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第一单元 第2课时 余数和除数的关系 教学设计
课程基本信息:
学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师
年 级 学 期 单 元 一 有余数的除法
课 题 第2课时 余数和除数的关系
教学目标：
1．知识技能：掌握“余数必须小于除数”的核心规律，明确余数的取值范围；能依据规律正确判断余数的合理性；会运用余数特点，解决不同除数下最大、最小余数的问题，结合实际情境分析余数的可能情况。
2．素养能力：通过动手摆小棒、观察分析算式，深入理解“余数小于除数”的本质逻辑，发展推理意识；培养探究数学规律的能力，提升对数量关系的深层认知。
重点难点：
1．教学重点：掌握“余数必须小于除数”的核心规律，明确余数的取值范围（1≤余数＜除数）。
2．教学难点：深入理解“余数小于除数”的本质逻辑，明白余数不大于等于除数的原因（剩余部分仍可再分）。
教学流程
一、课前导入
【设计意图】通过有余数除法的基础练习，巩固上节课算式读写和余数意义的知识；借助“摆三角形”的生活情境，自然引出余数与除数的关系探究，激发学生兴趣。
1．旧知回顾：圈一圈，填一填
题目：15个茄子，每6个装一袋。
可装（ ）袋，还剩（ ）个，用算式表示为（ ）。
要求：学生独立完成，集体订正，强化有余数除法的算式结构。
预设答案：2袋、剩3个，算式“15÷6=2（袋）……3（个）”。
2．情景导入
师：“欢迎来到‘魔法小棒乐园’！摆一个三角形需要几根小棒？”（预设：3根）
出示不同数量的小棒：“用这些小棒摆三角形，会出现正好摆完或有剩余的情况。有剩余时，剩下的小棒能再摆一个三角形吗？余数和除数（3根）之间藏着什么秘密？”
3．引出新课：
师：“这节课我们就一起探秘‘余数和除数的关系’，揭开这个数学秘密！”（板书课题：余数和除数的关系）
二、探究新知
学习任务一：推导余数与除数的大小关系
【设计意图】通过动手摆三角形的实践活动，对比不同小棒数量的摆法与算式，直观推导“余数小于除数”的核心规律，突破重点。
1．分组摆小棒，记录结果：
任务：用6根、7根、8根、9根、10根小棒摆三角形（每3根摆一个），记录能摆几个、剩几根，写出对应算式。
学生操作，教师巡视指导，汇总结果：
①6根：摆2个，剩0根，算式“6÷3=2（个）”（无余数）；
②7根：摆2个，剩1根，算式“7÷3=2（个）……1（根）”；
③8根：摆2个，剩2根，算式“8÷3=2（个）……2（根）”；
④9根：摆3个，剩0根，算式“9÷3=3（个）”（无余数）；
⑤10根：摆3个，剩1根，算式“10÷3=3（个）……1（根）”。
2．观察分析，发现规律：
师：“观察有余数的算式（7÷3、8÷3、10÷3），余数分别是1、2、1，除数都是3，余数和除数的大小有什么关系？”
学生讨论：得出“余数1＜3，余数2＜3”，即余数都比除数小。
师小结：摆三角形时，除数是3，余数只能是1或2，始终小于除数。
3．任务小结：
（1）初步规律：有余数的除法中，余数＜除数。
（2）直观认知：剩余小棒数量不够再摆一个三角形，所以余数必须小于除数。
学习任务二：深入理解余数小于除数的本质
【设计意图】通过假设“余数=除数”“余数＞除数”的反例，验证规律的合理性，让学生理解规律的本质的，突破难点。
1．假设“余数=除数”（以除数3为例）：
提问：“如果用12根小棒摆三角形，余数能是3吗？算式‘12÷3=3（个）……3（根）’对吗？”
分析：剩3根小棒时，3根正好能再摆1个三角形，实际应摆4个，无余数，算式应为“12÷3=4（个）”。
结论：余数不能等于除数，否则还能再分一份，不属于“剩余”的定义。
2．假设“余数＞除数”（以除数3为例）：
提问：“如果用13根小棒摆三角形，余数能是4吗？算式‘13÷3=3（个）……4（根）’对吗？”
分析：剩4根小棒时，4根可以再摆1个三角形（用3根），还剩1根，实际应摆4个，剩1根，算式应为“13÷3=4（个）……1（根）”。
结论：余数不能大于除数，否则剩余部分仍可再分，不符合“剩余部分不够再分一份”的要求。
3．总结余数的核心特点：
师：“通过反例验证，我们确定‘余数必须小于除数’。结合规律，余数还有哪些特点？”
梳理关键点：
①最大余数：除数-1（如除数3，最大余数2；除数6，最大余数5）；
②最小余数：1（余数是剩余数量，不能为0，0表示正好分完）；
③余数的取值范围：1≤余数＜除数（多个可能值）。
4．任务小结：
（1）本质逻辑：余数是“不够再分一份”的剩余数量，因此必须小于除数。
（2）核心结论：余数＜除数；最大余数=除数-1；最小余数=1。
三、课堂练习
【设计意图】通过不同类型的练习，巩固“余数小于除数”的规律及余数的特点，检验学生对规律的应用能力。
基础练习（教材第12页“做一做”）：
1．用一些小棒摆五边形（每5根摆一个），如果有剩余，可能剩几根？
要求：学生结合规律分析，余数取值范围是1-4（除数5，余数＜5）。
预设答案：可能剩1根、2根、3根、4根。
2．有一些巧克力，平均装在8个盒子里，如果有剩余，最多剩几颗？
要求：学生运用“最大余数=除数-1”计算。
预设答案：8-1=7（颗），最多剩7颗。
四、课堂延伸
【设计意图】通过规律拓展，让学生灵活运用“余数和除数的关系”，强化知识迁移能力。
1．规律拓展：
师：“如果除数是7，余数可能有哪些？最大是几？最小是几？”
预设：余数可能是1、2、3、4、5、6，最大是6（7-1），最小是1。
师：“如果余数是5，除数可能是哪些数？”
预设：除数必须大于5，可能是6、7、8……（除数＞余数）。
五、课堂总结
【设计意图】引导学生自主梳理本节课核心规律，强化“余数小于除数”及余数的特点，培养归纳总结能力。
1．师生共同回顾：
师：“这节课我们发现了什么核心规律？（余数必须小于除数）”
师：“余数有哪些特点？（最大余数=除数-1，最小余数=1，取值范围1≤余数＜除数）”
师：“为什么余数不能等于或大于除数？（否则还能再分一份，不符合剩余定义）”
2．学生分享收获：邀请2-3名学生分享“这节课你学会了什么？怎么判断余数是否合理？”
3．教师总结：“今天我们通过摆小棒、找反例，探秘了余数和除数的关系，掌握了‘余数小于除数’的核心规律。希望大家以后遇到有余数的除法问题时，能运用这个规律判断结果是否合理，解决更多数学问题！”
六、板书设计
第2课时 余数和除数的关系
1．核心规律：余数＜除数（余数必须小于除数，不能等于或大于）
反例验证：
①余数=除数：能再分一份，无剩余；
②余数＞除数：能再分一份，剩余减少。
2．余数的特点：
最大余数=除数-1（如除数3→最大余数2）；
最小余数=1（余数为0表示正好分完，无余数）；
取值范围：1≤余数＜除数（多个可能值）。
3．示例算式：
摆三角形（除数3）：
7÷3=2……1（1＜3）；8÷3=2……2（2＜3）；10÷3=3……1（1＜3）。
4．口诀记忆：
余数除数有关系，余数总比除数小；
最大余数减个1，最小余数就是1。

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