而非简单描述，侧重于工具的灵活应用而非记忆公式．只有这样，才能让学生真正拥有“让数据说话”的能力，让箱线图从课本上的一个图形，变为他们探索世界的一个视角．4.5　数据的频数分布4.3　数据分类
1.能够通过计算和比较不同分组方案的组内离差平方和与组间离差平方和，选择最优分组方案．
2.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法．
3.感受数据分类在实际生活中的应用价值，增强学习数学的兴趣和自信心．
重点：知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法．
难点：对组内离差平方和最小分组方式的理解．
一、情境导入
　　在社会生活中，分类现象普遍存在．例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级等．在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便，对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题．
二、合作探究
探究点一：组内离差平方和与组间离差平方和的计算
设有两组数据，第一组数据为3，5，7；第二组数据为6，8，10.计算这两组数据的组内离差平方和以及组间离差平方和．
　　解析：分别计算两组数据的平均数以及两组数据合并成一组数据的平均数，再根据组内离差平方和，组间离差平方和的公式计算结果．
　　解：第一组数据的平均数1=（3＋5＋7）=5，第二组数据的平均数2=（6＋8＋10）=8，两组数据合并成一组数据的平均数=（3＋5＋7＋6＋8＋10）=6.5.∴组内离差平方和=（3－5）2＋（5－5）2＋（7－5）2＋（6－8）2＋（8－8）2＋（10－8）2=16；组间离差平方和=3×（5－6.5）2＋3×（8－6.5）2=6.75＋6.75=13.5.
　　方法总结：一般地，设一组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为，离差平方和为S2.如果把这组数据分为两组，前m个数据为第一组，后（n－m）个数据为第二组，第一组的平均数记作1，第二组的平均数记作2，令=（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（xm－1）2＋（xm＋1－2）2＋…＋（xn－2）2，其中为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度．=m（1－）2＋（n－m）（2－）2，其中为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度．S2=＋．
探究点二：根据“组内离差平方和最小”原则分组
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试．将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：58，64，68，75，76，83，85，89，90，92，你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
　　解析：应当选择笔试成绩较好的应聘者进入面试，那么笔试成绩怎样才算好呢？可以把笔试成绩相对接近的分到同一个组，是一个比较合理的做法．即可以将上述数据分成2组，使得“组内离差平方和最小”．
　　解：将上述数据从小到大排列，依次分成2组，有9种情况：利用计算器，依次计算组内离差平方和（结果保留一位小数），得到下表：
分组情况 第一组离 差平方和 第二组离 差平方和 组内离差 平方和
第1组1个， 第2组9个 0 799.6 799.6
第1组2个， 第2组8个 18 503.5 521.5
第1组3个， 第2组7个 50.7 271.4 322.1
第1组4个， 第2组6个 152.8 170.8 323.6
第1组5个， 第2组5个 228.8 54.8 283.6
第1组6个， 第2组4个 411.3 26 437.3
第1组7个， 第2组3个 587.4 4.7 592.1
第1组8个， 第2组2个 819.5 2 821.5
第1组9个， 第2组1个 1026.2 0 1026.2
　　观察最后一列组内离差平方和可以发现，当第1组5个，第2组5个的分组方法，可以使得离差平方和最小．即第1组：58，64，68，75，76 ，第2组：83，85，89，90，92.所以可以选择第2组：笔试成绩分别为83，85，89，90，92的应聘者进入面试．
　　方法总结：数据分组的步骤：（1）数据排序：从小到大排列原始数据；（2）确定分组方法：列出所有的分组方法；（3）计算比较：对每种分组方法计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分组．
三、板书设计
数据的分组
　　本节课学习了组内离差平方和，组间离差平方和的计算方法，并会用“组内离差平方和最小”原则进行分组．“组内离差平方和”与“组间离差平方和”是统计学中一个基础而强大的思想，本次教学基本达到了让学生理解其核心概念和应用原则的目标，但在深度、广度和直观性上仍有提升空间，未来的教学应更加注重．通过反思和改进，希望能帮助学生不仅“记住”这个原则，“应用”其方法，并“评判”其局限，真正培养其数据分析和科学的思维能力．4.5.1　频数与频率
1.理解频数、频率的概念和关系，会计算频率．
2.掌握频数、频率的一些简单实际应用，能够绘制出相应的统计图表，能做出合理的判断和预测．
3.培养学生的思维能力，提高学生学习数学的兴趣，感受数学活动充满探索性和创造性．
重点：理解频数、频率的概念并能绘制出相应的统计图表．
难点：频数、频率的实际应用，做出合理的判断和预测．
一、情境导入
　　某医院2月份出生的20名新生婴儿的体重如下（单位：kg）：4.7、2.9、3.2、3.5、3.6、4.8、4.3、3.6、3.8、3.4、3.4、3.5、2.8、3.3、4.0、4.5、3.6、3.5、3.7、3.7.请说明医院新生婴儿体重在哪一个范围内人数最多，在哪一个范围内人数最少？你能说出体重在3.55~3.95 kg这一范围内的婴儿数是多少吗？用什么方法？
二、合作探究
探究点一：频数
将20个数据分成8个组，如下表，则第6组的频数为（　　）
　　
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 3 1 1 3 2 3 2
　　A.2　　B.3　　C.4　　D．5
　　解析：根据总频数之和等于20，即20－3－1－1－3－2－3－2=5.∴第6组的频数为5.故选D．
　　方法总结：求频数时要明白各频数之和为数据总数，列出相应式子求解即可．
探究点二：频率
“三年的初中学习生活快结束了，愿中考将我送达另一个理想的彼岸”，这28个字中，每个字的笔画数依次是3，6，8，7，4，8，3，5，9，7，9，7，2，14，4，6，9，7，9，6，5，1，3，11，13，8，8，8，其中笔画数是9的字出现的频率是多少？
　　解析：首先确定笔画数为9的字的个数，根据题意可得出总数为28，然后根据频率=频数÷总数进行计算即可．
　　解：由题意得笔画数是9的字的频数为4，∴笔画数是9的字出现的频率是4÷28=．
　　方法总结：对频数及频率意义的考查的题目，关键是掌握频率=频数÷总数．
探究点三：频数与频率的综合应用
【类型一】 频数、频率及数据总数间的计算
青云中学某次作文比赛后，王涛将所有参赛的作文，按所得的“甲、乙、丙、丁”成绩进行了分类统计，得甲、乙、丙、丁的频率依次为0.15、0.35、0.30、x，其中频率为x的频数为20，求这次作文比赛中得甲、乙、丙的同学各有多少人．
　　解析：先根据频率之和为1，求出x=0.2；再根据频数为20，求出总人数，即可求得甲、乙、丙的学生人数．
　　解：∵0.15＋0.35＋0.3＋x=1，∴x=0.2，参赛总人数为=100（人）．∴得甲的人数为100×0.15=15（人），得乙的人数为100×0.35=35（人），得丙的人数为100×0.30=30（人）．
　　方法总结：各频数之和为数据总数，各频率之和为1，频数=数据总数×频率．
【类型二】 频率、频数与扇形统计图
为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了不完整的统计图表：
　
整理情况 频数 频率
非常好 0.21
较好 70
一般
不好 36
　　请根据图表中提供的信息，解答下列问题．
　　（1）本次抽样共调查了多少名学生？
　　（2）补全统计表中所缺的数据．
　　解析：（1）根据较好的部分所在扇形的圆心角的度数即可求得其所占百分比，进而可求得总数；（2）根据频率=即可求解．
　　解：（1）较好所占的比例是，则本次抽样共调查的学生人数为70÷=200.
　　（2）非常好的频数是200×0.21=42，一般的频数是200－42－70－36=52，较好的频率是=0.35，一般的频率是=0.26，不好的频率是=0.18.故表中从左到右，从上到下依次填42，0.35，52，0.26，0.18.
　　方法总结：对于频数分布表与扇形统计图相结合的题目，应充分分析表和图中数据，根据他们的互补信息进行数据补充．
【类型三】 绘制频数分布表
某校为了了解八年级学生的数学作业量情况，抽查了20名学生每天做数学作业所花的时间，获得如下数据（单位：分钟）：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.按花20.5~22.5分钟为“快”，花22.5~24.5分钟为“较快”，花24.5~26.5分钟为“一般”，花26.5~28.5分钟为“较慢”，花28.5~30.5分钟为“慢”，绘制频数分布表（包括频数、频率）．
　　解析：使用画“正”的方法记录各组的数据个数得到频数，再用频数÷总数得到频率．
　　解：频数分布表如下：
分　组 画记 频数 频率
快（20.5~22.5） 2 0.1
较快（22.5~24.5） 3 0.15
一般（24.5~26.5） 正 8 0.4
较慢（26.5~28.5） 4 0.2
慢（28.5~30.5） 3 0.15
合　　计 20 1
　　方法总结：（1）频数是该组数据范围内的数据个数；（2）在计算频数时，可以使用画“正”的方法记录该组的数据个数；（3）在计算数据个数时注意不要漏数、错数，分清数据应属于哪个组；（4）在计算完成后，将所有分组的频数相加，频数相加之和应为总数；（5）用频数÷总数，即是各组的频率，频率之和为1.
三、板书设计
1.频率=
2.频数=频率×数据总数
3.数据总数=
　　频数和频率是统计中两个重要的数据特征，它们反映了各个对象出现的频繁程度．在教学中要注意引导学生明白：在收集到一些数据后，一定要选择合理的方式表示所收集的数据，会进行初步的数据分析．4.6　总体的平均数与方差的估计
1.通过实际生活中的例子，掌握用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法，建立数学与现实世界之间的逻辑联系，培养抽象能力．
2.通过学习用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法，锻炼学生的应用能力和运算能力．
3.在实际情景中会用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差、体会样本代表性的重要意义，培养数学模型观念，增强数学的应用意识．
重点：掌握用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差的统计方法．
难点：在实际情景中会用样本平均数和方差去估计总体平均数和方差、体会样本代表性的重要意义．
一、情境导入
　　生活中的“小笑话”：
　　一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．爸爸：“火柴能划燃吗？”儿子：“都能划燃．”爸爸：“你这么肯定？”儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．”爸爸：“啊!……”
　　今天我们就学习用样本平均数和方差估计总体平均数和方差．
二、合作探究
探究点一：用样本平均数估计总体平均数
【类型一】 结合统计表来估计总体情况
“立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一．测试时，记录下学生立定跳远的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分10分．其中男生立定跳远的评分标准如下：（注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值）
　　
成绩（米） … 1.80~ 1.86 1.86~ 1.94 1.94~ 2.02 2.02~ 2.18 2.18~ 2.34 2.34及 以上
得分（分） … 5 6 7 8 9 10
　　某校九年级有480名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取10名男生的测试成绩（单位：米）如下：
　　1.96　2.38　2.56　2.04　2.34　2.17　2.60　2.26　1.87　2.32
　　请解决下列问题：
　　（1）求这10名男生立定跳远成绩的平均数；
　　（2）如果将9分以上（含9分）定为“优秀”，请你估计这480名男生中得优秀的人数．
　　解析：（1）根据平均数的计算公式=计算即可；
　　（2）根据表格得出优秀的人数，再用优秀的人数除以抽查的总人数求出频率，最后乘以480，即可得出答案．
　　解：（1）根据题意得=（1.96＋2.38＋2.56＋2.04＋2.34＋2.17＋2.60＋2.26＋1.87＋2.32）=2.25（米）．
　　（2）因为抽查的10名男生中得分9分以上（含9分）有6人，所以有480×=288（人）．
　　答：估计这480名男生中得优秀的人数是288.
　　方法总结：此题考查了用样本估计总体和平均数，用到的知识点是平均数的计算公式=，频率=频数÷总数，用样本估计整体数量，用总体容量×样本的百分比即可．
【类型二】 结合条形图来估计总体情况
为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
　　（1）小明一共调查了多少户家庭？
　　（2）求所调查家庭5月份用水量的平均数；
　　（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
　　解析：（1）条形统计图上户数之和即为调查的家庭户数；（2）根据加权平均数的定义计算即可；（3）利用样本估计总体的方法，用“400×所调查的20户家庭的平均用水量”即可．
　　解：（1）1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1=20（户）．
　　答：小明一共调查了20户家庭．
　　（2）（1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1）÷20=4.5（吨）．
　　答：所调查家庭5月份用水量的平均数为4.5吨．
　　（3）400×4.5=1800（吨）．
　　答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
　　方法总结：读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
【类型三】 结合频数分布直方图来估计总体情况
统计武汉园博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频数分布直方图（部分未完成）：
武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
组别（万人） 组中值（万人） 频数 频率
7.5~14.5 11 5 0.25
14.5~21.5 6 0.3
21.5~28.5 25 0.3
28.5~35.5 32 3
　　（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
　　（2）求出日参观人数不低于21.5万的天数和所占的百分比；
　　（3）利用以上信息，试估计武汉园博会（会期247天）的参观总人数．
　　解析：（1）根据表格的数据求出14.5~21.5小组的组中值，最后即可补全频数分布表和频数分布直方图；（2）根据表格知道日参观人数不低于21.5万的天数有两个小组，共9天，再除以总人数即可估计出所占的百分比；（3）利用每一组的组中值和每一组的频数可以估计出武汉园博会（会期247天）的参观总人数．
　　解：（1）频数分布表补充如表所示．
　　武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表
组别（万人） 组中值（万人） 频数 频率
7.5~14.5 11 5 0.25
14.5~21.5 18 6 0.3
21.5~28.5 25 6 0.3
28.5~35.5 32 3 0.15
频数分布直方图补充如图所示：
　　（2）依题意，得日参观人数不低于21.5万有6＋3=9（天），所占百分比为9÷20×100%=45%．
　　（3）∵园博会前20天的平均每天参观人数约为==20.45（万人），∴估计武汉园博会（会期247天）的参观总人数约为20.45×247=5051.15（万人）．
　　方法总结：本题考查运用样本估计总体的思想，解决问题的关键是读懂频数分布直方图和从统计图中获取有用信息．
探究点二：用样本方差估计总体方差
为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
　　根据以上信息，解答下列问题：
　　（1）求七年级学生成绩的平均数和方差的估计值；
　　（2）求八年级学生成绩的平均数和方差的估计值；
　　（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由．
　　解析：求这10名学生成绩的平均数和方差，用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差．
　　解：（1）七年级10名学生成绩的平均数为（95＋96＋98＋88＋95＋87＋90＋95＋90＋98）=93.2，
　　 七年级10名学生成绩的方差为［3×（95－93.2）2＋（96－93.2）2＋2×（98－93.2）2＋（88－93.2）2＋（87－93.2）2＋2×（90－93.2）2］=14.96.
　　∴七年级学生成绩的平均数的估计值为93.2，七年级学生成绩的方差的估计值为14.96.
　　 （2） 八年级10名学生成绩的平均数为（96＋89＋97＋82＋98＋100＋84＋97＋83＋99）=92.5，
　　八年级10名学生成绩的方差为［（96－92.5）2＋（89－92.5）2＋2×（97－92.5）2＋（82－92.5）2＋（98－92.5）2＋（100－92.5）2＋（84－92.5）2＋（83－92.5）2＋（99－92.5）2］=46.65，
　　∴八年级学生成绩的平均数的估计值为92.5，八年级学生成绩的方差的估计值为46.65.
　　（3）我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小．
　　方法总结：在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值．
三、板书设计
1.简单随机样本的平均数估计总体的平均数
2.简单随机样本的方差估计总体的方差
　　本节课是统计学思想的播种课．教学的重中之重，不在于学生计算得有多快、多准，而在于他们是否开始接受并理解 “用具有随机性的数据去推断确定的总体” 这一思想．在今后的教学中，将要更加注重统计思想的渗透，弱化纯计算，强化概念理解、实际应用和知识体系的构建，并利用更多样化的教学手段化解抽象概念带来的难点，真正培养学生“用数据说话”的统计素养．4.4　四分位数与箱线图
第1课时　四分位数
1.理解四分位数的概念．
2.能计算第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数．
3.培养统计思维，通过精确的计算和逻辑推理，培养学生严谨、细致的科学态度．
重点：四分位数的概念和计算．
难点：四分位数统计意义的理解．
一、情境导入
　　求数据8，7，6，7，6，5，4，5，8，6的中位数．
　　将数据按从小到大的顺序排列：4，5，5，6，6，6，7，7，8，8，这组数据的中位数为多少？小于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是多少？大于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是多少？
二、合作探究
探究点一：第二四分位数
求数据1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，10的第二四分位数．
　　解析：第二四分位数就是这组数据的中位数，按照中位数的计算方法即可．
　　解：共20个数，最中间的是第10，11个数，分别为3和3，∴这组数据的中位数为=3，即第二四分位数为3.
　　方法总结：第二四分位数也叫作第50百分位数，记作m50，也就是这组数据的中位数，按照前面学过的中位数的计算方法即可．
探究点二：第一四分位数
九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93.求这组数据的第一四分位数．
　　解析：将这组数据按照从小到大的顺序排列，根据第一四分位数的定义，用数据个数8×=2，所以第2与第3个数据的平均数即为这组数据的第一四分位数．
　　解：将这组数据按照从小到大的顺序排列：93，112，136，145，155，165，171，182.∵8×=2，∴这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即=124.
　　方法总结：第一四分位数也叫作第25百分位数，记作m25．设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列．设m=n×，若m为小数，且比m 大的最小整数为p，则第p个数即为这组数据的第一四分位数；若m 为整数，则第m和第m＋1个数的平均数即为这组数据的第一四分位数．
探究点三：第三四分位数
体育老师随机选择了10名学生，分别测量了他们完成800 m跑步前、后1 min脉搏，数据如下表．请求出跑步前、后脉搏的第75百分位数．
跑步前脉搏/ （次/min） 65 85 78 77 78 90 76 75 80 83
跑步后脉搏/ （次/min） 146 161 149 154 154 156 149 152 151 150
　　解析：将数据按照从小到大的顺序排列，根据第三四分位数的定义，用数据个数10×=7.5，所以第8个数即为这组数据的第75百分位数．
　　解：将跑步前脉博由小到大排序：65，75，76，77，78，78，80，83，85，90.∵10×=7.5，∴第75百分位数为第8个数，即83.
　　将跑步后脉博由小到大排序：146，149，149，150，151，152，154，154，156，161.∵10×=7.5，∴第75百分位数为第8个数，即154.
　　方法总结：第三四分位数也叫作第75百分位数，记作m75．设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列．设m=n×，若m为小数，且比m 大的最小整数为p，则第p个数即为这组数据的第三四分位数；若m 为整数，则第m和第m＋1个数的平均数即为这组数据的第三四分位数．
三、板书设计
1.第一四分位数
2.第二四分位数
3.第三四分位数
　　四分位数的教学，旨在引导学生学会用新的统计量从多角度描述数据．教学四分位数，远不止是教授一种计算方法，更是对学生数据分析观念的一次重要塑造．未来的教学中，将要更加注重算理与意义的平衡，知识与情境的结合，引导学生从“机械的计算者”向“敏锐的数据解读者”转变，让统计学真正成为他们观察和理解世界的一个有力工具．4.7　统计的简单应用
1.理解并应用“用样本频率估计总体频率”的统计思想．
2.理解用趋势图去预测数据的思想．
3.掌握通过实验数据推断总体特征的基本方法，培养数据分析估算的能力．
重点：理解并应用“用样本频率估计总体频率”的统计思想．
难点：用趋势图去预测数据．
一、情境导入
　　上一节课我们学习了用简单随机样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，那么用样本的频率是否能估计总体的频率呢？对样本和总体有哪些具体要求呢？本节课我们来解决这些问题．
二、合作探究
探究点一：用样本的率（及格率、次品率等）估计总体的率
某校八年级开展了“水资源保护知识竞赛”，现随机抽取该校八年级二十名同学的成绩进行调查．满分为10分，6分以下为不及格．得分分别为6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10.估计该校八年级学生此次成绩的及格率．
　　解析：求出及格人数，用及格人数÷总人数即可计算出样本的及格率，用样本的及格率估计总体的及格率即可．
　　解：及格人数有16人，总人数为20人，∴样本及格率为=80%．∴估计该校八年级学生此次成绩的及格率为80%．
　　方法总结：用简单随机抽样方法抽取一个容量为n 的样本，设这个样本有m件次品，则称为这个样本的次品率．一般地，当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的次品率作为总体次品率的一个估计值．
探究点二：用样本的频率估计总体的频率
【类型一】 与频数分布表结合
某中学为了解学生每周课外阅读的时间，对部分学生每周的课外阅读时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表：
组别 时间（小时） 频数（人数）
A 0≤t＜1 40
B 1≤t＜2 80
C 2≤t＜3 100
D 3≤t＜4 120
E 4≤t≤5 60
　　该中学共有6000名学生，估计每周课外阅读时间为2小时及以上的学生大约有多少名？
　　解析：2小时及以上为C，D，E组别，计算C，D，E组别的频数和，求出每周课外阅读时间为2小时及以上的频率，用样本的频率估计总体的频率进行计算即可．
　　解：100＋120＋60=280（名），40＋80＋100＋120＋60=400（名），6000×=4200（名）．故估计每周课外阅读时间为2小时及以上的学生大约有4200名．
　　方法总结：用频率=计算出样本的频率，用样本频率估计总体频率，利用估计的频率和已知的总数，求解未知量．
【类型二】 摸球问题
在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是　　　　．
　　解析：∵共摸了1000次球，发现有400次摸到黄球，∴摸到黄球的频率为=0.4.∴袋中的黄球大约有20×0.4=8（个）．故答案为8.
　　方法总结：通过大量重复试验，计算试验中事件发生的频率，用样本频率估计总体频率，利用估计的频率和已知的总数，求解未知量．探究点三：用趋势图估值
如图表示树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份树的高度为（　　）
　　A．80 cm　B．90 cm　C．100 cm　D．110 cm
　　解析：散点大致分布在一条直线附近，可以将树高度和月份之间的关系近似为一次函数关系，观察直线，可知6月份树的高度约为100 cm．故选C．
　　方法总结：为了直观地表示两个数据之间的关系，可以建立一个平面直角坐标系，样本中两个对应的数据组成一个有序实数对，这些点组成的图形就是样本数据的散点图．若散点大致分布在一条直线附近，可以将其近似为一次函数关系，利用一次函数的表达式或图象，去预测合适范围内的其他数据．
三、板书设计
1.用样本的次品率估计总体的次品率
2.用样本的频率估计总体的频率
3.趋势图
　　本节课将抽象的数学思想转化为学生可参与、可感知的数学活动，未来的教学应在保持趣味性的同时，更加注重概念的深度理解、技术工具的融合以及真实问题解决能力的培养，从而全面提升学生的数据素养．4.2　方　差
1.通过解决实际问题，掌握离差平方和与方差的定义和计算公式，培养抽象能力、发展创新意识，感受用数学眼光观察现实世界的优越性．
2.会用离差平方和与方差公式进行计算，会比较数据的波动大小，提高运算能力，积累统计经验．
3.在用离差平方和与方差公式解决实际问题时，发展数据意识和数据观念，养成讲道理、有条理的理性思维．
重点：掌握离差平方和与方差的定义和计算公式．
难点：会比较数据的波动大小，会运用方差做决策．
一、情境导入
　　甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：
　　甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
　　乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.
　　为了达到最佳效果，希望选取一支身高比较整齐的仪仗队参加某项庆祝活动，经计算，两支仪仗队队员的平均身高为178厘米，那么选取哪支仪仗队呢？
二、合作探究
探究点一：离差平方和与方差
【类型一】 求一组数据的离差平方和与方差
已知一组数据：1，3，5，5，6，求这组数据的离差平方和与方差．
　　解析：先计算出这组数据的平均数，再利用离差平方和与方差计算公式进行计算即可．
　　解：=（1＋3＋5＋5＋6）=×20=4，离差平方和S2=（1－4）2＋（3－4）2＋（5－4）2×2＋（6－4）2=9＋1＋2＋4=16.方差s2=×16=3.2.
　　方法总结：计算一组已知数据的离差平方和与方差，应先求出这组数据的平均数，再利用离差平方和与方差公式进行计算．在计算方差时，要先计算平均数，因此，记忆方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．这12个字是对方差计算公式的最好注释．
【类型二】 求一组相关数据的方差
若一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是　　　　，2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差是　　　　．
　　解析：设x1，x2，…，xn的平均数为，易得x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的平均数为＋5，则其方差为［（x1＋5－－5）2＋（x2＋5－－5）2＋…＋（xn＋5－－5）2］=［（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2］=3.同理，2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数为2＋3，方差为［（2x1＋3－2－3）2＋（2x2＋3－2－3）2＋…＋（2xn＋3－2－3）2］=［4（x1－）2＋4（x2－）2＋…＋4（xn－）2］=4×3=12.
　　方法总结：已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为p，方差为q，则另一组数据①x1＋a，x2＋a，x3＋a，…，xn＋a的平均数为p＋a，方差为q；②ax1，ax2，ax3，…，axn的平均数为ap，方差为a2q．
探究点二：方差的意义
甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是=0.65，=0.55，=0.50，=0.45，则射箭成绩最稳定的是（　　）
　　A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
　　解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成绩最稳定的是丁．故选D．
　　方法总结：本题考查了方差的意义，在平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定．
探究点三：利用方差进行决策
【类型一】 比较品种的整齐
为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）：
编号 1 2 3 4 5
甲 12 13 15 15 10
乙 13 14 16 12 10
　　通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．
　　解析：求出甲、乙的平均数、方差，根据平均数、方差的意义，进行比较可得出结论．
　　解：甲种水稻出苗更整齐，理由如下：甲=（12＋13＋15＋15＋10）÷5=13，乙=（13＋14＋16＋12＋10）÷5=13.=［（12－13）2＋（13－13）2＋（15－13）2＋（15－13）2＋（10－13）2］=3.6，=［（13－13）2＋（14－13）2＋（16－13）2＋（12－13）2＋（10－13）2］=4.∵＜，∴甲种水稻出苗更整齐．
　　方法总结：要比较两个品种谁更整齐，首先应比较它们的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齐．
【类型二】 质量稳定评估
为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒），你认为甲、乙两种手表中哪种手表日走时稳定性好？说说你的理由．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
－3 4 2 －1 －2 －2 1 －2 2 1
－4 1 －2 1 4 1 －2 －1 －2 －2
　　解析：根据题意，要比较两种手表中哪种手表日走时稳定性好，需要计算两种手表日走时误差的方差，所以先需求出甲、乙两种手表日走时误差的平均数，按平均数的求法求解即可，然后计算方差．
　　解：甲种手表日走时稳定性好，理由如下：甲=（|－3|＋4＋2＋|－1|＋|－2|＋|－2|＋1＋|－2|＋2＋1）=2，乙=（|－4|＋1＋|－2|＋1＋4＋1＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－2|）=2.=［（|－3|－2）2＋（4－2）2＋（2－2）2＋（|－1|－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－2|－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（2－2）2＋（1－2）2］=0.8，=［（|－4|－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（1－2）2＋（4－2）2＋（1－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－1|－2）2＋（|－2|－2）2＋（|－2|－2）2］=1.2.∵＜，∴甲种手表日走时稳定性好．
　　方法总结：要比较甲、乙两种手表中哪种手表日走时稳定性好，需比较它们的方差，方差越小越稳定．
【类型三】 确定比赛人选
为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击5次，命中的环数如下（单位：环）：
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
　　为确保比赛时的水平能比较稳定地发挥，应选谁参加比赛？
　　解析：要选取能稳定发挥的同学参加比赛，应选取方差比较小的同学，所以应先计算方差．
　　解：应选择乙同学参加比赛，理由如下：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为甲=（7×2＋8×2＋10×1）=8，乙=（7×1＋8×3＋9×1）=8.=［2×（7－8）2＋2×（8－8）2＋（10－8）2］=1.2，=［（7－8）2＋3×（8－8）2＋（9－8）2］=0.4.∵＞，∴乙同学的射击成绩比较稳定，应选乙参加比赛．
　　方法总结：确定比赛人选时，要看制定的目标，如果为了确保比赛时的水平能稳定地发挥，则应比较方差的大小；如果为了冲击水平较高的金牌，一般可选取训练时单次水平最高的人参加．
三、板书设计
1.离差平方和与方差的概念．
2.离差平方和与方差的计算．
3.离差平方和与方差的意义．
　　在教学过程中，通过情境引入，引导学生观察、思考，经历数学概念（离差平方和与方差）的生成过程．通过实例说明如何求一组数据的离差平方和与方差．通过实际问题利用方差进行决策，让学生进一步理解方差的实际意义，这样突出重点，突破难点．第4章　数据分析
4.1　平均数、中位数、众数
第1课时　平均数和加权平均数
1.通过实际生活中的例子，让学生在学习平均数和加权平均数概念的同时，体会到二者不同的现实意义．
2.掌握求解一组数据的算术平均数和加权平均数的方法，培养学生的应用能力和数学语言表达能力．
3.通过理解“权”的差异对平均数的影响，利用它们解决实际问题，体验多方面分析解决问题的必要性，培养创新精神．
重点：知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数．
难点：理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题．
一、情境导入
　　在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．你知道为什么要这样计算吗？例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算（如图）．
二、合作探究
探究点一：平均数
某班第一小组一次数学测验成绩如下（单位：分）：86，91，100，72，93，89，90，85，75，95，则这个小组的平均成绩是　　　　．
　　解析：平均成绩为×（86＋91＋100＋72＋93＋89＋90＋85＋75＋95）=87.6（分）．故答案为87.6分．
　　方法总结：求平均数时，先求出这组数据的总和，然后用这个和除以数据的个数．
探究点二：平均数的应用
【类型一】 已知一组数据的平均数，求某一个数据
如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是（　　）
　　A.8　　　B.5　　　C.4　　　D.3
　　解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴（3＋7＋2＋a＋4＋6）÷6=5，解得a=8.故选A．
　　方法总结：解题的关键是根据平均数的计算公式和已知条件列出方程求解．
【类型二】 已知一组数据的平均数，求新数据的平均数
已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是5，则另一组新数据x1＋1，x2＋2，x3＋3，x4＋4，x5＋5的平均数是（　　）
　　A.6　　B.8
　　C.10　　D．无法计算
　　解析：∵x1，x2，x3，x4，x5的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5=5×5=25.∴x1＋1，x2＋2，x3＋3，x4＋4，x5＋5的平均数为（x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5＋5）÷5=（25＋15）÷5=8.故选B．
　　方法总结：解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
【类型三】 平均数的实际应用
为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了5次测验，成绩如下表（单位：分）：
甲 79 84 90 86 81
乙 82 84 85 85 79
　　（1）计算这两名同学的平均成绩；
　　（2）哪名同学的成绩较好？
　　解析：（1）用每人的总成绩除以5求得平均成绩；（2）比较两人的平均成绩即可．
　　解：（1）甲的平均成绩为×（79＋84＋90＋86＋81）=84（分），乙的平均成绩为×（82＋84＋85＋85＋79）=83（分）．
　　（2）因为84＞83，所以甲的成绩较好．
　　方法总结：一定条件下，可以用平均数衡量成绩的优劣．
探究点三：权数
【类型一】 根据权数的定义求权数
有一组数据：2，3，1，2，3，1，2，1，1，3，求1，2，3这3个数的权数．
　　解析：1，2，3出现的次数分别除以数据的总个数即为各自的权数．
　　解：在这10个数据中，1出现了4次，2出现了3次，3出现了3次．所以1的权数是=，2的权数是，3的权数是．
　　方法总结：权数就是一组数据中某个数据出现的次数与数据总个数的比值．
【类型二】 根据“一组数据的权数之和等于1”求权数
一组数据中只出现了三个不同的数据，其中两个数据的权数分别是0.1，0.6，则另一个数据的权数为　　　　．
　　解析：一组数据的权数之和等于1，第三个数据的权数为1－0.1－0.6=0.3.故答案为0.3.
　　方法总结：一组数据的权数之和等于1.　　　
探究点四：加权平均数
【类型一】 根据数据的个数求加权平均数
随机抽取某城市10天的空气质量状况，统计如下：
污染指数（w） 40 60 80 90 110 120
天数（t） 1 2 3 2 1 1
　　其中当w≤50时，空气质量为优；当50＜w≤100时，空气质量为良；当100＜w≤150时，空气质量为轻微污染．求这10天污染指数（w）的平均数．
　　解析：先求出40，60，80，90，110，120这6个数据的权数，再利用加权平均数的定义求得结果．
　　解：这10天污染指数（w）的平均数为40×＋60×＋80×＋90×＋110×＋120×=81.
　　方法总结：每个数据与权数的积的和等于这组数据的加权平均数．
【类型二】 根据比例求加权平均数
某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制）如下表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
甲 86 90 96 92
乙 92 88 95 93
　　若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照4∶6∶5∶5的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取．
　　解析：根据四项的比例，分别求出各部分的权数，然后求加权平均数．
　　解：甲的平均成绩为×86＋×90＋×96＋×92=91.2（分），乙的平均成绩为×92＋×88＋×95＋×93=91.8（分）．应该录取乙．
　　方法总结：各部分的份数与总份数的比值就是这一部分的权数．
【类型三】 根据百分比求加权平均数
某校对各个班级教室卫生情况的考评包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面．一天，两个班级的各项卫生成绩分别如下表（单位：分）：
黑板 门窗 桌椅 地面
一班 95 85 89 91
二班 90 95 85 90
　　按学校的考评要求，将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的卫生成绩高？请说明理由．
　　解析：分别用四项的百分比乘以各项得分，再求和即可．
　　解：一班的加权平均成绩为95×15%＋85×10%＋89×35%＋91×40%=90.3（分），二班的加权平均成绩为90×15%＋95×10%＋85×35%＋90×40%=88.75（分），所以一班的卫生成绩高．
　　方法总结：这类题的解题关键是理解百分比就是权数．　　　　　　　　
【类型四】 根据条形统计图的信息计算加权平均数
小明统计本班同学的年龄后，绘制成如图所示的条形统计图，这个班学生的平均年龄是（　　）
　　
　　A.14岁　　B.14.34岁
　　C.14.56岁　　D.15岁
　　解析：该班同学的年龄和为13×8＋14×22＋15×15＋16×5=717（岁）．平均年龄是717÷（8＋22＋15＋5）=14.34（岁）．故选B．
　　方法总结：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
三、板书设计
平均数=数据总和÷数据总个数．
加权平均数
　　本节课学习了如何求平均数和加权平均数，加权平均数关键在于让学生理解权数的概念．在学习中让学生自主探索，积极思考，充分发挥学生的主观作用．让学生在学习中体会到成功的喜悦．4.1　平均数、中位数、众数
第2课时　中位数、众数
1.通过实际生活中的例子，掌握求一组数据的中位数和众数的方法，培养抽象能力，养成用数学眼光观察生活的习惯．
2.在求解实际问题数据的中位数和众数时，锻炼学生的运算能力，使学生能够理解数学和现实世界之间的联系．
3.会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策，培养数学数据观念，发展应用意识和实践能力．
重点：会求一组数据的中位数和众数．
难点：会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策．
一、情境导入
　　运动会男子50 m步枪三姿射击决赛．甲、乙两位运动员10次射击的成绩如下表（单位：环）：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第 9 次 第 10 次
甲 9.4 10.4 9.3 10.4 9.5 10.1 9.9 9.4 10 0
乙 9.4 10.1 10.4 8.4 8.7 9.9 9.9 8.8 7.8 10.1
由表中的数据可以看出．当第9次射击后，甲以5环的优势遥遥领先于乙．但由于第10次射击，意外地未能击中靶子，最终乙以总分第一获得该项目的第一名．
　　你认为用10次射击的平均数来表示甲射击成绩的实际水平合适吗？如果你认为不合适．那么应该怎样评价甲射击的实际水平？
　　一组数据的“平均水平”除了用平均数反映以外，还可以用中位数、众数来反映．
二、合作探究
探究点一：中位数
【类型一】 求一组数据的中位数
某校七年级一班在一次体育课上六位同学托排球的个数分别为37，25，30，35，28，25，这组数据的中位数为（　　）
　　A.25　　B.28　　C.29　　D.32.5
　　解析：把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，共有6个数，最中间的两个数分别是28和30，它们的平均数为（28＋30）÷2=29，所以这组数据的中位数为29.故选C．
　　方法总结：求中位数时，把数据由小到大排列（或由大到小排列），当数据个数为偶数个时，处在最中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数．
【类型二】 根据统计图表求中位数
某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如下表，则这10名同学一周内累计的读书时间的中位数是（　　）
一周内累计的读书时间（小时） 5 8 10 14
人数（人） 1 4 3 2
　　A.8　　　B.7　　　C.9　　　D.10
　　解析：∵共有10名同学，∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数，则中位数为=9.故选C．
　　方法总结：（1）计算数据总个数；（2）确定中位数的位置，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，当数据总个数为奇数时，最中间位置的数即为这组数据的中位数，当数据总个数为偶数时，找最中间位置的两个数，它们的平均数即为这组数据的中位数．
探究点二：中位数的实际应用
某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的（　　）
　　A．中位数　　B．平均数
　　C．加权平均数　　D．无法确定
　　解析：11名选手的得分均不相同，则这组得分的中位数为第6名的分数，知道第6名的分数和自己的分数，就可判断是否获奖．故选A．
　　方法总结：中位数代表一组数据的“中等水平”．在奇数个数据中，最中间位置的一个数就是这组数据的中位数．在本题中，中位数的成绩就是第6名的成绩，所以可由11名学生决赛得分的中位数来判断他是否进入了前6名．
探究点三：众数
【类型一】 由具体数据求众数
数据1，2，4，4，3的众数是（　　）
　　A.1　　B.2　　C.3　　D.4
　　解析：数据1，2，4，4，3中，出现次数最多的数是4，故众数是4.故选D．
　　方法总结：（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；（2）众数是这组数据中的数，不可把这个数据出现的次数当作众数．如本题中4出现了2次，众数是4，而不是2.
【类型二】 由统计图表求众数
如图是我市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数是（　　）
　　
　　A.28　　B.29　　C.30　　D.31
　　解析：统计图所反映的数据中，28出现了3次，29出现了2次，30出现了1次，31出现了1次，故众数为28.故选A．
　　方法总结：在统计图表中求众数，解题的关键是正确识图，并从统计图中整理出进一步解题的信息．
【类型三】 由众数求原数
已知一组数据：2，2，3，x，5，5，6的众数是2，则x的值是（　　）
　　A.5　　B.4　　C.3　　D.2
　　解析：因为一组数据2，2，3，x，5，5，6的众数是2，根据众数的定义，2出现的次数最多．因为5已经出现了2次，所以2必出现3次．所以x是2.故选D．
　　方法总结：本题考查了众数，解题的关键是此题的众数是唯一的，因此可以排除其他数作为众数的可能．
探究点四：众数的实际应用
学校商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶，各种饮料的销售量如下表：
品牌 甲 乙 丙 丁
销售量（瓶） 12 32 13 43
　　建议学校商店进货数量最多的品牌是（　　）
　　A．甲品牌　　B．乙品牌
　　C．丙品牌　　D．丁品牌
　　解析：根据众数的意义和定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则进货要进销售量最多的品牌．在四个品牌的销售量中，丁的销售量最多，故选D．
　　方法总结：由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，在实际问题中，众数是很受关注的数据．
探究点五：众数与平均数、中位数
【类型一】 平均数与众数
一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数是（　　）
　　A.3　　B.4　　C.5　　D.8
　　解析：根据题意得（3＋x＋4＋5＋8）÷5=5，解得x=5，所以这组数据为3，5，4，5，8，其中5出现了2次，其余各数只出现了1次．所以这组数据的众数为5.故选C．
　　方法总结：当一组数据中含有未知数时，先根据已知条件求出这个数，然后根据众数的定义求出众数．
【类型二】 中位数与众数
一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的中位数为　　　　．
　　解析：∵2，4，x，2，4，7的众数是2，∴x=2.从小到大排列数据为2，2，2，4，4，7，∴这数据的中位数是=3.故答案为3.
　　方法总结：本题主要考查了众数及中位数，解题的关键是熟记众数及中位数的定义．
【类型三】 众数与平均数、中位数
自然数4，5，5，x，y中，若从小到大排列后，其中位数为4，这组数据唯一的众数是5，则所有满足条件的x，y中，x＋y的最大值是（　　）
　　A.3　　B.4　　C.5　　D.6
　　解析：唯一的众数是5，中位数为4，故x，y不相等且x＜4，y＜4.x，y的取值为0，1，2，3，则x＋y的最大值为2＋3=5.故选C．
　　方法总结：（1）在一组数据中，平均数与中位数都是唯一的，但众数可以不止一个；（2）众数是数据中的数，而平均数和中位数可以是数据中的数，也可以是数据以外的数；（3）当一组数据中的数不全相等时，平均数与中位数的数值大于最小的数且小于最大的数；而众数可以等于最大的数，也可以等于最小的数．
三、板书设计
1.中位数
2.众数
3.平均数、众数和中位数的应用
　　本节课学习了中位数和众数，结合我们学过的平均数，理解三者之间的区别与联系，通过用平均数、中位数、众数描述一组数据，培养学生多角度分析问题和解决问题的能力．在教学中，让学生积极参与，发现问题、解决问题，提高学生数学学习的积极性．4.5.2　频数直方图
1.会根据实际情况划分组数和组距，掌握绘制频数直方图的方法．
2.通过分组、整理、列表等过程，提高数据的处理能力．
3.经历直方图描述数据的过程，形成用统计知识解决实际问题的意识．
重点：会用频数直方图表示数据的频数分布情况．
难点：根据实际情况灵活划分组数、组距．
一、情境导入
　　现实生活中，人们不仅要收集数据，还要对收集到的数据进行加工，进而作出判断．观察下面一组图片，你能从中直接获取哪些信息？
二、合作探究
探究点：频数直方图
【类型一】 绘制频数直方图
为了了解某地区八年级学生的身高情况，用简单随机抽样方法抽取60名八年级男生，对他们的身高（单位：cm）进行了测量，结果如下：
　　156162163172160141152173179174
　　157174145160153165156167161172
　　178156166155140157167156168150
　　164163155162160168147161157162
　　165160166164154161158164151169
　　169162158163159164162148170161
　　（1）将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图．
　　（2）如果身高在155~169 cm的学生身高为正常身高，试求身高落在正常身高范围内的学生人数的百分比．
　　解析：先确定最小值为140，最大值为179，故可将这些数据每5 cm为1组，共分成八组，也可以以其他方式分组，只需合适即可．
　　解：（1）先将数据分成以下八组，并得到相应各组的学生人数．
身高（cm） 学生人数 身高（cm） 学生人数
140≤x＜145 2 160≤x＜165 20
145≤x＜150 3 165≤x＜170 10
150≤x＜155 5 170≤x＜175 6
155≤x＜160 12 175≤x＜180 2
　　由上表可绘制频数直方图（如图）．
　　（2）由图可知，身高落在正常范围（155≤x＜170）内的学生人数为12＋20＋10=42（人），所以其所占的百分比为×100%=70%．
　　方法总结：画频数分布直方图可按以下步骤：①计算极差；②确定组距与组数；③确定组限；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图．其中组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和研究的具体问题决定．一般来说，组数越多越好，但实际操作起来比较麻烦，当数据在100个以内时，根据数据的特征通常分成5~12组．
【类型二】 补全频数分布表和频数直方图
某小区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表将调查数据进行了如下整理：
　　4.72.13.12.35.22.87.34.34.86.7
　　4.55.16.58.92.24.53.23.24.53.5
　　3.53.53.64.93.73.85.65.55.96.2
　　5.73.94.04.07.03.79.54.26.43.5
　　4.54.54.65.45.66.65.84.56.27.5
　　频数分布表
分　组 画　记 频　数
2.0＜x≤3.5 正正 11
3.5＜x≤5.0 正正正 19
5.0＜x≤6.5
6.5＜x≤8.0
8.0＜x≤9.5 2
合　计
频数直方图
　　（1）把上面的频数分布表和频数直方图补充完整；
　　（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）
　　解析：（1）根据频数之和等于样本数据总数，然后补全频数分布表与直方图；（2）只要符合题意即可．
　　解：（1）如图所示．
分　组 画　记 频　数
2.0＜x≤3.5 正正 11
3.5＜x≤5.0 正正正 19
5.0＜x≤6.5 正正 13
6.5＜x≤8.0 正 5
8.0＜x≤9.5 2
合　计 50
　　（2）答案不唯一；如①从直方图可以看出：居民用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；③居民用水量在8.0＜x≤9.5范围内的最少，只有2户等．
　　方法总结：本题考查读频数直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【类型三】 频数直方图与统计图的综合应用
初中学生的视力状况受到全社会的广泛关注．某市有关部门对全市20万名初中学生的视力状况进行了一次抽样调查，从中随机抽查了10所中学全体学生的视力情况，并绘制了如图①②所示的统计图．请你根据统计图，解答下列问题：
　　（1）这10所中学的学生总人数是多少？
　　（2）这10所中学的学生中，视力在4.75以上的学生人数占全市中学学生总人数的百分比是多少？
全市初中学生人数扇形统计图
10所中学全体学生视力频数直方图
　　解析：（1）全市初中学生总人数×这10所学校所占百分数=这10所学校的学生总人数；（2）×100%=所求百分比，因此，应先求出这10所学校的初中学生视力在4.75以上的人数．
　　解：（1）这10所中学的学生总人数是20×5%=1（万人）．
　　（2）这10所中学的学生中，视力在4.75以上的人数是1×55%=0.55（万人），故所求百分比为×100%=2.75%．
　　方法总结：本题考查的是频数直方图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．频数直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反应部分占总体的百分比大小．
三、板书设计
　　制作频数直方图的步骤：
　　（1）计算最大值和最小值的差（极差），确定统计量的范围；
　　（2）分组（决定组数和组距）；
　　（3）确定各组的分点；
　　（4）列频数分布表；
　　（5）画频数直方图．
　　在教学过程中，建议先让学生看一些常见的直方图，对它有个直观的印象，再介绍画直方图的步骤，可起到事半功倍的效果，在教学时间的安排上，要注意在分组和组距的合理安排上多花点时间，以帮助学生理解和掌握．

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