资源简介

8.2立方根（第2课时)（教学设计）
1.教学内容
人教新版七年级下册第八章实数 8.2 节 “立方根” 第 2 课时，核心内容包括：立方根的性质拓展，用计算器求立方根的值，立方根在实际问题中的应用、立方根与平方根的综合辨析、利用立方根解决简单的方程问题（如型方程）。
2.内容解析
（1）本节课是第 1 课时的延伸与拓展，在掌握立方根基本概念和求法的基础上，进一步深化立方根的性质应用，强化运算能力，同时衔接实际问题与方程求解，为后续实数的综合运算、二次根式的学习奠定基础。
（2）以 “性质拓展 - 运算强化 - 应用落地 - 综合辨析” 为线索，先通过推导得出的性质，通过用计算器求立方根结合实际问题（如立方体体积相关的实际应用）和方程求解，最后通过对比辨析巩固立方根与平方根的区别与联系，形成完整的知识应用体系。
（3）教材注重知识的实用性和递进性，通过实际应用题和方程问题，让学生感受立方根的应用价值；同时通过对比练习，强化对平方根和立方根的区分，避免概念混淆，符合七年级学生的认知规律。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：立方根的性质)的应用；利用计算器求立方根的值；用立方根知识解决实际问题和求解型方程。
教学目标
（1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。
（2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。
（3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。
2.目标解析
（1）掌握立方根的性质，并能熟练运用该性质进行运算；会计算器求一个数的立方根；能运用立方根的知识解决实际问题（如立方体体积、容积相关问题）；会解简单的型方程，能综合运用立方根与平方根的知识解决基础综合题。
（2）通过推导立方根的性质，培养逻辑推理能力；在实际问题和方程求解中，体会 “数学建模” 思想，提升知识应用能力；通过综合辨析练习，强化对比思维，提高对易混淆概念的区分能力。
（3）感受立方根在实际生活中的广泛应用，增强数学应用意识；在解决综合问题和实际问题的过程中，体验成功的喜悦，提升学习数学的积极性；培养严谨的思维习惯和规范的运算能力，树立数学学习的严谨性意识。
学生在第 1 课时已掌握立方根的概念、性质（正数、负数、0 的立方根特点）和基础求法，能熟练求单个数字的立方根；同时掌握平方根的相关知识，具备一定的类比推理能力和运算能力，能解决简单的实际问题和基础方程。七年级学生已具备初步的逻辑推理能力，但抽象思维仍需具体实例支撑；对实际问题和综合问题的处理能力较弱，容易在概念混淆、运算规范、模型建立等方面出现问题；喜欢通过实例探究和练习巩固知识，对梯度化的学习内容接受度较高。潜在困难：混淆立方根与平方根的运算法则（如将平方根的乘除法则错误迁移到立方根）；运用性质时，符号处理错误（如与的关系理解不清）；实际问题中，难以快速提炼等量关系，建立正确的数学模型；综合题中，无法准确区分题目考查的是立方根还是平方根，导致解题思路偏差。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：实际问题中数学模型的建立（如复杂立方体组合问题）；立方根性质的灵活运用。
创设情景，引入新课
问题 ：上节课我们学习了立方根的概念，大家能快速求出的值吗？有什么简便方法可以直接得出结果？
追问：你发现与值的关系？
引出课题：今天我们继续学习立方根的相关知识，重点探究立方根的性质拓展、计算器求一个数的立方根及实际应用。
（设计意图：通过回顾旧知和实际问题引入，既巩固了第 1 课时的知识，又自然引出本节课的核心内容（性质拓展、实际应用），激发学生的探究兴趣，实现知识的递进衔接。）
探究点1　一个负数立方根的性质
探究 计算和，它们有什么关系？和 呢？
追问1：你能从中发现什么规律？
一般地，.
追问2：你能推导出上面的结论吗？
设，则，那么，所以，即。
追问3：你能用语言表述上面的结论吗？
一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反数（或负数的立方根可以将负号提到根号外）。
追问4：怎样化简下列各式：
答案：
探究点2. 用计算器求一个数的立方根
问题：类似于开平方根，我们是利用立方与立方根的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。
同求平方根一样，我们可以借助计算器来求一个的立方根。一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）。
方法：用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键.
例如：用计算器求.只需依次按键、2、1、9、7，显示:13，所以
用计算器求，只需依次按键、3显示近似值；1.442249570，所以.
有些计算器需要调用备用功能键求一个数的立方根，具体操作参见叶算器的使用说明。
探究点3. 立方根的值与被开方数的小数点位置的关系
探究
用计算器计算。
追问1：你发现了什么规律
被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位.
追问2：用计算器计算（结果保留小数点后三位），你能利用你发现的规律求出，，的近似值。
答案：4.642，0.4642、0.04642、46.42.
探究点4 型方程的解法
探究解法：
追问1：方程的解是什么？为什么？
根据立方根的定义，若，则，即方程的解为。
追问2：你能解下列方程吗？
答案：
（设计意图：通过推导说明、探究法则，让学生逐步掌握立方根的性质拓展、用计算器求一个数立方根的过程，同时通过与平方根的对比，强化对法则适用范围的理解，避免概念混淆。）
典型例题
例1：求下列各式的值.
(1); (2) ; （3） .
【分析】根据一个负数立方根的性质和立方根的定义，可求出它的值。
【详解】解：(1);
(2);
(3).
例2：一个长方体木箱的体积是，长是宽的 2 倍，高是宽的 3 倍，求这个木箱的长、宽、高（结果保留根号）。
【分析】设未知数，建立方程求解，运用立方根知识得出结果。
【详解】解：设木箱的宽为，则长为，高为；
根据长方体体积公式，得；化简方程：，解得；
所以长为，宽为，高为。
例3.已知的平方根是，的立方根是4，与是同类项，求的立方根.
【分析】根据平方根的定义列式求出，再根据立方根的定义求出，根据同类项的定义求出，把求得的值代入代数式进行计算，即可得答案；
【详解】解：根据题意得：，
解得，，
所以，
所以的立方根是，
答：的立方根是．
(设计意图：通过基础例题和变式例题，让学生熟练掌握立方根的求法，提升运算准确性。)
课本课堂练习1、2、3.；
参考答案：1. (1) 0.3: (2) -7: (3). 2. (1) 19;(2) 41:(3) 0. 304.
3. (1) 1, 2; (2) 4, 5; (3) 8, 9; (4)-4,-3.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1：，，；，，…，．
整数部分为2：，，…；，，…．
整数部分为3：，，…；，，…．
(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？
(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？
【详解】（1）解：由题意可得：
的最小值64，的最大值124；
（2）的最小值25，的最大值35，
可能的值有11种．
（设计意图：强化平方根、立方根的理解）
1．求下列各式中的值：
(1)； (2)．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
2.已知a的平方根是它本身，b是的立方根，求的值
【详解】因为a的平方根是它本身，
所以，
因为b是的立方根，即b是8的立方根，
所以，
则．
3.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．

【详解】解：设正方体的棱长为xcm，由题意得，
，
解得，
答：正方体的棱长约为6cm．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识总结：（1）性质拓展：（负数的立方根可将负号提到根号外）；(2)用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键；（3）被开方数的小点向左（或向右）移动3位．它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位；（4）方程的解为；（5）实际应用：将立方体（或长方体）体积问题转化为立方根求解问题。
方法总结：（1）符号处理法：利用简化负数立方根的计算，避免符号错误；（2）实际问题中，通过设未知数、建立方程（或等量关系），将实际问题转化为数学问题求解；（3）综合运用平方根与立方根知识时，先根据已知条件求出相关字母的值，再代入求解目标式子。
易错提醒：（1）混淆立方根与平方根的运算法则：平方根的被开方数需非负，立方根的被开方数可任意实数；（2）审题不清：未区分题目考查的是平方根还是立方根，导致求解错误。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题8.2第2，3，7，8题.
探究性作业：课本习题8.2第9题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 8.2立方根（第2课时) 探究点1　一个负数立方根的性质 探究点2. 用计算器求一个数的立方根 探究点3. 立方根的值与被开方数的小数点位置的关系 探究点4 型方程的解法 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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