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7.3 定义、命题、定理（第2课时）（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版七年级下册第七章相交线平行线，第三节定义、命题、定理第2课时内容为定理的概念、定理与命题的关系，以及利用定理进行简单的逻辑推理，是对第1课时命题知识的延伸和深化。
2.内容解析
定理和定义是数学逻辑体系的重要组成部分，定义是对数学概念的精准描述，定理是经过证明的真命题，二者是进行数学证明和推理的依据。本节课承接上一课时的命题知识，将命题分类与定理、定义建立关联，为后续几何证明的规范书写奠定基础，在数学知识的逻辑建构中起到承上启下的关键作用。
基于以上分析，确定本节课教学重点是:定理的概念；命题、定理、定义的关系；利用定理进行简单推理。
1.教学目标
(1)理解定理的含义，能区分命题、定理、定义的关系；知道公理与定理的区别；能运用学过的定理进行简单的逻辑推理。
(2)通过对比分析、实例辨析，培养逻辑思维能力和抽象概括能力；在定理应用的过程中，提升推理表达的严谨性。
(3)感受数学逻辑的严密性和系统性，体会定理、定义在数学学习中的重要性；养成严谨求实的数学学习态度。
2.目标解析
(1)定理的概念是核心知识点，区分命题、定理、定义的关系是基础要求；理解公理与定理的区别，能帮助学生构建清晰的知识框架；运用定理进行简单推理，是对知识的综合应用，为后续证明题学习铺垫。
(2)通过对具体定理、定义的观察和辨析，引导学生经历“对比—归纳—应用”的过程，落实逻辑思维能力的培养；定理推理训练，能让学生掌握数学推理的基本方法。
(3)通过梳理学过的定理和定义，让学生感受数学知识的系统性，激发对数学逻辑探究的兴趣。
本节课的授课对象是七年级学生，在上一课时已经掌握了命题的概念、结构及真假判断，具备了学习定理和定义的知识基础。但学生对“定理是经过证明的真命题”“公理是无需证明的基本事实”这两个概念容易混淆，且七年级学生的逻辑推理能力较弱，在运用定理进行推理时，难以规范表达推理依据和过程。此外，学生对学过的定义、定理有一定的积累，但缺乏系统梳理，教学中可借助已有知识储备降低学习难度。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：区分公理与定理的区别；运用定理进行逻辑推理时，推理过程的规范表达。
创设情景，引入新课
提出问题:什么是命题？命题分为哪两类？如何判断一个命题是假命题？如何判断一个真命题的正确性？
(引导学生回顾上节课知识)
（设计意图：复习相关知识点，引入新课.）
探究点1　定理
在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.
追问1：在这些真命题中，有些命题是基本事实，请你举出例子？
（如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.）
追问2.还有一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，请你举出例子？
（如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等）
问题：一些命题，它们的正确性是经过推理证实的这样的命题叫什么？
（这样的真命题叫作定理）
教师强调：定理及定义、基本事实都可以作为继续推理的依据.
（设计意图：探究什么是定理）
探究点2　定义、基本事实、定理、命题的关系
讨论：定义、基本事实、定理、命题的关系.
（1）定义是对数学概念的精准描述；基本事实是人们在长期实践中总结出来的，作为证明的原始依据的真命题；定理是经过推理证实的真命题（只有经过证明且作为推理依据的真命题才是定理）.
（2）定义、基本事实、定理它们都是命题.所有定理都是真命题，但真命题不一定是定理.
（3）命题包含真命题和假命题，定义、基本事实定理属于真命题的范畴。
（设计意图：探究定义、基本事实、定理、命题之间的关系）
探究点3　推理与证明　
问题：什么是证明？
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
辨析：推理和证明的区别.
推理和证明是有区别：推理是证明过程的组成部分.
怎样进行证明真命题：证明就是推理，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
怎样证明命题是假命题：证明或判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。
例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例:在下图中，OC 是∠AOB 的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
　　　　　　　　　　　　　　
（设计意图：探究如何证明命题）
典型例题
例1　如图 ，已知直线a⊥b，b//c，求证a丄c.
【分析】要证明a丄c，只要证明∠2=90°，由b//c(已知)，得∠1=∠2，由∠1=90°可以证明.
【详解】证明:∵ a⊥b(已知),
∴∠1=90°(垂直的定义).
∵b//c(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
∴∠2=90°(等式的基本事实).
∴ a⊥c(垂直的定义).
提醒学生：以后注明理由时，主要标注依据的性质、定理、基本事实等，像“已知”这样的理由可以不标.
讨论总结：证明命题的步骤：1.写出已知，2.写出求证，3.写出证明过程.
例2．如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．

【分析】首先根据等量代换和对顶角相等得到，然后利用内错角相等，两直线平行得到．
【详解】证明：∵，
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∵
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
（设计意图：强化规范推理证明的过程）。
课堂练习：
1.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180 .
　　　　　　　　　　　　　　
证明:∵∠A+∠B=180°,
∴AD//BC(　　　　　　　).
∴ ∠C+∠D=180°(　　　　　).
2.命题“同位角相等”是正确的吗 如果是，说出理由出反例.
参考答案：1.同旁内角互补，两直线平行;两直线平行，同旁内角互补.
2.命题“同位角相等”是错误的.例如，图中的∠1，∠2 是直线a，b被直线c截得的同位角，但它们不相等.　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：

(1)如图1，请直接写出、的数量关系；
(2)如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
(3)如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
【详解】（1），理由如下：
点在直线上，
，，
，
故答案为：．
（2），，理由如下：
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3），理由如下：
如图，

平分，，
，
，
，
由（1）可知，．
故答案为：
（设计意图：强化对命题证明的综合应用）
1.（2025 江西）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴AE∥DF．
2．（2025揭阳统考）如图，已知，求证：．

【详解】证明：，
，
，
，
．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.知识总结： （1）定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句； （2）定理：经过推理证实的真命题；（2）关系：定理属于真命题，定义是特殊真命题，基本事实是定理的基础，是真命题。
2.方法总结：（1）区分基本事实与定理的方法：看是否需要证明，基本事实无需证明，定理需证明；（2）区分命题、定理、定义的方法：看语句的作用，定义界定概念，定理是推理依据，命题是判断语句；（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等；（4）证明命题的步骤：1.写出已知，2.写出求证，3.写出证明过程
3.易错提醒： （1）混淆基本事实和定理，误认为所有真命题都是定理；（2）运用定理推理时，遗漏推理依据或依据错误；（3）把普通真命题当作定理。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：教材习题7.3第2、3题.
探究性作业：教材习题7.3第4题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ）
主板书 7.3 定义、命题、定理（第2课时） 探究点1　定理 探究点2　定义、基本事实、定理、命题的关系 探究点3　推理与证明　 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演

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